У р о к 3 (87). ВЫЧИСЛЕНИЯ ПО ФОРМУЛАМ КОМБИНАТОРИКИ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Цели: систематизировать знания учащихся по теме; обобщить умения применять формулы комбинаторики и теории вероятностей при решении задач. Ход урока I. Организационный момент. II. Проверочная работа. Вариант 1 Найдите значение выражения: 3 0 2 1 2 ·4 3 5 ; 1) 2 8 6 9 3 5 11 1 · 3 · 3 ; 2) 5 3 4 · 25 · 43 ; 3 5 3 5 3 5 3 5 . 4) 3) Вариант 2 Найдите значение выражения: 2 0 1 2 3 6 · 2 5 ; 1) 8 10 2) 1 · 2 3) 33 · 16 · 35 ; 2 12 4 6 4) 4 6 5 3 2 3 · 3 2 ; 4 6 4 6 . Решение Вариант 1 3 1) 20 5 2,5. 8 2 0 3 2 3 1 27 28 8 2 1 2 · 4 2 1 1 8 8 8 8 3 5 4 2 2 8 6 9 2 2 58 36 39 5 1 3 5 11 1 · 3 · 8 · 6 11 3 5 3 5 3 3 3 3 2) 25 1 24 8 2 2 . 9 9 3 3 3 4 3) 4 · 25 · 4 4 · 25 16 · 5 80 . 3 5 4) 9 6 5 5 9 6 5 5 28 7 95 4 . 3 5 3 5 3 5 (3 5) 2 (3 5) 2 (3 5)(3 5) Вариант 2 2 0 1) 4 3 25 32 8. 4 4 2 2) 2 6 5 3 25 1 2 3 6 · 2 1 1 4 4 23 2 8 5 12 1 · 2 10 5 3 2 1 35 23 1 3 2 3 10 · 12 · 2 5 · 3 2 2 2 3 2 2 3 2 1 9 10 2,5. 4 4 4 3 5 8 4 3) 3 · 16 · 3 3 · 16 3 · 4 81 · 4 324. 4 6 4 6 4) 16 8 6 6 16 8 6 6 44 4, 4. 16 6 10 4 6 4 6 (4 6) 2 (4 6) 2 (4 6)(4 6) III. Формирование умений и навыков. Актуализация знаний по теме «Элементы комбинаторики и теории вероятностей». Можно воспользоваться опорными конспектами, составленными на уроке обобщения темы. № 892 (а, д). Решение 20! 18! · 19 · 20 380 18! а) 18! ; 12! 9! · 10 · 11 · 12 10 · 11 · 2 220. 9! · 3! 9! · 1 · 2 · 3 д) О т в е т: а) 380; д) 220. № 893 (б). Решение 15! 10! · 11 · 12 · 13 · 14 · 15 11 · 12 · 13 · 14 · 15 10! 10! 105 = 10 · 10 · 10 · 10 · 10. Первое число представлено в виде произведения пяти положительных 15! сомножителей, каждый из которых больше 10. Значит, 10! > 105. 15! О т в е т: 10! > 105. № 895. Решение Так как Алла дежурит в субботу, а Света в четверг, то остальные 4 школьника могут работать в любой из оставшихся четырех дней. Порядок имеет значение. Число комбинаций равно числу перестановок из 4 элементов: Р4 = 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24. О т в е т: 24 способа. № 896 (б). Решение В эстафете 4 100 м принимают участие четыре человека, по одному на каждом этапе. Так как тренеру важен порядок заплыва спортсменов, то число способов отбора спортсменов равно числу размещений из 12 элементов по 4: А124 12! 9 · 10 · 11 · 12 11880. 8! О т в е т: 11880 способов. № 897. Решение Число вариантов 3 научно-фантастических романов из 10 равно числу 3 С 10 сочетаний из 10 по 3: (порядок выбора значения не имеет, так как Петя берет все три книги сразу, порядок прочтения не оговаривается). Аналогично 2 число вариантов выбора 2 исторических романов из 8 равно С8 . Так как каждый выбор научно-фантастических книг сочетается с каждым выбором исторических романов, то по комбинаторному правилу умножения общее число вариантов равно: 10! 8! 8 · 9 · 10 7 · 8 · · 560 · 6 3360 С · С = 3!7! 2!6! 1 · 2 · 3 1 ·2 . 3 10 2 8 О т в е т: 3360 способов. № 898. Решение Общее число билетов п = 150; извлечение каждого из них является равновозможным. Рассмотрим событие А – «полученный билет оказался выигрышным». Количество благоприятных исходов равно т = 30. Искомая вероятность: Р ( А) т 30 1 п 150 5 . Событие В – «полученный билет оказался невыигрышным». Количество благоприятных исходов т = 150 – 30 = 120. Р( В) т 120 4 п 150 5 . П р и м е ч а н и е. Если в классе были пройдены понятия «противоположные события» и «вероятность противоположных событий», то можно заметить, что В А , тогда 1 4 Р( В) Р( А) 1 Р( А) 1 5 5. 1 4 О т в е т: 5 ; 5 . № 900. Решение Число вариантов расстановки 5 фотоальбомов равно числу размещений из 5 элементов (порядок нам важен). Значит, общее число исходов равно п = Р5 = 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120. Событие А – «альбомы на полке оказались в том же порядке, что и прежде». Число благоприятных исходов т = 1 (только один вариант верный). Искомая вероятность: Р ( А) т 1 п 120 . 1 О т в е т: 120 . IV. Итоги урока. В о п р о с ы у ч а щ и м с я: – Назовите основные формулы комбинаторики. – В чем отличие сочетаний из п элементов по k от размещений из п элементов по k? – Назовите формулу вычисления вероятности случайного события при классическом подходе. Домашнее задание: № 894; № 896 (а), № 899, № 901.