Интегрирование рациональных дробей. Шульц Денис Сергеевич План занятия. Правильная/неправильная рациональная дробь Простейшие рациональные дроби Разложение дроби на простые множители Нахождение интегралов от рациональных дробей Рациональная дробь. 𝑃𝑛 (𝑥) 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ 𝑎2 𝑥 2 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 𝑅 𝑥 = = 𝑄𝑚 (𝑥) 𝑏𝑚 𝑥 𝑚 + 𝑏𝑚−1 𝑥 𝑚−1 + ⋯ 𝑏2 𝑥 2 + 𝑏1 𝑥 + 𝑎0 Рациональная дробь – отношение двух полиномов (многочленов) P(x) и Q(x) Если старшая степень полинома (многочлена) в числителе строго меньше старшей степени полинома в знаменателе, т.е. n < m, то дробь правильная Если n ≥ 𝑚, дробь неправильная Правильная/неправильная дробь. 𝑥 2 − 9𝑥 + 14 𝑥 − 1 𝑥 2 − 6𝑥 + 8 неправильная или правильная - ? Правильная/неправильная дробь. 𝑥 2 − 9𝑥 + 14 𝑥 − 1 𝑥 2 − 6𝑥 + 8 старшая степень числителя = 2 старшая степень знаменателя = 3 ⟹ 2<3 ⟹ правильная Правильная/неправильная дробь. 𝑥 2 − 9𝑥 + 14 𝑥 − 1 𝑥 2 − 6𝑥 + 8 старшая степень числителя = 2 старшая степень знаменателя = 3 𝑥5 + 𝑥4 − 8 𝑥 3 − 4𝑥 ⟹ 2<3 ⟹ правильная Правильная/неправильная дробь. 𝑥 2 − 9𝑥 + 14 𝑥 − 1 𝑥 2 − 6𝑥 + 8 старшая степень числителя = 2 ⟹ 2<3 ⟹ старшая степень знаменателя = 3 𝑥5 + 𝑥4 − 8 𝑥 3 − 4𝑥 5>3 ⟹ неправильная правильная Неправильная рациональная дробь. НЕПРАВИЛЬНАЯ ДРОБЬ = целая часть + правильная дробь 𝑃(𝑥) 𝑆(𝑥) =𝑅 𝑥 + 𝑄(𝑥) 𝑄(𝑥) R(x) – частное; S(x) – остаток 𝑥5 + 𝑥4 − 8 𝑥 3 − 4𝑥 разложим данную неправильную дробь Неправильная рациональная дробь. НЕПРАВИЛЬНАЯ ДРОБЬ = целая часть + правильная дробь 𝑃(𝑥) 𝑆(𝑥) =𝑅 𝑥 + 𝑄(𝑥) 𝑄(𝑥) R(x) – частное; S(x) – остаток 2 + 16𝑥 − 8 𝑥5 + 𝑥4 − 8 4𝑥 2+𝑥+4 + = 𝑥 𝑥 3 − 4𝑥 𝑥 3 − 4𝑥 Алгоритм интегрирования правильной рациональной дроби. 1. Знаменатель дроби разложить на простые множители 2. Рациональную дробь представить в виде суммы простейших дробей 3. Найти неопределенные коэффициенты (метод неопределенных коэффициентов) 4. Проинтегрировать каждое слагаемое Простейшие рациональные дроби. 1 𝑥−𝑎 1 𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 𝑀𝑥 + 𝑁 𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 1 𝑥−𝑎 𝑛 1 𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 𝑀𝑥 + 𝑁 𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 1 𝑥 2 + 𝑎2 𝑛 𝑛 1 𝑥 2 + 𝑎2 𝑛 Простейшие рациональные дроби. 1 𝑥−𝑎 1 𝑥−𝑎 𝑛 1 𝑥 2 + 𝑎2 1 𝑥 2 + 𝑎2 𝑛 Интегралы от этих дробей – табличные интегралы 1 𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 𝑀𝑥 + 𝑁 𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 1 𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 𝑀𝑥 + 𝑁 𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 𝑛 𝑛 выделение полного квадрата выделяется в числителе дифференциал выражения знаменателя Разложение дроби (на примерах) 𝑥 2 − 9𝑥 + 14 𝑥 2 − 9𝑥 + 14 𝐴 𝐵 𝐶 = = + + 𝑥 − 1 𝑥 2 − 6𝑥 + 8 𝑥−1 𝑥−2 𝑥−4 𝑥−1 𝑥−2 𝑥−4 4𝑥 2 + 16𝑥 − 8 4𝑥 2 + 16𝑥 − 8 4𝑥 2 + 16𝑥 − 8 𝐴 𝐵 𝐶 = = = + + 𝑥 3 − 4𝑥 𝑥 𝑥2 − 4 𝑥 𝑥−2 𝑥+2 𝑥 𝑥−2 𝑥+2 Разложение дроби (на примерах) 𝑥 2 − 9𝑥 + 14 𝑥 2 − 9𝑥 + 14 𝐴 𝐵 𝐶 = = + + 𝑥 − 1 𝑥 2 − 6𝑥 + 8 𝑥−1 𝑥−2 𝑥−4 𝑥−1 𝑥−2 𝑥−4 4𝑥 2 + 16𝑥 − 8 4𝑥 2 + 16𝑥 − 8 4𝑥 2 + 16𝑥 − 8 𝐴 𝐵 𝐶 = = = + + 𝑥 3 − 4𝑥 𝑥 𝑥2 − 4 𝑥 𝑥−2 𝑥+2 𝑥 𝑥−2 𝑥+2 все множители разные. А если будут другого вида? Разложение дроби (на примерах) 1 𝑥−1 2 𝑥−2 2 𝐴 = 𝑥−1 𝐵 𝐶 + + 2 𝑥−1 𝑥−2 1 𝐴 𝐵𝑥 + 𝐶 = + 2 2 𝑥−1 𝑥 +𝑥+1 𝑥−1 𝑥 +𝑥+1 𝐷 + 2 𝑥−2 Разложение дроби (на примерах) 1 𝑥−1 2 𝑥−2 2 𝐴 = 𝑥−1 𝐵 𝐶 + + 2 𝑥−1 𝑥−2 𝐷 + 2 𝑥−2 1 𝐴 𝐵𝑥 + 𝐶 = + 2 2 𝑥−1 𝑥 +𝑥+1 𝑥−1 𝑥 +𝑥+1 полином не содержит действительных корней в этом случае разложение записывается таким образом Пример 𝑥 2 − 9𝑥 + 14 𝑑𝑥 2 2 𝑥 +𝑥 𝑥 +1 Вебинары «Интегральное исчисление». Апрель 2014 г. Вебинар №6: интегрирование простейших иррациональностей и выражений, содержащих тригонометрические функции Вебинар №7: сложные интегралы Спасибо за внимание!!! Шульц Денис Сергеевич Кафедра прикладной математики и информатики Факультет дистанционного обучения Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники sds@pmii.tusur.ru sds@2i.tusur.ru