Презентация ИСТОРИЯ КОМБИНАТОРИКИ.ppt

ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ И
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Подготовила: Стацуро Н.Н.
Учитель математики МБОУ СОШ № 2 села Александров-Гай
СОДЕРЖАНИЕ
1.Комбинаторика
2.История комбинаторики
3.Разделы комбинаторики
4.Открытие проблемы
5.Примеры комбинаторных конфигураций и задач
6.Теория вероятностей
7.История теории вероятностей
Термин «комбинаторика» был
введён в математический обиход
Лейбницем, который в 1666 году
опубликовал свой труд
«Рассуждения о комбинаторном
искусстве».
 Иногда под комбинаторикой
понимают более обширный
раздел дискретной математики,
включающий, в частности,
теорию графов.

Готфрид Вильгельм
фон Лейбниц
- немецкий философ,
математик, юрист,
дипломат
ИСТОРИЯ КОМБИНАТОРИКИ
Древний период


Комбинаторные мотивы можно заметить в символике китайской «Книги
Перемен» (V век до н. э.). По мнению её авторов, всё в мире
комбинируется из различных сочетаний мужского и женского начал, а
также восьми стихий: земля, горы, вода, ветер, гроза, огонь, облака и
небо. Историки отмечают также комбинаторные проблемы в
руководствах по игре в Го и другие игры. Большой интерес математиков
многих стран с древних времён неизменно вызывали магические
квадраты.
Классическая задача комбинаторики: «сколько есть способов извлечь m
элементов из N возможных» упоминается ещё в сутрах древней Индии
(начиная примерно с IV века до н. э.). Индийские математики, видимо,
первыми открыли биномиальные коэффициенты и их связь с биномом
Ньютона. Во II веке до н. э. индийцы знали, что сумма всех
биномиальных коэффициентов степени n равна 2n.
ИСТОРИЯ КОМБИНАТОРИКИ
Античные греки также рассматривали отдельные
комбинаторные задачи, хотя систематическое
изложение ими этих вопросов, если оно и
существовало, до нас не дошло. Хрисипп (III век до
н. э.) и Гиппарх (II век до н. э.) подсчитывали,
сколько следствий можно получить из 10 аксиом;
методика подсчёта нам неизвестна, но у Хрисиппа
получилось более миллиона, а у Гиппарха — более
100000. Аристотель при изложении своей логики
безошибочно перечислил все возможные типы
трёхчленных силлогизмов. Аристоксен рассмотрел
различные чередования длинных и коротких слогов
в стихотворных размерах. Какие-то комбинаторные
правила пифагорейцы, вероятно, использовали при
построении своей теории чисел и нумерологии
(совершенные числа, фигурные числа, пифагоровы
тройки и др.).
Магический квадрат на
гравюре Дюрера
«Меланхолия»
ИСТОРИЯ КОМБИНАТОРИКИ
Средневековье
 В XII веке индийский математик Бхаскара в своём основном труде
«Лилавати» подробно исследовал задачи, связанные с
перестановками и сочетаниями, включая перестановки с
повторениями.
 В Западной Европе ряд глубоких открытий в области
комбинаторики сделали два еврейских исследователя, Авраам ибн
Эзра (XII век) и Леви бен Гершом (он же Герсонид, XIV век). Ибн
Эзра обнаружил симметричность биномиальных коэффициентов, а
Герсонид дал явные формулы для их подсчёта и применения в
задачах вычисления числа размещений и сочетаний.
 Несколько комбинаторных задач содержит «Книга абака»
(Фибоначчи, XIII век). Например, он поставил задачу найти
наименьшее число гирь, достаточное для взвешивания любого
товара весом от 1 до 40 фунтов.
ИСТОРИЯ КОМБИНАТОРИКИ
Новое время
Джероламо Кардано написал
математическое исследование игры в кости,
опубликованное посмертно. Теорией этой
игры занимались также Тарталья и Галилей. В
историю зарождавшейся теории
вероятностей вошла переписка заядлого
игрока шевалье де Мерэ с Пьером Ферма и
Блезом Паскалем, где были затронуты
несколько тонких комбинаторных вопросов.
Помимо азартных игр, комбинаторные
методы использовались (и продолжают
использоваться) в криптографии — как для
разработки шифров, так и для их взлома.
Джерола́ мо
(Джироламо,
Иероним) Карда́ но итальянский
математик, инженер,
философ, медик и
астролог, в его честь
назван карданный
вал
ИСТОРИЯ КОМБИНАТОРИКИ
Блез Паскаль много занимался биномиальными
коэффициентами и открыл простой способ их
вычисления: «треугольник Паскаля». Хотя этот способ
был уже известен на Востоке (примерно с X века),
Паскаль, в отличие от предшественников, строго
изложил и доказал свойства этого треугольника. Наряду
с Лейбницем, он считается основоположником
современной комбинаторики. Сам термин
«комбинаторика» придумал Лейбниц, который в 1666
году (ему было тогда 20 лет) опубликовал книгу
«Рассуждения о комбинаторном искусстве». Правда,
термин «комбинаторика» Лейбниц понимал чрезмерно
широко, включая в него всю конечную математику и
даже логику. Ученик Лейбница Якоб Бернулли, один из
основателей теории вероятностей, изложил в своей
книге «Искусство предположений» (1713) множество
сведений по комбинаторике.
Блез
Паскаль французский
математик,физик,лит
ератор и философ.
ИСТОРИЯ КОМБИНАТОРИКИ





В этот же период формируется терминология новой науки. Термин «сочетание»
(combination) впервые встречается у Паскаля (1653, опубликован в 1665 году).
Термин «перестановка» (permutation) употребил в указанной книге Якоб Бернулли
(хотя эпизодически он встречался и раньше). Бернулли использовал и термин
«размещение» (arrangement).
После появления математического анализа обнаружилась тесная связь
комбинаторных и ряда аналитических задач. Абрахам де Муавр и Джеймс
Стирлинг нашли формулы для аппроксимации факториала.
Окончательно комбинаторика как самостоятельный раздел математики
оформилась в трудах Эйлера. Он детально рассмотрел, например, следующие
проблемы.:
Задача о ходе коня
Задача о семи мостах, с которой началась теория графов
Построение греко-латинских квадратов
Обобщённые перестановки
Кроме перестановок и сочетаний, Эйлер изучал разбиения, а также сочетания и
размещения с условиями.
Внимание к конечной математике и, в частности, к комбинаторике значительно
повысилось со второй половины XX века, когда появились компьютеры. Сейчас это
чрезвычайно содержательная и быстроразвивающаяся область математики.
РАЗДЕЛЫ КОМБИНАТОРИКИ
Перечислительная комбинаторика
 Перечислительная комбинаторика (или исчисляющая
комбинаторика) рассматривает задачи о перечислении или
подсчёте количества различных конфигураций (например,
перестановок) образуемых элементами конечных множеств, на
которые могут накладываться определённые ограничения, такие
как: различимость или неразличимость элементов, возможность
повторения одинаковых элементов и т. п.
 Количество конфигураций, образованных несколькими
манипуляциями над множеством, подсчитывается согласно
правилам сложения и умножения.
 Типичным примером задач данного раздела является подсчёт
количества перестановок.
РАЗДЕЛЫ КОМБИНАТОРИКИ
Структурная комбинаторика
К данному разделу относятся некоторые вопросы теории графов,
а также теории матроидов.
Экстремальная комбинаторика
Примером этого раздела может служить следующая задача: какова
наибольшая размерность графа, удовлетворяющего определённым
свойствам.
Теория Рамсея
Теория Рамсея изучает наличие регулярных структур в случайных конфигурациях
элементов. Примером утверждения из теории Рамсея может служить следующее:
в группе из 6 человек всегда можно найти трёх человек, которые либо попарно
знакомы друг с другом, либо попарно незнакомы.
В терминах структурной комбинаторики это же утверждение формулируется так:
в любом графе с 6 вершинами найдётся либо клика, либо независимое множество
размера 3.
РАЗДЕЛЫ КОМБИНАТОРИКИ
Вероятностная комбинаторика
 Этот раздел отвечает на вопросы вида: какова
вероятность присутствия определённого
свойства у заданного множества.
Топологическая комбинаторика
 Аналоги комбинаторных концепций и методов
используются и в топологии, при изучении
дерева принятия решений, частично
упорядоченных множеств, раскрасок графа и др.
ОТКРЫТЫЕ ПРОБЛЕМЫ
Комбинаторика, и в частности, теория
Рамсея, содержит много известных открытых
проблем, подчас с весьма несложной
формулировкой. Например, неизвестно, при
каком наименьшем N в любой группе из N
человек найдутся 5 человек, либо попарно
знакомых друг с другом, либо попарно
незнакомых (хотя известно, что 49 человек
достаточно).
ПРИМЕРЫ КОМБИНАТОРНЫХ КОНФИГУРАЦИЙ
И ЗАДАЧ
Для формулировки и решения комбинаторных задач используют
различные модели комбинаторных конфигураций. Примерами
комбинаторных конфигураций являются:
Размещением из n элементов по k называется упорядоченный набор
из k различных элементов некоторого n-элементного множества.
Перестановкой из n элементов (например чисел 1,2,…,n) называется
всякий упорядоченный набор из этих элементов. Перестановка также
является размещением из n элементов по n.
Сочетанием из n по k называется набор k элементов, выбранных из
данных n элементов. Наборы, отличающиеся только порядком
следования элементов (но не составом), считаются одинаковыми, этим
сочетания отличаются от размещений.
Композицией числа n называется всякое представление n в виде
упорядоченной суммы целых положительных чисел.
Разбиением числа n называется всякое представление n в виде
неупорядоченной суммы целых положительных чисел.
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Тео́рия вероя́тностей — раздел математики,
изучающий закономерности случайных
явлений: случайные события, случайные
величины, их свойства и операции над ними.
График плотности вероятности
нормального распределения — одной
из важнейших функций изучаемых в
рамках теории вероятностей
ИСТОРИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ
Возникновение теории вероятностей как
науки относят к средним векам и первым
попыткам математического анализа азартных
игр (орлянка, кости, рулетка). Первоначально её
основные понятия не имели строго
математического вида, к ним можно было
относиться как к некоторым эмпирическим
фактам, как к свойствам реальных событий, и
они формулировались в наглядных
представлениях.
ИСТОРИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ
Самые ранние работы учёных в области теории вероятностей
относятся к XVII веку. Исследуя прогнозирование выигрыша в
азартных играх, Блез Паскаль и Пьер Ферма открыли первые
вероятностные закономерности, возникающие при бросании
костей. Под влиянием поднятых и рассматриваемых ими вопросов
решением тех же задач занимался и Христиан Гюйгенс. При этом с
перепиской Паскаля и Ферма он знаком не был, поэтому методику
решения изобрёл самостоятельно. Его работа, в которой вводятся
основные понятия теории вероятностей (понятие вероятности как
величины шанса; математическое ожидание для дискретных
случаев, в виде цены шанса), а также используются теоремы
сложения и умножения вероятностей (не сформулированные
явно), вышла в печатном виде на двадцать лет раньше (1657 год)
издания писем Паскаля и Ферма (1679 год)
ИСТОРИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ
Важный вклад в теорию вероятностей внёс Якоб Бернулли: он дал
доказательство закона больших чисел в простейшем случае
независимых испытаний. В первой половине XIX века теория
вероятностей начинает применяться к анализу ошибок
наблюдений; Лаплас и Пуассон доказали первые предельные
теоремы. Во второй половине XIX века основной вклад внесли
русские учёные П. Л. Чебышев, А. А. Марков и А. М. Ляпунов. В это
время были доказаны закон больших чисел, центральная
предельная теорема, а также разработана теория цепей Маркова.
Современный вид теория вероятностей получила благодаря
аксиоматизации, предложенной Андреем Николаевичем
Колмогоровым. В результате теория вероятностей приобрела
строгий математический вид и окончательно стала
восприниматься как один из разделов математики.
ИСТОЧНИК:HTTP://WWW.MYSHARED.RU/SLIDE/49973/HTTP://IMAGES.YAN
DEX.RU/YANDSEARCH?STYPE=IMAGE&LR=47&NOREASK=1&SOURCE=PSEARCH
&TEXT=%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B7%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0
%D1%86%D0%B8%D1%8F%20%D0%BD%D0%B0%20%D1%82%D0%B5%D0%B
C%D1%83%20%D0%BA%D0%BE%D0%BC%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D0%B0%
D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%B0%20%D1%81%D0%BA%D0
%B0%D1%87%D0%B0%D1%82%D1%8C%20%D0%B1%D0%B5%D1%81%D0%B
F%D0%BB%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE
СПАСИБО ЗА ПРОСМОТР!)