ОПИСАННЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ

ОПИСАННЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ
ОПИСАННЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ
Многоугольники. Виды многоугольников.
 Внутренние и внешние углы выпуклого
многоугольника.
 Сумма внутренних углов выпуклого n-угоьника
(теорема).
 Сумма внешних углов выпуклого n-угольника
(теорема).
 Правильные многоугольники.
 Окружность, описанная около правильного
многоугольника (теорема,следствие 1,2)

МНОГОУГОЛЬНИКИ
Многоугольником называется фигура,
составленная из отрезков так что смежные
отрезки не лежат на одной прямой, а
несмежные отрезки не имеют
общих точек.
ВИДЫ МНОГОУГОЛЬНИКОВ
Выпуклый
Невыпуклый
Многоугольник называется выпуклым,
если он лежит по одну сторону от
прямой, проходящей через две его
соседние вершины.
a
a
ВНУТРЕННИЕ И ВНЕШНИЕ УГЛЫ ВЫПУКЛОГО
МНОГОУГОЛЬНИКА.
 Внутренним углом выпуклого многоугольника при
данной вершине называется угол, образованный его
сторонами, сходящимися в этой вершине.
 Внешним углом выпуклого многоугольника при
данной вершине называется угол, смежный с
внутренним при этой вершине.
внутренний угол
внешний угол

СУММА ВНУТРЕННИХ УГЛОВ ВЫПУКЛОГО NУГОЛЬНИКА.
Теорема. Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна
(n – 2) ·180о, где n – число сторон многоугольника.
Дано: выпуклый n-угольник.
о
о
Доказать: ∑α = (n – 2) ·180
Доказательство
Внутри n-угольника возьмём произвольную точку О и соединим её со
всеми вершинами. Многоугольник разобьётся на n треугольников с общей
вершиной О.
Сумма углов каждого треугольника равна 180о, следовательно, сумма углов всех
треугольников равна 180оn. В эту сумму, кроме суммы всех внутренних углов
многоугольника, входит сумма углов треугольников при вершине О, равная 360о.
Таким образом, сумма всех внутренних углов многоугольника равна
180оn – 360о= (n – 2) ·180о.
Итак, ∑n = (n – 2) ·180о.
Ч.т.д.
СУММА ВНЕШНИХ УГЛОВ ВЫПУКЛОГО NУГОЛЬНИКА.
Теорема. Сумма внешних углов выпуклого многоугольника, взятых по
одному при каждой вершине, не зависит от n и равна 360, где n – число
сторон n-угольника.
Доказательство.
Так как внешний угол многоугольника является смежным
соответствующему внутреннему углу, а сумма смежных углов равна 180,
то сумма внешнихуглов многоугольника равна:
180оn – (n – 2) ·180о= 180о·n – 180о·n + 360о= 360о.
Внешние и
внутренние
внутренние
Итак, сумма внешних углов выпуклого многоугольника, взятых по
одному при каждой вершине, не зависит от n и равна 360о, где n – число
сторон n-угольника.
Ч.т.д.
ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ.
Правильным многоугольником называется
выпуклый многоугольник, у которого все углы
равны и все стороны равны.
ОКРУЖНОСТЬ, ОПИСАННАЯ ОКОЛО
ПРАВИЛЬНОГО МНОГОУГОЛЬНИКА.
Теорема. В любой правильный многоугольник можно вписать
окружность, и притом только одну.
A3
A2
A1
H1
H2
H3
Hn
An
Доказательство.
Пусть А1,А2,…,А n - правильный многоугольник, О –центр описанной
окружности. ∆ ОА1А2 =∆ОА2А3= ∆ОАnА1 , поэтому высоты этих
треугольников, проведённые из вершины О, так же равны
ОН1=ОН2=…=ОНn. Поэтому окружность с поэтому окружность с
центром О и радиусом ОН1 проходит через точки H1 ,H2, …, Hn и
касается сторон многоугольника в этих точках, т.е. окружность
вписана в данный многоугольник.
Докажем, что вписанная окружность только одна.
Предположим, что существует другая вписанная окружность с
центром О и радиусом ОА. Тогда её центр равноудалён от сторон
многоугольника., т.е.Точка О1 лежит на каждой из биссектрис углов
многоугольника, и поэтому совпадает с точкой О пересечения этих
биссектрис. Радиус этой окружности равен расстоянию от точки О до
сторон многоугольника, т.е. равен ОН1.Теорема доказана.
 Следствие1
Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается сторон
многоугольника в их серединах.
 Следствие 2
Центр окружности, описанной около правильного многоугольника,
совпадает с центром окружности, вписанной в тот же многоугольник.
ФОРМУЛА ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЛОЩАДИ
МНОГОУГОЛЬНИКА
