АОВ и

Признаки
параллелограмма
Выясните, является ли данный
четырехугольник параллелограммом?
В
В
2
С
А
C
3
1
A
D
D
1  2
34
1  2   3
ABCD - параллелограмм
В
3 см
А
С
D
D
А
В
 А  50 0
Найдите  В, С , D
Найдите периметр
В
С
o
А
С
D
АО = 3 см, ВD = 8 см.
Найдите: OC, AC, BO, OD
Признак 1. Если в четырехугольнике две стороны равны
и параллельны, то этот четырехугольник –
параллелограмм.
Дано:
В
С АВСD – четырехугольник
4
AB l l CD, AB = CD
2
1
Доказать:
АВСD - параллелограмм
Доказательство:
рассмотрим ∆ АВС и ∆ADC,
3
D
A
AC - общая, AB = CD (по условию)
1 =2 (как накрест лежащие углы)
3 = 4
 BC l l AD


= ∆ ADC
 ∆(поАВС
1-му признаку
равенства треуг.)
АВСD - параллелограмм

Повторите доказательство теоремы
самостоятельно!
В
С
4
2
1
3
A
D
Решите задачу. В четырехугольнике ABCD  1=  2,
АD = ВС. Докажите, что ABCD – параллелограмм.
B
1
A
2
C
D
Решение:
1 = 2 – накрест лежащие углы при прямых ВС, АD и секущей
АС. По признаку параллельных прямых ВС АD, и по условию
АD = ВС  по первому признаку параллелограмма
ABCD - параллелограмм .
Признак 2. Если в четырехугольнике противоположные
стороны попарно равны, то этот четырехугольник –
параллелограмм.
Дано:
С АВСD – четырехугольник
В
AB = CD, BC = AD
Доказать:
АВСD - параллелограмм
2
1
Доказательство:
рассмотрим ∆АВС и ∆ADC,
D
А

AC - общая, AB = CD, BC = AD (по условию) 
1 = 2
∆ АВС = ∆ ADC
(по 3-му признаку
равенства треуг.)

 AB l l CD и AB = CD  АВСD - параллелограмм
(по 1-му признаку параллелогр.)
Повторите доказательство теоремы
самостоятельно!
В
С
2
1
А
D
Решите задачу. В четырехугольнике ABCD  1=  2,
ВС = АD. Докажите, что ABCD – параллелограмм.
B
C
1
2
A
D
Решение:
рассмотрим ∆АВD и ∆BDC, ВD – общая, ВС=АD и  1=  2 по
условию  ∆АВD = ∆BDC (по первому признаку равенства
треугольников)  АВ = СD  по второму признаку
параллелограмма ABCD - параллелограмм .
В
Признак 3. Если в четырехугольнике диагонали
пересекаются и точкой пересечения делятся пополам,
то этот четырехугольник – параллелограмм.
Дано: АВСD - четырехугольник
ВD  AC = O, АО = ОС и ВО = ОD
С
3
O
1
Доказать:
ABCD - параллелограмм
Доказательство:
рассмотрим ∆ АОВ и ∆СОD,
2
4
А
D
АО = ОС и ВО = ОD (по условию)
 1= 2 (как вертикальные)
(по 1-му признаку рав. треуг.) 
∆ АОВ = ∆СОD
АВ = СD и  3 =  4

АВ l l СD( по призн. парал. прямых)
Итак, АВ = СD и АВ l l СD  ABCD – параллелограмм
(по 1 призн. параллелогр.)
Повторите доказательство теоремы
самостоятельно!
С
В
3
O
1
2
4
А
D
Решите задачу. В параллелограмме ABCD точки
A₁, B₁, C₁, D₁ - середины отрезков OA, OB, OC, OD.
Докажите, что четырехугольник A₁B₁C₁D₁ - параллелограмм
B
C
B₁
A₁
A
O
C₁
Решение:
D₁
D
АО=ОС, ВО=ОD (по свойству
параллелограмма)
АA₁=A₁О, ОC₁=C₁С (по
условию)  A₁О=ОC₁,
аналогично B₁О=ОD₁  по
первому признаку
параллелограмма
A₁B₁C₁D₁ - параллелограмм
Домашнее задание
• П.43
• № 379,380