МКОУ «Гимназия с. Дружба» Открытый урок Учитель математики 1-ой категории Кочкарова С. С. Цель урока: - вычисление объемов тел вращения с помощью определенного интеграла. Ход урока II. Актуализация знаний учащихся Теоретический опрос. Повторить понятия конуса и усеченного конуса. 1. Рассмотрим окружность L с центром в точке О и прямую ОР, перпендикулярную плоскость α. Каждую точку окружности соединим отрезком с точкой Р. Поверхность, образованная этими отрезками, называется... (рис.1) Рис. 1. Рис. 2. Рис. 3. Рис. 3. Рис. 4. S R 2 Î÷åâèäíî, ïðîõîäÿùåé ÷òî ñå÷åíèå ýòîãî òåëà ïëîñêîñòüþ , ÷åðåç òî÷êó ñ àáñöèññîé õ [a;b] è ïåðïåíäèêó ëÿðíîéîñè Ox, åñòü êðóã (èëè òî÷êà) ðàäèóñà f(x). Ñëåäîâàòåëüíî, ïëîùàäü 2 ñå÷åíèÿ ðàâíà S(x) πf (x), à îáúåì ðàññìàòðèâ àåìîãî òåëà âðàùåíèÿ âû÷èñëÿåòñÿ b 2 ïî ôîðìóëå V π f (x)dx (ðèñ.6 ). a S(x) ýòîãî 1. ÎÁÚÅÌ ÖÈËÈÍÄÐ À H H 2 2 2 Vöèëèíäðà y dx π R dx R x 0 0 Ось Y 0 H Y=R R H Ось X 2 R H 2. ÎÁÚÅÌ ÊÎÍÓÑÀ Ïðèìåíÿÿ îáúåìîâ îñíîâíóþ ôîðìóëó äëÿ âû÷èñëåíèÿ òåë ïðè a 0 , b H, ïîëó÷àåì 2 H 2 x3 H H R 2 R R 1 2 2 2 Vêîíóñà x dx R H x dx 2 3 H2 0 H2 3 0 0 H Y kx R K H 3. ÎÁÚÅÌ ÓÑÅ×ÅÍÍÎà ΠÊÎÍÓÑÀ 2 H Rr 1 2 2 V óñå÷åííîãî êîíóñà x r dx H ( r R rR ) H 3 0 Y=kx+r 4.ÎÁÚÅÌ ØÀÐÀ õ2 y 2 R 2 óðàâíåíè å îê ðóæíîñòè Ïîë óîê ðóæí îñòü,ðàñïîë îæåí íàÿ íàä îñüþ õçàäàåòñÿóðàâíåíè åì y R 2 x 2 ,R xR. Ïîýòîìó îáúåì øàðà îïðåäåë ÿåòñÿïî ôîðìóë å R R 3 x V R 2 x 2 dx R 2 x 4 R3 3 R 3 R Èòàê , îáúåì øàðà ðàâåí 4 R3 3 -R У 0 R X 5. ÎÁÚÅÌ ØÀÐÎÂÎÃÎ ÑÅÃÌÅÍÒÀ ñåãìåíòîì íàçûâàåòñÿ ÷àñòüøàðà, îòñåêàåìàÿ îò íåãî Øàðîâûì ïëîñêîñòüþ . Ôîðìóëó äëÿ îáúåìà øàðîâîãî ñåãìåíòà ïîëó÷àåì àíàëîãè÷íî ôîðìóëå îáúåìà øàðà : 3 R R H x 2 2 2 2 V R x dx R x H R 3 3 R H RH У ãäå R ðàäèóñ øàðà, à H âûñîòà øàðîâîãî ñåãìåíòà. H -R 0 R-H R X 6. ÎÁÚÅÌ Øàðîâûì ØÀÐÎÂÎÃÎ ÑÅÊÒÎÐÀ ñåêòîðîì íàçûâàåòñÿ òåëî, êîòîðîå ïîëó÷àåòñÿ èç øàðîâîãî ñåãìåíòà è êîíóñà. Äëÿ îïðåäåëåíè ÿ îáúåìà øàðîâîãî ñåêòîðà èñïîëüçóåò ñÿ ñëåäóþùàÿ ôîðìóëà : 2 2 V R H 3 ãäå R ðàäèóñ øàðà, à H âûñîòà øàðîâîãî ñåãìåíòà. Задача №674 Фигура, заштрихованная на рисунке вращается вокруг оси ох. Найти объем полученного тела. Ç àäà÷à¹708 Äàí î : óñ å÷åí íû é ê îí óñ , r O1C 3ì, OB R6 ì, CB 5 ì. Íàé òè :V óñ.ê. Ç àäà÷à¹704 Äàíî : êîíóñ, h SO AB H . Íàéòè :V . V. Итоги урока Формулы нахождения объема цилиндра, конуса, усеченного конуса, шара, шарового сегмента, шарового сектора. Ðåøåíèå : b V S(x) dx a b V π f 2(x)dx a 1 2 1 π 1 1 1 2 x π 2 V πy (x)dx π x dx πx dx π 0 2 0 2 2 0 0 0 π Îòâåò : V 2 Ðåøåíèå : 1 V h( R 2 r 2 Rr ). 3 Ïðîâåäåì C1C AB, O1C OC1 3 ì ,C1B633( ì ). Èç CBC1 C1 90 ïî òåîðåìå Ïèôàãîðà CB 2 CC12 C1B 2 , îòñþ äà CC12 CB 2 C1B 2 ,CC12 5 2 3 2 ,CC12 16,CC1 4. 1 V 4(6 2 3 2 63)84 ì 3 3 Îòâåò : V 84 ì 3 . Ðåøåíèå : 1 2 V r h. 3 d H d AB H , D2r ,r ,h H . 2 2 1 H2 1 H 3 H 3 V H 3 4 3 4 12 Îòâåò : V H 3 12 .