(222.2 КБ)

Лекция 2: Свойства пределов
• Свойства пределов
• Принципы сходимости
Свойства пределов
Теорема 1. Если предел функции в точке конечен, то она
ограничена в некоторой окрестности этой точки.
Теорема 2. Если lim 𝑓 𝑥 = 𝐴, то в некоторой окрестности точки
𝐴
2
𝑥→𝑥0
𝑥0 𝑓(𝑥) > .
Теорема 3. Если lim 𝑓 𝑥 = 𝐴 и lim 𝑔 𝑥 = 𝐵, при этом в
𝑥→𝑥0
𝑥→𝑥0
окрестности точки 𝑥0 𝑓 𝑥 ≤ 𝑔 𝑥 , то 𝐴 ≤ 𝐵.
Теорема 4. Если в некоторой окрестности точки 𝑥0
𝑓(𝑥) ≤ 𝜑(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) и lim 𝑓 𝑥 = lim 𝑔 𝑥 = 𝐴, то
𝑥→𝑥0
𝑥→𝑥0
lim φ 𝑥 = 𝐴.
𝑥→𝑥0
Теорема 5. Предел суммы, произведения, частного функций (если в
знаменателе не тождественный ноль) равен сумме, произведению,
частому пределов.
Замечание. Для последовательностей имеют место аналогичные
свойства.
Принципы сходимости
Теорема 1. 1) Монотонно возрастающая и ограниченная
сверху последовательность – сходится.
2) Монотонно убывающая и ограниченная снизу
последовательность – сходится.
Теорема 2. (принцип вложенных отрезков) Пусть задана
последовательность вложенных друг в друга отрезков,
последовательность длин которых стремится к нулю, тогда
существует единственная точка одновременно
принадлежащая всем отрезкам.
Теорема 3. (Больцано-Вейерштрасса) Из всякой
ограниченной последовательности можно выделить
сходящуюся подпоследовательность.
Принципы сходимости
Теорема 4. (Принцип Коши) Для того чтобы
последовательность имела конечный предел необходимо и
достаточно чтобы она была фундаментальна (т.е. ∀𝜀 > 0 ∃𝑛:
∀𝑛 > 𝑛 ,∀𝑝 𝑥𝑛 − 𝑥𝑝 < ε).
Теорема 5. (Критерий Коши) Существует конечный предел
функции lim 𝑓 𝑥 = 𝐴 тогда и только тогда, когда 𝑓(𝑥)
𝑥→𝑥0
определена в окрестности точки 𝑥0 (за исключением м.б.
самой точки) и ∀𝜀 > 0 ∃𝑈 𝑥0 : ∀𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝑈(𝑥0 ) 𝑓 𝑥1 −
Лекция 2 : Задание
1. Сформулировать свойства пределов
последовательностей.
2. Провести доказательства всех свойств.