Электронная газета "В мире чисел".
реклама
Электронная газета
«В мире чисел»
2013-2014 уч. год
Подготовили:
Учитель математики: Кабанова В.И. и
ученики 10 В класса «МБОУ» СОШ №39
Во второй четверти, во время проведения декадника по
математике, мы с учениками 10В класса, для проведения
внеклассного мероприятия « Рыбалка» подготовили
электронную газету «В мире чисел». Предлагаем Вам
интересное путешествие в чудесный мир чисел вместе с
нами.
История чисел
Считать предметы человек умел ещё в глубокой древности, тогда и возникло понятие натурального числа. На первых
ступенях развития понятие отвлечённого числа отсутствовало. В те времена человек мог оценивать количества
однородных предметов, называемых одним словом, например "три человека", "три топора". При этом
использовались разные слова "один" "два", "три" для понятий "один человек", "два человека", "три человека" и "один
топор", "два топора", "три топора". Это показывает анализ языков первобытных народностей. Такие именованные
числовые ряды были очень короткими и завершались неиндивидуализированным понятием "много". Разные слова
для большого количества предметов разного рода существуют и сейчас, такие, как "толпа", "стадо", "куча".
Примитивный счёт предметов заключался «в сопоставлении предметов данной конкретной совокупности с
предметами некоторой определённой совокупности, играющей как бы роль эталона», которым у большинства
народов являлись пальцы ("счёт на пальцах"). Это подтверждается лингвистическим анализом названий первых
чисел. На этой ступени понятие числа становится не зависящим от качества считаемых объектов.
Не так уж и много приходилось считать первобытному человеку. Первобытные люди не знали цифр, но считать
умели. Как? Очень просто — на пальцах. Именно пальцы являлись и первыми изображениями чисел. Надо,
например, прибавить к пяти три, пожалуйста, — загнул 5 пальцев на одной руке, 3 на другой. Загнул пальцы, значит,
произвел сложение, разогнул — вычитание. Ну, а если уж пальцев на руке не хватает, можно использовать пальцы на
ногах, то есть был у него свой первобытный «компьютер» - десять пальцев на руках. Разгибал пальцы, складывал
числа. Загибал – вычитал. На пальцах считать удобно, только результат счета хранить нельзя. Не станешь же целый
день ходить с загнутыми пальцами. Этот древний «прибор» и сейчас используют маленькие дети, когда начинают
учиться считать в пределах десяти. Древний человек догадался: для счета можно использовать не только пальцы, но
и все, что попадается под руки – камешки, палочки, косточки... Этот факт, как считают многие ученые, стал
причиной того, что современный человек считает десятками. Так возникла десятичная система счисления.
Потом стали узелки на веревке завязывать, делать зарубки на палках. В наше
время бабушки завязывают узелки на носовых платках на память.
Около пяти тысяч лет назад люди догадались, что числа можно записывать не
просто зарубками – единицами, а по разрядам.
Это было очень важным открытием.
Жизнь заставляла человека учиться быстрее. Нужно было разбивать участки
земли, отводить воду из рек, прорывать каналы в тех местах, где поля были выше
реки, надо было поднимать воду наверх. Приходилось ломать голову над тем, как
облегчить эту тяжелую работу.
Постепенно из набора просто отдельных правил математика стала превращаться в
науку, а с её развитием появлялись всё новые и новые числа.
Мы выяснили, какие числа изучают в школе с 1 по 11 класс.
Оказалось, таких чисел больше 10
Стихотворение С. Маршака "От одного до десяти”.
А сейчас нам покажут запись современных чисел.
Вот 1, иль единица
Очень тонкая, как спица.
А вот это цифра 2.
Полюбуйся, какова.
Выгибает двойка шею,
Волочится хвост за нею.
А за двойкой - посмотри
Выступает цифра 3.
Тройка - третий из значков.
Состоит из 2-х крючков.
За тремя идет 4
Острый локоть оттопыря.
А потом пошла плясать
По бумаге цифра 5.
Руку вправо потянула,
Ножку круто изогнула.
Цифра 6 - дверной замочек.
Сверху крюк, внизу кружочек.
Вот 7 - кочерга,
У нее одна нога.
У 8 два кольца.
Без начала и конца.
Цифра 9, иль девятка
Цифровая акробатка!
Если на голову встанет,
Цифрой шесть девятка станет.
Цифра вроде буквы О.
Это 0, иль ничего:
Круглый ноль такой хорошенький,
Но не значит ничегошеньки!
Если ж слева, рядом с ним,
Единицу поместим,
Он побольше станет весить,
Потому что это - десять.
Виды систем счисления
Изобретение позиционной нумерации, основанной на поместном значении цифр,
приписывается шумерам и вавилонянам; развита была такая нумерация индусами и имела
неоценимые последствия в истории человеческой цивилизации.
К числу таких систем относится современная десятичная система счисления (с основанием n =
10), возникновение которой связано со счётом на пальцах. В средневековой Европе она
появилась через итальянских купцов, в свою очередь заимствовавших ее у мусульман. В
вычислительной технике применялись и широко применяются системы счисления не только с
основанием 2, 4, 8, 16, 32, 64, 256. Например, использовалась и троичная система счисления,
цифры которой кодировались отсутствием электрического сигнала и положительным или
отрицательным его уровнем. При записи больших чисел заслуживают внимания основания
систем счисления 100, 1000, 10000, 1000000.
Также распространены системы счисления с основаниями:
2 —исходный принцип действия (в дискретной
математике, информатике, программировании)
8 — восьмеричная (в программировании)
12 — двенадцатеричная (широко использовалась в древности, в некоторых частных
областях используется и сейчас)
16 — шестнадцатеричная (наиболее распространена в программировании, а также
в шрифтах)
60 — шестидесятеричная (измерение углов и, в частности, долготы и широты)
100 — стoричная (многие денежные единицы, в частности, рубль, доллар, гривна, евро
содержат 100 копеек или центов... )
Двенадцатеричная система счисления
Двенадцатеричная система счисления возникла в древнем Шумере. Предполагается, что такая система
возникала исходя из количества фаланг четырёх пальцев руки (исключая большой) при подсчёте их
большим пальцем той же руки. Фаланги пальцев использовались как простейшие счёты (текущее
состояние счёта засекалось большим пальцем), вместо загибания пальцев, принятого в европейской
цивилизации. Некоторые народы Нигерии и Тибета используют двенадцатеричную систему счисления в
настоящее время.
Так же существует гипотеза, что до 12 считали сидя, загибая не только 10 пальцев рук, но и 2 ноги. Хотя,
возможно, такое случалось, когда европейцам приходилось сталкиваться с восточным двенадцатеричным
счётом.
Двенадцатые доли часто встречались и в европейских системах мер. У римлян стандартной дробью
была унция (1/12). 1 английский пенни (пенс) = 1/12 шиллинга, 1 дюйм = 1/12 фута и т. д.
Переход на двенадцатеричную систему счисления предлагался неоднократно. В XVII веке её
сторонником был знаменитый французский естествоиспытатель Бюффон. Вольтер в «ИсторииКарла XII»
утверждает, что этот монарх готовил указ о переходе на двенадцатеричную систему.[1] Во
времена Великой французской революции была учреждена «Революционная комиссия по весам и
мерам», которая длительный период рассматривала подобный проект, однако усилиямиЛагранжа и
других противников реформы дело удалось свернуть. В 1944 году было организовано «Американское
двенадцатеричное общество» (англ. The Dozenal Society of America (DSA)), а в 1959 —«Английское
двенадцатеричное общество» (англ. The Dozenal Society of Great Britain (DSGB)), объединившие
активных сторонников одноимённой системы счисления. Однако, главным аргументом против этого
всегда служили огромные затраты и неизбежная путаница при переходе.
Двоичная система счисления
Двоичная система счисления — позиционная система счисления с основанием 2.
Двоичная запись чисел. В двоичной системе счисления числа записываются с
помощью двух символов (0 и 1). Чтобы не путать, в какой системе счисления записано
число, его снабжают указателем справа внизу. Например, число в десятичной
системе 510, в двоичной 1012. Иногда двоичное число обозначают префиксом 0b,
например 0b101.
В двоичной системе счисления (как и в других системах счисления, кроме
десятичной) знаки читаются по одному. Например, число 101 2 произносится «один нуль
один».
Основные классы чисел
Натуральные числа
Натуральные числа, получаемые при естественном счёте; множество натуральных
чисел обозначается N .То есть N=(0,1,2,3…n)(иногда к множеству натуральных чисел
также относят ноль, то есть Натуральные числа замкнуты относительно сложения и
умножения (но не вычитания или деления). Сложение и умножение натуральных чисел
коммутативны и ассоциативны, а умножение натуральных чисел дистрибутивно
относительно сложения и вычитания.
Важным подмножеством натуральных чисел являются простые числа P. Простое число
— это натуральное число, имеющее ровно два различных натуральных делителя:
единицу и самого себя. Все остальные натуральные числа, кроме единицы, называются
составными. Ряд простых чисел начинается так: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Любое
натуральное число, большее единицы, представимо в виде произведения степеней
простых чисел, причём единственным способом с точностью до порядка следования
сомножителей. Например, 121968=24·32·7·112.
Целые числа
Целые числа, получаемые объединением натуральных чисел с множеством
отрицательных чисел и нулём, обозначаются Z={...-2, -1, 0, 1, 2, ...}. Целые числа замкнуты
относительно сложения, вычитания и умножения (но не деления).
Рациональные числа
Рациональные числа — числа, представленные в виде дроби m/n (n≠0), где m — целое
число, а n — натуральное число. Рациональные числа замкнуты уже относительно всех
четырёх арифметических действий: сложения, вычитания, умножения и деления (кроме
деления на ноль). Для обозначения рациональных чисел используется знак Q(от лат.
quotient).
Действительные числа
Действительные (вещественные) числа представляют собой расширение множества
рациональных чисел, замкнутое относительно некоторых (важных для математического
анализа) операций предельного перехода. Множество вещественных чисел обозначается
R. Его можно рассматривать как пополнение поля рациональных чисел Q при помощи
нормы, являющейся обычной абсолютной величиной. Кроме рациональных чисел, R
включает множество иррациональных чисел I , не представимых в виде отношения целых.
Комплексные числа
Комплексные числа C, являющиеся расширением множества
действительных чисел. Они могут быть записаны в виде z = x + iy, где i
— т. н. мнимая единица, для которой выполняется равенство i^2=-1.
Комплексные числа используются при решении задач электротехники,
гидродинамики, картографии, квантовой механики, теории колебаний,
теории хаоса, теории упругости и многих других. Комплексные числа
подразделяются на алгебраические и трансцендентные. При этом
каждое действительное трансцендентное является иррациональным, а
каждое рациональное число — действительным алгебраическим. Более
общими (но всё ещё счётными) классами чисел, чем алгебраические,
являются периоды, вычислимые и арифметические числа (где каждый
последующий класс шире, чем предыдущий).
Обобщение чисел
Кватернионы представляющие собой разновидность гиперкомплексных чисел.
Множество кватернионов обозначается H. Кватернионы в отличие от комплексных
чисел не коммутативны относительно умножения.
В свою очередь октавы O, являющиеся расширением кватернионов, уже теряют
свойство ассоциативности.
В отличие от октав, седенионы S не обладают свойством альтернативности, но
сохраняют свойство степенной ассоциативности.
Радические числа Q можно рассматривать как элементы поля, являющегося
пополнением поля рациональных чисел Q при помощи т. н. pадического
нормирования, аналогично тому, как поле действительных чисел R определяется
как его пополнение при помощи обычной абсолютной величины.
Аде́ли определяются как бесконечные последовательности {a∞,a2,a3,…ap…}, где
a∞ — любое действительное число, а ap — p-адическое, причём все ap, кроме,
может быть, конечного их числа, являются целыми p-адическими. Складываются и
умножаются адели покомпонентно и образуют кольцо. Поле рациональных чисел
вкладывается в это кольцо обычным образом r→{r, r,…r,…}. Обратимые элементы
этого кольца образуют группу и называются иде́лями.
Практически важным обобщением числовой системы является интервальная
арифметика.
Замечательное число ПИ.
Замечательные числа 2, 5, 12, 13, 365, 999, 1001.
А сейчас познакомимся с галереей замечательных чисел.
Число 2 является основанием самой любопытной системы счисления. Эта система применяется в
вычислительных машинах.
Число 5. Мы им пользуемся при округлении чисел. Кроме того, пятерка - самая желанная отметка
для ученика.
Всем известно число 12. Его называют дюжиной. Оно соперничает с 10. Мы имеем 12 месяцев в
году, две дюжины часов в сутки. Час делится на 5 дюжин минут, минута делится на 5 дюжин
секунд. Круг имеет 30 дюжин градусов.
Число 13, сосед 12. 13 называют чертовой дюжиной. Это число ничем не замечательно, разве
только тем, что его не любят суеверные люди. В некоторых странах не дают домам 13-й номер, не
дают этот номер ни трамваям, ни автобусам. 13 числа не отправляются в путь корабли. Мы знаем,
что это предрассудки.
Особенность числа 365 вы знаете все. Кто скажет, чем замечательно это число? (Это число дней в
году)
Очень интересным является наибольшее трехзначное число 999. Умножение любого 3-х значного
числа на 999, можно заменить вычитанием данного числа из числа, полученного умножением
этого числа на 1000
728 999 = 728 1000 - 728 = 728000 - 728 = 727272
Число 1001 называют числом Шахерезады. Это число делится без остатка на 3 последовательных
простых числа: 7, 11, 13 и является произведением этих чисел, Если трехзначное число умножить
на 1001, то в произведении получится шестизначное число, написанное дважды множимым.
965 1001 = 965965.
Существует еще много замечательных чисел, но обо всех за один раз не расскажешь.
Числа народов
мира.
Египет
Вавилон
Рим
Цифры народов майя
Славянские цифры
Сказка к уроку: «Философия и естествознание» о
развитии чисел
Жил-был ученый. Любимым занятием, которого было изучение законов диалектики. Что бы
подтвердить гипотезу о том, что законы диалектики влияют только па развитие общества, он
отправился в путешествие. Во время путешествия произошло кораблекрушение, и ученый попал на
остров к туземцам, с которыми подружился. Ученый заметил, что дикари пользуются только
натуральными числами. Ученый брал в долг пишу у туземцев, объясняя при этом, что взять три овцы
в долг означает-3 овцы, а два яблока-2 яблока. Туземцы никак не могли понять это, упорно называя
отрицательные числа «нелепыми», «абсурдными». Хотя эти числа заключали противоположный
смысл «имущество», «долг» - они составляли в месте составляли множество целых чисел. Ученый
завел дневник, в котором делал заметки о развитии жизни туземцев. Вернулся в свою хижину и
записал, что наблюдал на этом примере законы диалектики. Единство и борьба противоположностей
- эти числа отрицали существование друг Друга, но были необходимы. Накапливались различные
факты, подтверждающие это, поэтому возникло множество целых чисел, т.е. произошел переход от
количественных измерений в качественные, и туземцы научились выражать с помощью
положительных и отрицательных чисел понятия: «имущество» - «долг», «вверх» - «вниз», «тепло» «холод».
Во время охоты туземцы добыли мамонта и им нужно было разделить его на поровну. В
племени было 15 человек, т.е. каждый получит по 1/15 мамонта, но туземцы не знали дробных
чисел. Тогда ученый решил их с ними познакомить. Туземцы долго не признавали дробных
чисел, но на практике при разделке туши снова сталкивались с ними. В дневнике ученого
появилась новая запись: «сегодня я проследил становление туземцев на новую ступень
развития, теперь я понимаю, что законы диалектики действуют не только на развитие
общества, но и развитие чисел. Все законы диалектики я смог пронаблюдать, ведь и дробные
числа туземцы с начала отрицали, но затем после накопления фактов научились любой
предмет делить на части.» Через некоторое время туземцы занялись земледелием. Было
решено, что племя разобьется на группы, и каждая группа должна иметь треугольный участок
земли. Общий участок представлял собой квадрат, сторона которого равна единице. Ученый
знал, что по теореме Пифагора диагональ квадрата равна √2.Тогда он принялся объяснять
своим друзьям, что измерять эту диагональ с помощью известных чисел нельзя. После долгого
объяснения туземцы поняли ученого. Так в их жизни возникли иррациональные числа. В
дневнике появилась запись: «в развитии чисел очень точно действуют законы Диалектики. Это
подтвердилось еще раз. Туземцы говорили, что нет таких чисел, как √3, √5, √7, но я им доказал
па практике их существование. Отрицая иррациональность чисел, они пришли к множеству
действительных чисел, т.е. поднялись на более высокую ступень развития». 'Гак ученый
показал, что законы диалектики действуют не только при развитии общества, но и при
развитии чисел.
Предлагаемую Вам электронную газету
можно использовать как на уроках
математики, так и во внеклассной работе.
Удачи желает Вам 10В класс.
