bessonova_sa_3_st.peterburg_seminar14

Бессонова Светлана Александровна
учитель математики
Государственное бюджетное
общеобразовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа №603
Фрунзенского района Санкт-Петербурга
Всероссийский интернет-семинар
10 сентября-10 октября 2014 года
"Развитие ключевых и предметных компетенций педагога и школьника
в условиях ФГОС нового поколения"
Применение подобия к
доказательству теорем и
решению задач
Средняя линия
треугольника
Пропорциональные отрезки
в прямоугольном
треугольнике
Средняя линия треугольника
Средней линией треугольника называется
отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
Теорема: средняя линия треугольника
параллельна одной из его сторон
и равна половине этой стороны.
Средняя линия треугольника
Доказательство теоремы о средней линии
треугольника
Пусть MN – средняя линия ABC.
Докажем, что MN ll AC и MN=1/2 AC.
B
BMN и BAC подобны по второму
признаку подобия треугольников
(В – общий, BM/BA=BN/BC=1/2),
поэтому 1=2 и MN/AC= 1/2
1=2 (т.к. 1 и 2 –
соответственные углы при прямых
MN ll AC и секущей АВ)  MN ll AC
MN/AC=1/2  MN=1/2 AC.
Теорема доказана.
M
A
2
1
N
C
Средняя линия треугольника
Задача 1
Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке,
которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
Решение
Рассмотрим произвольный АВС. Обозначим буквой О
точку пересечения его медиан АА1 и ВВ1 и проведём
среднюю линию А1В1 этого треугольника. Отрезок А1В1llАВ,
поэтому углы 1 и 2, а также углы 3 и 4 равны как накрест
лежащие углы при пересечении параллельных прямых
АВ и А1В1 секущими АА1 и ВВ1. Следовательно, АОВ и
А1ОВ1 подобны по двум углам, и, значит, их стороны
пропорциональны: АО/А1О=ВО/В1О=АВ/А1В1.
Но АВ=2А1В1, поэтому АО=2А1О и ВО=2В1О. Таким
образом, точка О пересечения медиан АА1 и ВВ1 делит
каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины.
Аналогично доказывается, что точка пересечения
медиан ВВ1 и СС1 делит каждую из них в отношении
2:1, считая от вершины, и, следовательно, совпадает
с точкой О.
Итак, все три медианы АВС пересекаются в точке О и
делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины. ч.т.д.
C
B1
4
2
A1
O
3
1
A
C1
B
Пропорциональные отрезки в прямоугольном
треугольнике
Задача 2
Доказать, что высота прямоугольного треугольника, проведённая из
вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных
прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному
треугольнику.
Решение
Пусть АВС – прямоугольный треугольник с прямым
углом С, СD – высота, проведённая из вершины С к
гипотенузе АВ.
Докажем, что: АВС и АСD, АВС и СВD, ACD
и CBD - подобны.
АВС и АСD подобны по первому признаку подобия
треугольников (А – общий, АСВ = ACD = 90).
Точно так же подобны АВС и CBD (В – общий и
АСВ =BDC=90), поэтому А = ВСD.
Наконец, АСD и CBD также подобны по первому
признаку подобия (в этих треугольниках углы с
вершиной D прямые и А = BCD), ч.т.д.
С
А
D
В
Об авторе…
Вер… М…
Ученица 8 А класса
Школы № 603
При создании данной презентации
использовался учебник Геометрии. Авторы:
Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов,
С.Б. Кадомцев, Э.Г. Позняк, И.И. Юдина.