Разработала преподаватель ГБОУ СПО (ССУЗ) «Южно-уральский многопрофильный колледж»: Полоскова Наталья Анатольевна

Разработала преподаватель ГБОУ СПО (ССУЗ)
«Южно-уральский многопрофильный колледж»:
Полоскова Наталья Анатольевна
 Что такое геометрия?
Геометрия – наука о свойствах геометрических
фигур
«Геометрия» - (греч.) – «землемерие»
 Что такое планиметрия?
Планиметрия – раздел геометрии, в котором
изучаются свойства фигур на плоскости.
Основные понятия планиметрии?
Основные понятия планиметрии:
а
А
точка
прямая
Стереометрия
- раздел геометрии, в котором
изучаются свойства фигур в
пространстве
История развития аксиоматического метода
Евклид (325-265 г.до н.э.)
Платон (428-347 г.до н.э.) и его ученик
Аристотель(384-322г . до н.э.)
Основные понятия в пространстве:
точка
прямая
плоскость
а
Обозначение
: А; В; С; …;
М;…
α
Обозначение: a, b,
с, d…, m, n,…(или
двумя заглавными
Обозначение: α, β, γ…
латинскими)
Ответьте на вопросы по рисунку:
М
β
А
В
N
Р
1. Назовите точки, лежащие в
плоскости β; не лежащие в
плоскости β.
2. Назовите прямые, лежащие в
плоскости β; не лежащие в
плоскости β
Геометрические понятия
Плоскость – грань
Прямая – ребро
Точка – вершина
вершина
грань
ребро
Некоторые геометрические тела.
В1
А1
В1
С1
А1
Д1
В
С1
С
Д1
С
В
Д
А
А
куб
Д
параллелепипед
Д
В
А
С
цилиндр
тетраэдр
конус
Назовите какие геометрические тела вам напоминают предметы,
изображенные на этих рисунках:
Назовите предметы из окружающей вас обстановки ( нашей классной комнаты)
напоминающие вам геометрические тела.
Практическая работа.
В1
А1
С1
Д1
В
С
1. Изобразите в тетради куб
(видимые линии – сплошной
линией, невидимые –
пунктиром).
2. Обозначьте вершины куба
заглавными буквами
АВСДА1В1С1Д1
3. Выделите цветным карандашом:
А
Д
-вершины А, С, В1, Д1
-отрезки АВ, СД, В1С, Д1С
-диагонали квадрата АА1В1В
- Что
такое аксиома?
Аксиома – это утверждение о свойствах
геометрических фигур, принимается в качестве
исходных положений, на основе которых
доказываются далее теоремы и вообще строится вся
геометрия.
Аксиомы планиметрии:
- через любые две точки можно провести прямую и притом
только одну.
-из трех точек прямой одна, и только одна, лежит между
двумя другими.
-имеются по крайней мере три точки, не лежащие на одной
прямой…
Аксиомы стереометрии
В
А
α
С
А1. Через любые три точки, не лежащие
на одной прямой, проходит плоскость и
притом только одна.
Если ножки стола не одинаковы по длине, то
стол стоит на трех ножках, т.е. опирается на
три «точки», а конец четвертой ножки
(четвертая точка) не лежит в плоскости пола, а
висит в воздухе.
Аксиомы стереометрии
В
А
α
А2. Если две точки прямой лежат в
плоскости, то и все точки этой прямой лежат в
этой плоскости.
Говорят: прямая лежит в плоскости или плоскость
проходит через прямую.
Сколько общих
точек имеют прямая
и плоскость?
Прямая лежит в
плоскости
а
М
Прямая пересекает
плоскость
Аксиомы стереометрии
β
А
α
а
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они
имеют общую прямую, на которой лежат все общие
точки этих плоскостей. Говорят: плоскости
пересекаются по прямой.
Аксиомы стереометрии описывают:
А1.
Способ задания
плоскости.
А2.
А3.
Взаимное
расположение
прямой и плоскости
Взаимное
расположение
плоскостей
А
В
b
А
С
b
В
b
a
Теорема 1. Через прямую и не лежащую на ней
точку проходит плоскость и притом только одна.
Дано:
α
О
Доказать:
(а, М) с α
α- единственная
Р
а
а, М ¢ а
М
Доказательство :
1.
Р, О с а; {Р,О,М} ¢ а
По аксиоме А1: через точки Р, О, М проходит плоскость .
2. Любая плоскость проходящая через прямую а и точку М
проходит через точки Р, О, и М, значит по аксиоме А1 она –
единственная. Ч.т.д.
Теорема 2. Через две пересекающиеся прямые
проходит плоскость, и притом только одна.
Н
а
М
α
b
Теорема 3. Через две параллельные прямые
проходит плоскость и притом только одна.
α
a
b
Способы задания плоскости
1. Плоскость можно
провести через три
точки.
2. Можно провести
через прямую и не
лежащую на ней
точку.
g
g
Аксиома 1
Теорема 1
3. Можно провести
через две
пересекающиеся
прямые.
g
Теорема 2
Прочитайте чертеж
С
a
A
A a
C a
Прочитайте чертеж
b
a
B
c
a a
b a  B
a
c a
Прочитайте чертеж
a b c
b
c
a
1
Дано: куб АВСДА1В1С1Д1
Д1
А1
С1
Найдите:
1) Несколько точек, которые
лежат в плоскости α;
2) Несколько точек, которые не
лежат в плоскости α;
В1
3) Несколько прямых, которые
лежат в плоскости α;
Д
α
А
С
В
4) Несколько прямых, которые
не лежат в плоскости α;
5) Несколько прямых которые
пересекают прямую ВС;
6) Несколько прямых, которые
не пересекают прямую ВС.
2
Д1
А1
С1
В1
Д
α
А
Лежат ли прямые АА1,
АВ, АД в одной
плоскости?
С
В
Прямые АА1, АВ, АД
проходят через точку А,
но не лежат в одной
плоскости
3
Дан куб АВСDA1B1C1D1.
D1
С1
M
А1
В1
Точка М лежит на
ребре DD1
Точка N лежит на
ребре CC1
Точка K лежит на
ребре BB1
4) Найдите
N
линию пересечения
плоскостей MNK и ABC.
F
D
С
K
А
В
O
ABC ∩ MNK = OF
O € KN,
O € OC,
F € MN,
F € DC,
значит
значит
значит
значит
О
О
F
F
€ МNK
€ АВС
€ MNK
€ АВС
4
1) Назовите две плоскости,
cодержащие прямую EF.
S
E
D
А
С
2) Назовите прямую по
которой пересекаются
плоскости BDЕ и SAC.
F
В
3) Назовите плоскость, которую
пересекает прямая AC.
5
1. Назовите две плоскости,
cодержащие прямую DE.
S
E
D
А
С
2) Назовите прямую по
которой пересекаются
плоскости АЕF и SBC.
F
В
3) Назовите плоскость, которую
пересекает прямая SB.
6
• Пользуясь данным
рисунком, назовите:
• а) три плоскости,
содержащие
прямую В1С;
прямую АВ1;
B1
A1
C1
D1
B
A
C
D
7
В1
А1
C1
D1
В1С
?
В
А
С
D
8
В1
А1
C1
D1
В1С
?
В
А
С
D
Решить задачи: №1(а,б); 2(а)
9
Назовите по рисунку:
Д
В1
С1
Q
P
А1
Д1
К
К
М
Р
А
М
В
С
С
R
Е
В
а) плоскости, в которых лежат
прямые РЕ, МК, ДВ, АВ, ЕС; б) точки
пересечения прямой ДК с плоскостью
АВС, прямой СЕ с плоскостью АДВ.
А
Д
а) точки, лежащие в плоскостях
ДСС1 и ВQС
Домашнее задание:
1. Теория в АСУ ProCollege занятие № 50
2. Доказать теорему №2 самостоятельно (Обратить внимание
на то, что доказательство опирается не на аксиомы, а на
следствие 1.)
3. Выучить аксиомы А1 – А3 ;
4. Выучить теоремы 1, 2 ( с доказательством);
3. Решить задачу №8 ( с объяснением ответов)
Подведем итоги урока:
1)
Как называется раздел геометрии, который мы будем изучать?
2) Что такое стереометрия?
3) Сформулируйте с помощью рисунка аксиомы стереометрии,
которые вы изучили сегодня на уроке.
β
В
А
В
α
А
α
А
α
Как вы оцениваете свою работу
на уроке?
Литература:
Основная:
•Алтынов П.И. Тесты. Геометрия 10-11 классы. Учебно-методическое
пособие - М.: Дрофа 2002г.
•Богомолов, Н. В. Математика для ссузов / .В. Богомолов, П.И. Самойленко5-е изд., стереотип..-М.: Дрофа, 2008. – 395,[5] с.
•Богомолов, Н.В. Практические занятия по математике: Учеб. Пособие для
средних спец. Учеб. заведений/ Н.В. Богомолов.- 5-е изд.стереотип. - М.:
Высш.шк., 2007.-495 с.
•Готман Э.Г. Стереометрические задачи и методы их решения. М.: МЦНМО,
2006.-160 с.
Дополнительная:
•Гиндикин С.Г. Рассказы о физиках и математиках.-2- изд.-М.: Наука 1985
•Интернет- ресурс «Открытая математика. Стереометрия».-www.college.ru.