Тип урока - формирование новых знаний.

Тип урока - формирование новых знаний.
Цели урока:
Образовательные:
 повторить определения синуса, косинуса, тангенса острого угла
прямоугольного треугольника;
 рассмотреть определения и свойство синуса, косинуса, тангенса любого
угла α из промежутка 0° ≤ α ≤ 180°;
 учить учащихся применять новые знания при решении задач.
Развивающие:
• совершенствовать умения логически мыслить и выражать свои
мысли вслух;
• стимулировать познавательную деятельность учащихся постановкой
проблемного задания оценкой;
• развивать культуру речи;
• способствовать развитию находчивости, сообразительности.
Воспитательные:
 воспитывать у учащихся стремление к совершенствованию своих
знаний;
 воспитывать интерес к предмету.
Тригонометрия – слово греческое и в буквальном
переводе
означает
измерение
треугольников
(trigwnon- треугольник, а metrew- измеряю).
В данном случае измерение треугольников следует
понимать
как
решение
треугольников,
т.е.
определение сторон, углов и других элементов
треугольника, если даны некоторые из них. Большое
количество практических задач, а также задач
планиметрии, стереометрии, астрономии и других
приводятся к задаче решения треугольников.
Возникновение
тригонометрии
связано
с
землемерием, астрономией и строительным делом.
Хотя название науки возникло сравнительно
недавно, многие относимые сейчас к
тригонометрии понятия и факты были известны ещё
две тысячи лет назад.
Впервые способы решения треугольников,
основанные на зависимостях между сторонами
и углами треугольника, были найдены
древнегреческими астрономами Гиппархо
(2 в. до н. э.) и Клавдием Птолемеем (2 в. н. э.).
Позднее зависимости между отношениями сторон
треугольника и его углами начали называть
тригонометрическими функциями.
Значительный вклад в развитие тригонометрии
внесли
арабские ученые Аль - Батани (850-929) и Абу – ль Вафа, Мухамед - бен Мухамед (940-998),
который составил таблицы синусов и тангенсов
через 10’ с точностью до 1/604.
Теорему синусов уже знали индийский ученый
Бхаскара (р. 1114, год смерти неизвестен) и
азербайджанский астроном и математик Насиреддин
Туси Мухамед (1201-1274).
Кроме того, Насиреддин Туси в своей работе
«Трактат о полном четырехстороннике»
изложил плоскую и сферическую тригонометрию как
самостоятельную дисциплину.
1. Какой треугольник называется прямоугольным?
2. Дайте определение сторон прямоугольного треугольника.
3. Дайте определение синуса острого угла прямоугольного
треугольника.
4. Дайте определение косинуса острого угла прямоугольного
треугольника.
5. Дайте определение тангенса острого угла прямоугольного
треугольника
6. Сформулируйте основное тригонометрическое тождество.
7. Сформулируйте теорему о соотношениях между сторонами и
углами треугольника
8. Сформулируйте теорему Пифагора.
Синус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению
противолежащего к данному острому углу катета и гипотенузы.
Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению
прилежащего к данному острому углу катета и гипотенузы.
Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению
противолежащего к данному острому углу катета к прилежащему.
Котангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению
прилежащего к данному острому углу катета к противолежащему.
Пусть дан прямоугольный треугольник АВС такой, как показан на рисунке.
Запишем определения тригонометрических функций для него:
А
С
В
Задача № 1
Катеты
прямоугольного
треугольника
равны 3 см, 4 см. Найдите синус меньшего
острого угла этого треугольника. А
С
В
Задача №2
Стороны прямоугольного треугольника равны:
26 см, 24 см и 10см.
Найдите тангенс большего острого угла этого треугольника.
А
С
В
Задача №3
Катет прямоугольного треугольника равен 6 дм, а противоположный угол
равен 30°. Найдите гипотенузу этого треугольника. Найдите синус
и косинус меньшего острого угла этого треугольника.
А
С
В
Задача №4
Вычисляя синус острого угла
прямоугольного треугольника.
Ученик получил число 1,05.
Верны ли его вычисления?
Историческая справка
Дальнейшее развитие тригонометрия получила
в трудах выдающихся астрономов Николая
Коперника (1473-1543) – творца гелиоцентрической
системы мира, Тихо Браге (1546-1601) и Иогана
Кеплера (1571-1630), а также в работах математика
Франсуа Виета (1540-1603), который полностью
решил задачу об определениях всех элементов
плоского или сферического треугольника по
трем данным.
Долгое время тригонометрия носила чисто геометрический
характер, т. е. факты, которые мы сейчас формулируем
в терминах тригонометрических функций, формулировались
и доказывались с помощью геометрических понятий и
утверждений. Такою она была еще \в средние века, хотя
иногда в ней использовались и аналитические методы,
особенно после появления логарифмов. Пожалуй,
Наибольшие стимулы к развитию тригонометрии возникали
в связи с решением задач астрономии, что представляло
большой практический интерес (например, для решения
Задач определения местонахождения судна, предсказания
затемнения и т. д.). Астрономов интересовали соотношения
между сторонами и углами сферических треугольников.
И надо заметить, что математики древности удачно
справлялись с поставленными задачами.
Начиная с XVII в., тригонометрические функции
начали применять к решению уравнений, задач:
механики, оптики, электричества, радиотехники,
для описания колебательных процессов,
распространения волн, движения различных
механизмов, для изучения переменного
электрического тока и т. д.
Поэтому тригонометрические функции всесторонне
и глубоко исследовались, и приобрели важное
значение для всей математики.
Sin α =АВ/ОА = у/R = у /1=у .
Cos α =ОВ/ОА = х / R = х /1=х.
Синус острого угла равен ординате у точки А.
Косинус острого угла равен абсциссе х точки А.
Sin α = у и Cos α = х.
tq α= Sin α / Cos α =x/у.
у
А(х; у)
у
х
О В
х
Так как координаты ( х; у) точек единичной полуокружности
заключены в промежутках 0 ≤ у ≤ 1, -1 ≤ х ≤ 1,
то для любого угла
α из промежутка 0° ≤ α ≤ 180°
справедливы равенства 0 ≤ Sin α ≤ 1,
-1 ≤ Cos α ≤ 1.
у
Sin (180⁰-α) = sin α;
Cos (180⁰-α)= - cos α;
tq (180⁰-α)= - tq α.
Sin (90⁰-α) = cos α;
Cos (90⁰-α)= - sin α;
tq (90⁰-α)= -c tq α.
А
А(х;у)
180⁰-α
в
О
α
в
0⁰
30⁰
45⁰
60⁰
90⁰
180⁰
Sin α
0
1/2
√2/2
√3/2
1
0
Cos α
1
√3/2
√2/2
1/2
0
-1
tq α
0
√3/3
1
√3
—
0
Ctq α
—
√3
1
√3/3
0
—
Аналитическая теория тригонометрических функций в
основном была создана выдающимся математиком XVIII
веке Леонардом Эйлером (1707-1783) членом Петербургской
Академии наук. Громадное научное наследие Эйлера
включает
блестящие
результаты,
относящиеся
к
математическому анализу, геометрии, теории чисел,
механике и другим приложениям математики. Именно Эйлер
первым ввел известные определения тригонометрических
функций, стал рассматривать функции произвольного угла,
получил формулы приведения. После Эйлера тригонометрия
приобрела форму исчисления: различные факты стали
доказываться путем формального применения формул
тригонометрии, доказательства стали намного компактнее
проще.
Таким образом, тригонометрия, возникшая
как наука о решении треугольников, со
временем
развилась
и
в
науку
о
тригонометрических функциях.
Позднее часть тригонометрии, которая
изучает свойства тригонометрических функций
и зависимости между ними, начали называть
гониометрией (в переводе – наука об
измерении углов, от греческого gwnia угол, metrew- измеряю). Термин гониометрия
в
последнее
время
практически
не
употребляется.
Дано:
сos α= - /2.
sin α=1/2.
Решение:
1 . sin 2α=1- сos2 α=1-3/4=1/4.
Найти:
sin α и tq α.
2. tq α= sin α: сos α=1/2:/2=- /3.
Ответ: sin α=1/2 и tq α= - /3.
Дано:
tq α= - 5/12.
Найти:
sin α и сos α.
Решение:
1)1+ tq2 α = 1/ сos2 α.
1+25/144=1/ сos2 α.1/ сos2 α= 169/144; сos2 α=144/169;
сos α= 12/13.
2) sin 2α=1- сos2 α=1-144/169= 25/169; sin α=5/13.
Ответ: сos α= 12/13 и сos α= 12/13.