Глава 2. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ.

Глава 2.
ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ.
§1. Векторы. Основные определения.
Величины, которые полностью определяются заданием их
числовых значений (например, длина, площадь, масса,
объем и т.д.), называются скалярными.
Величины, для определения которых, кроме числового
значения, необходимо знать еще и направление
(например, сила, скорость, ускорение и т.д.), называются
векторными. Векторные величины геометрически
изображаются с помощью векторов.
Вектором называется направленный отрезок, т.е.
отрезок, имеющий определенную длину и определенное
направление.
B
AB
A
Если
A  начало вектора, В  его конец, то вектор
обозначается
АВ ( АВ)
или
а (а ).
Длиной вектора называется расстояние между началом и
концом этого вектора и обозначается
АВ .
Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым
вектором и обозначается
0.
Нулевой вектор направления не имеет.
Вектор, длина которого равна единице, называется
единичным вектором и обозначается
е.
Векторы
a
и
b
называются коллинеарными, если они
лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых;
записывают
а  b.
Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.
𝑎
𝑏
𝑐
𝑎 || 𝑏 ||𝑐
Два вектора называются
равными, если они
а) коллинеарны,
б) одинаково направлены,
в) имеют одинаковые длины.
Вектор можно переносить в любую точку пространства
посредством параллельного переноса (это следует из
определения равенства векторов).
Векторы в пространстве называются компланарными,
если они лежат в одной плоскости или в параллельных
плоскостях.
𝑎
𝑏
𝑃1
𝑐
𝑃2
§2. Линейные операции над векторами.
Под линейными операциями над векторами понимают
а) произведение вектора на число,
б) сложение и вычитание векторов.
Произведением вектора
называется вектор
 a,
а
на число
R
удовлетворяющий следующим
условиям:
а) длина вектора

а
на длину вектора
равна произведению модуля числа
а : а    а ;
б) вектор
а
а
коллинеарен вектору
а:
направление
совпадает с направлением вектора
  0,
Пример.
и противоположно ему, если
a
2a
- 2a
а,
  0.
если
Сумму двух векторов можно находить либо по правилу
треугольников, либо по правилу параллелограмма.
Правило треугольников.
Пусть
а
и
b  два произвольных вектора. Возьмем
произвольную точку
От точки
А
O
и построим вектор
отложим вектор
AB  b.
OA  a.
Вектор
OB ,
соединяющий начало первого вектора с концом второго,
называется суммой векторов
a
и
OB  a  b.
b:
b
a
А
a
О
a+ b
b
В
Правило параллелограмма.
а
b  два произвольных вектора. Возьмем
произвольную точку O и построим векторы OA  a
и OB  b. Суммой двух векторов OA  a и OB  b
называется вектор OC диагонали параллелограмма
OACB , построенного на векторах OA  a и OB  b.
Пусть
и
b
a
A
a
О
a+ b
b
B
C
Сумму трех и более векторов можно находить по правилу
замыкания ломаной:
Чтобы найти сумму векторов
a1 , a 2 ,..., a n ,
a1 совместить с началом вектора
a2 , конец вектора a 2 – с началом вектора a3 и т.д.,
пока не дойдем до вектора a n .
нужно конец вектора
Тогда суммой
a1  a2  ...  an
идущий из начала вектора
a1
будет вектор,
в конец вектора
an .
Разностью двух векторов
вектор
c,
a
и
b
называется такой
b,
который нужно сложить с вектором
чтобы получить вектор
a,
т.е.
a  b  c  b  c  a.
Чтобы построить вектор
c  a  b,
нужно
параллельным переносом перенести векторы
к общему началу, и тогда вектор
выходить из конца вектора
b
a
c  ab
в конец вектора
и
b
будет
a.
a
с= a - b
О
b
Отметим, что в параллелограмме, построенном на векторах
a
и
b,
одна направленная диагональ является
суммой векторов, а другая – разностью.
a
с= a - b
a+ b
О
b
Линейные операции над векторами обладают
следующими свойствами:
 

1. Сложение векторов коммутативно:
a b  b a
2. Сложение векторов ассоциативно, т.е. для любых
векторов выполняется условие






a  (b  c )  (a  b )  c
A
a
O
b

B
C
C
трех
3. Прибавление нулевого вектора к любому вектору не
меняет последнего:




 1 a
a 0  a
4. Вектор
называется противоположным вектору


и обозначается
a
 a.
5. Умножение вектора на единицу не меняет этого вектора:


1 a  a
6. Умножение вектора на число ассоциативно, т.е.


(   )a   ( a )
7. Умножение вектора на число дистрибутивно по
отношению к сложению чисел, т.е.



(   )a  a  a
8. Умножение вектора на число дистрибутивно по отношению
к сложению векторов, т.е.

 

 ( a  b )  a   b
Эти свойства позволяют проводить преобразования в
линейных операциях над векторами так, как это делается в
обычной алгебре: слагаемые менять местами, вводить
скобки, группировать, выносить за скобки как скалярные,
так и векторные множители.
§3. Проекция вектора на ось.
Осью называется всякая прямая, на которой
указано направление.
Проекцией точки М на ось называется основание
перпендикуляра, опущенного из точки М на
данную ось.
М
М1
X

Углом между вектором
𝐶𝐷
AB
или равным ему вектором
и осью Ox называется угол
,
на который нужно
повернуть кратчайшим образом полуось Сx, до совмещения
ее с вектором
𝐶𝐷.
Область изменения угла
 : 0  
𝐵
𝐷
𝐴
𝛼
𝑂
𝐶
𝑋
AB на ось Ох называется число,
обозначаемое пр Ох AB и равное AB  cos ,
где  – угол между вектором AB и осью Ох, т.е.
Проекцией вектора
по определению
прОх AB  AB  cos .
Геометрически проекция вектора
AB
на ось Ох равна
длине отрезка СD, взятой со знаком «+», если 0  
(рис.1), и со знаком «–», если
При
  2
прОх AB  0.
 2  
 2
(рис.2).
отрезок CD превращается в точку и
В
А
О
С
В
X
Рис.1
D
D
А
В1
О
прОх AB  CD
В1
Рис.2
С
прОх AB   CD
X
Свойства проекции вектора на ось.

1. При умножении вектора
AB
на число m,
его проекция на ось умножается на то же число.
прОхm  AB  m  прОх AB
2. Проекция суммы двух векторов на ось равна сумме
проекций составляющих на ту же ось:


прОх AB  CD  прОх AB  прОх CD
§4. Базис. Разложение вектора по базису.
Координаты вектора. Декартова система
координат.
Базисом на плоскости называют любые два
неколлинеарных вектора на этой плоскости, взятых в
определенном порядке.
Теорема. Если на плоскости выбран базис
то любой вектор
векторам
e1 , e2
a
e1 , e2 ,
этой плоскости можно разложить по
и такое разложение единственно:
a  x  e1  y  e2 .
y𝑒2
𝑎
𝑒2
𝑒1
x𝑒1
Базисом в пространстве называют любые три
некомпланарных вектора в этом пространстве, взятых в
определенном порядке.
Теорема. Если в пространстве выбран базис
то любой вектор
по векторам
,
a
e1 , e2 , e3 ,
этой плоскости можно разложить
e1, e2 , e3
и такое разложение единственно:
a  x  e1  y  e2  z  e3.
При этом коэффициенты
x, y , z
называют координатами вектора
и записывают
a  x, y , z 
.
или
в данном разложении
a
в базисе
e1, e2 , e3
a   x, y , z 
Для векторов, заданных своими координатами, имеют
место следующие свойства.
1. При умножении вектора
a  x, y , z 
на число
все его координаты умножаются на это число:
  a  x, y, z .
 R
2. При сложении (вычитании) векторов
и
b   x2 , y2 , z2 
a   x1 , y1 , z1 
складываются (вычитаются) их
соответствующие координаты:
a  b  x1  x2 , y1  y2 , z1  z2 .
3. Вектор
a   x1 , y1 , z1 
b  x2 , y2 , z2 ,
т.е.
x1
y1 z1


x2 y 2 z 2
a || b
или
где

коллинеарен вектору
, если выполняется условие
x1  x2 , y1  y2 , z1  z2 ,
 некоторое число.
4. Вектор
a
равен вектору
b
, если их
соответствующие координаты равны:
a  x1 , y1 , z1 
=
 x1  x2 ,

bx2 , y2 , z2    y1  y2 ,
z  z .
2
 1
Декартовой системой координат в пространстве называют
совокупность фиксированной точки О и базиса
e1 , e2 , e3 .
Точка О называется началом координат, а прямые,
проходящие через начало координат в направлении
базисных векторов  осями координат.
.
𝑍
𝑒3
𝑂
𝑌
𝑒2
𝑒1
𝑋
Прямая ОX называется осью абсцисс, прямая ОY  осью
ординат, прямая ОZ  осью аппликат. Плоскости,
проходящие через оси координат, называют координатными
плоскостями.
Вектор
OM
для произвольной точки М называют ее
радиус-вектором.
Координаты радиуса-вектора точки М по отношению к
началу координат называют координатами точки М в
рассматриваемой системе координат. Первая координата
называется абсциссой, вторая  ординатой, третья 
аппликатой.
Базис называют ортонормированным, если базисные
векторы попарно ортогональны и длина каждого из них
равна единице. На плоскости ортонормированный базис
принято обозначать
i  (1,0), j  (0,1),
в пространстве 
i  (1,0,0), j  (0,1,0), k  (0,0,1).
Декартова система координат с ортонормированным базисом
называется прямоугольной системой координат.
𝑍
𝑘
𝑖
𝑋
𝑌
𝑗
Пусть в прямоугольной системе координат даны две точки
M1 ( x1, y1, z1 )
и
M 2 ( x2 , y2 , z2 ) .
Тогда по правилу треугольника
M 1M 2  OM 2  OM 1
𝑍
𝑀𝑀
11
𝑀
𝑀22
𝑘
𝑶
𝑖
𝑋
𝑌
𝑗
Учитывая, что при вычитании векторов вычитаются их
соответствующие координаты, имеем
M 1M 2 ( x2  x1 , y2  y1 , z2  z1 ),
т.е. если заданы координаты начала и конца вектора, то
чтобы найти координаты этого вектора, надо из
соответствующей координаты его конца вычесть
координату начала.
А длина вектора
M1M 2 
Для точек
M 1M 2
определяется по формуле
x2  x1    y2  y1   z2  z1  .
2
2
2
M1 ( x1, y1 ), M 2 ( x2 , y2 ), заданных на плоскости,
последняя формула примет вид
M1M 2 
В частности,
аналогично,
x2  x1    y2  y1  .
2
2
i  1  0  0  1;
2
2
j  1, k  1.
2
Отметим, что в прямоугольной системе координаты вектора
a( x, y, z ) равны соответственно проекциям вектора на
оси координат:
x  прОх а,
y  прOy a,
z  прOz a.
𝑦
𝑎
𝑂
𝑥
§ 5. Деление отрезка в данном отношении.
Пусть даны точки
и пусть точка
AB
A( x1, y1, z1 )
M ( x, y , z )
и
B( x2 , y2 , z 2 ),
лежит на отрезке
и делит этот отрезок в отношении
,
т.е.
AM   MB.
𝐴
𝑀
𝐵
Тогда координаты точки
М
вычисляются по формулам
деления отрезка в данном отношении
x1  x2
x
,
1 
y1  y2
y
,
1 
z1  z 2
z
.
1 
При
 1
точка
M
делит отрезок
AB
пополам и последние формулы принимают вид
x1  x2
y1  y2
z1  z2
x
,y 
,z 
,
2
2
2
т.е. координаты середины отрезка равны полусумме
соответствующих координат его концов.
Пример.
Даны три последовательные вершины параллелограмма
A(1,2,3), B(3,2,1), C (6,4,4). Найти его четвертую вершину
D
и точку
O
пересечения его диагоналей.
Решение.
𝐷
𝐶
𝑂
𝐴
𝐵
Пусть
D( xD , yD , z D ), O( xO , yO , zO ).
Тогда
AD  ( xD  1, y D  2), z D  3),
BC  (3,2,3).
Поскольку
ABCD 
параллелограмм, то
 xD  1  3, 


AD  BC   y D  2  2,.
z  3  3 
 D

Отсюда получаем
xD  4, yD  0, zD  6.
Для нахождения координат точки
O
воспользуемся
формулами координат середины отрезка
x A  xC 1  6
xO 

 3,5
2
2
y A  yC  2  4
yO 

1
2
2
z A  zC 3  4
zO 

 3,5
2
2
AC :
§6. Скалярное произведение векторов.
Углом между двумя векторами называется наименьший
угол между этими векторами, приведенными к общему началу.
Угол между векторами
a, b,

записывают
а
и
причем
b
символически
 

0  a, b   .
𝑏
a, b,

𝑎
Скалярным произведением двух векторов называется
число, равное произведению длин этих векторов на
косинус угла между ними:
  
a  b  a  b  cos a, b .


Скалярное произведение принято обозначать
a b
или
ab
или
a,b.
Скалярное умножение обладает следующими свойствами.
1. Скалярное умножение коммутативно:
a  b  b  a.
2. Для любого вектора скалярный квадрат равен квадрату
модуля:
2
2
aa  a  a .
Из последнего равенства следует
2
a  a .
3. Скалярное произведение равно нулю, если сомножители
ортогональны или хотя бы один из них равен нулю:
a b  0  a  b
или
a0
или
b  0.
4. Скалярное умножение обладает свойством
ассоциативности относительно скалярного множителя:
( a )b  a ( b)   (ab).
5. Скалярное умножение дистрибутивно относительно
сложения:
a(b  c)  ab  ac.
Пример 1. Найти длину вектора
 

a  3, b  4, a, b 

3
c  2 a  b,
если
.
Решение.
2
c c 
2a  b
2
2
 4a  4ab  b 

2
2
 
2
 4 a  4 a b cos a, b  b 
1
 4  9  4  3  4   16  28.
2
a
Пример 2. Найти угол между векторами
если вектор
и
a  2b
и
перпендикулярен вектору
b,
5a  4b
a  b  1.
Решение.



a  2b 5a  4b  a  5a  2b 5a  a  4b 2b 4b 
a  2b  5a  4b  a  2b  5a  4b  0,
2
2
2
2
 5a  10b a  4ab  8b  5 a  10ab  4ab  8 b 
 
 
1

 6 cos a, b  3  0  cos a, b    a, b   .
2
3

2

2
 5 a  6 a  b  cos a, b  8 b  5  6 cos a, b  8 



Пример 3. Вычислить скалярное произведение
если
a  2 p  q, b  3 p  2q,
где
векторы, а угол между ними равен
p, q 


3
a  b,
единичные
.
Решение.



2
2
a  b  2 p  q  3 p  2q  6 p  4 p q  3q p  2q 
2
2

1
 6 p  p q  2 q  6 1  p  q cos  2 1  4   4,5.
3
2
Пусть в прямоугольной системе координат векторы заданы
своими координатами:
a   x1 , y1 , z1 
и
b   x2 , y2 , z2 
Тогда скалярное произведение можно вычислять по формуле:
a  b  x1 x2  y1 y2  z1 z 2 .
Приложения скалярного произведения в геометрии.
1. Проекция векторов на ось.
Рассмотрим рис.1.
В
b
a
О
С
a
А
Рис.1
Спроектировав вектор
b
на вектор
a
, получим
  
прa b  OC  b  cos a, b .


Поэтому
  
a b
a  b  a  b  cos a, b   a  прa b  прa b 
a



пр b
a
или
  
a b
a  b  b  a  cos a, b   b  прb a  прb a 
.
b



пр a
b
Таким образом, скалярное произведение двух векторов равно
модулю одного из них, умноженному на проекцию второго
вектора на первый.
2. Угол между векторами.
Из определения скалярного произведения следует, что
 

a b
сos a, b 
ab


, a  0, b  0 .
Если векторы заданы своими координатами в
ортонормированном базисе:
a   x1 , y1 , z1 
b  x2 , y2 , z2 ,
и
то последнюю формулу можно переписать так:
 

сos a, b 
x1 x2  y1 y2  z1 z2
x  y  z  x2  y2  z2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
.
3. Направляющие косинусы векторов.
Направление вектора
 ,  , ,
a  x, y , z  определяется углами
образованными вектором
a
с положительными направлениями осей
соответственно (или вектором
i, j , k
a
Ox , Oy , Oz
с векторами
соответственно). Косинусы этих углов называются
направляющими косинусами этого вектора.
Найдем их.
 

cos   cos a, i 
a i
ai

x 1  y  0  z  0
x 2  y 2  z 2 1

x
x2  y 2  z 2
,
 

a j
cos   cos a, j 
a j
 

cos   cos a, k 
ak
ak


x  0  y 1  z  0
x  y  z 1
2
2
2
x  0  y  0  z 1
x 2  y 2  z 2 1


y
x y z
2
2
,
2
z
x2  y 2  z 2
.
Таким образом,
cos  
x
x y z
2
2
2
y
, cos  
x y z
2
2
2
, cos  
z
x y z
Направляющие косинусы связаны соотношением
cos   cos   cos   1.
2
2
2
2
2
2
.
Косинусы углов, образованных вектором и осями
координат Ox, Oy, Oz, называются направляющими
косинусами этого вектора.
Пример. Даны вершины треугольника
ABC :
A(3,2,3), B(5,1,1), C (1,2,1).
Вычислить внутренний угол при вершине А.
Решение. Внутренний угол при вершине А  это угол
AC.
AB  (2,1,2), AC  (2,4,4),
между векторами
Так как
AB
и
то
   AB  AC
2  (2)  (1)  (4)  2  4
8 4


cos AB , AC  


 .
2
2
2
2
2
2
2  (1)  2  (2)  (4)  4 3  6 9

 AB  AC
Следовательно,



4
 AB, AC   arccos  74.


9


a(1,0,1)
Пример. Вычислить угол между вектором
и осью
Ox.
Решение. Угол между вектором
угол между вектором
a
a
и осью
и вектором
 


cos a, Ox   cos   cos a, i 




1
1


.
2
2
2
2
1  0  (1) 1

Ox
 это
i(1,0,0) :

x
x y z
2
2
2
.
Следовательно,



1

a, Ox  arccos
 .
2 4
§7. Векторное произведение векторов.
Упорядоченная тройка некомпланарных векторов
a , b, c
называется правой, если из конца вектора
кратчайший поворот от первого вектора
вектору
b
a
с
ко второму
виден против хода часовой стрелки.
В противном случае тройка
a , b, c
называется левой.
k
Z
Z
j
k
Y
j
i
i
X
Правая система координат
X
Y
Левая система координат
Векторным произведением векторов
называется вектор, обозначаемый
a
и
b
c  ab
и удовлетворяющий следующим трем условиям:
 

1)
a  b  a  b  sin a, b ;
2)
c

a,
c  b;
3) упорядоченная тройка
a , b, c
 правая.
Важно:
Результатом векторного произведения является вектор.
𝑎×𝑏
𝑏
𝑎
𝑏×𝑎
Свойства векторного произведения:
1) От перестановки множителей векторное произведение
меняет направление на противоположное, сохраняя
модуль, т.е.
 
 
a  b  b  a
2) Если в векторном произведении изменить знак одного из
сомножителей на противоположный, то векторное
произведение изменит знак, т.е.


 
a  (b )   a  b
3) Скалярный множитель можно выносить за знак векторного
произведения.

 
 

 
(a )  b    (a  b ) или a  (b )    (a  b )
4)


      
a b c  ac b c
5) Векторное произведение равно нулю, если хотя бы один
из сомножителей равен нулю, либо сомножители
коллинеарны:
ab  0  a  0
6)
aa  0
или
b0
или
a || b
7) Рассмотрим векторное произведение ортов:
k k  0
j  j  0,
i  i  0,
 
ij
Z
Рассмотрим произведение
i
А
X
k
О
j
D
В
Y
Параллелограмм, построенный на


i и j
есть квадрат ОАDB,
площадь которого равна единице.
Вектор
 
ij


перпендикулярен векторам i и j
и образует с ними правую тройку. Следовательно, произведение
 
ij
есть единичный вектор, направленный по оси OZ, т.е.
  
i j k
Аналогично находим, что
     
j k  i, k i  j
Переставив множители, получим

 
j  i  k
 

k  j  i
 

i k  j
Для векторного произведения ортов можно составить таблицу:


i

j

i
0

k

j

k
0

k

j

i

k

 j

i
0
Пусть векторы
Тогда
 
a иb
заданы своими координатами:

ax1 , y1 , z1 ,

b  x2 , y2 , z 2 .




a  x1i  y1 j  z1k ,




b  x2 i  y 2 j  z 2 k
Перемножим эти два вектора:









 
a  b  x1i  y1 j  z1k  x2 i  y2 j  z 2 k 
 
 
 
 x1 x2 i  i  x1 y2 i  j  x2 z1i  k 
 
 
 
 y1 x2 j  i  y1 y2 j  j  y1 z 2 j  k 
 
 
 
 z1 x2 k  i  z1 y2 k  j  z1 z 2 k  k 






 x1 y2 k  x1 z 2 j  y1 x2 k  y1 z 2 i  z1 x2 j  z1 y2 i 



  y1 z 2  z1 y2 i  z1 x2  x1 z 2  j   x1 y2  y1 x2 k
Полученную формулу можно представить в виде
определителя:

i
 
a  b  x1
x2

j
y1
y2

k
 y1
z1  i
y2
z2
z1  x1
j
z2
x2
z1  x1
k
z2
x2
y1
.
y2
Приложение векторного произведения к геометрии
1. Площадь параллелограмма построенного на векторах
 
a иb
равна модулю векторного произведения:
S парал
 
 a b
2. Площадь треугольника построенного на векторах
 
a иb
равна половине модуля векторного произведения:
1  
S  a  b
2
Пример.
Найти площадь параллелограмма построенного на векторах
 




 
a  i  2 j  3k , b  2i  3 j  5k
Решение:
S парал  a  b ,
  
i j k



  
 
a  b  1 2 3  i 10  9  j 5  6  k 3  4  i  j  k
2 3 5
Таким образом,
a  b  1,1,1.
Значит
Sпарал  a  b  1  1   1  3
2
2
2
Пример. Найти вектор
x,
если известно, что он
перпендикулярен к векторам
a  (2,3,1), b  (1,2,3)
и удовлетворяет условию
x  c  10,
Решение. Так, как вектор
x
плоскости векторов
a
и
где
c  i  2 j  7k.
перпендикулярен к
b,
a b
а вектор
также перпендикулярен к плоскости этих векторов по
определению, то отсюда следует, что
x || a  b.
Имеем
i
j k
a  b  2  3 1  7i  5 j  k  (7,5,1).
1 2 3
Так, как
x || a  b,
то координаты этих векторов
пропорциональны, т.е.
x  (7 ,5 , ),   R.
Тогда
x  c  (7 ,5 , )  (1,2,7)  7  10  7 
 10  10    1.
Таким образом,
x  (7,5,1).
§8. Смешанное произведение трёх векторов.
Смешанным произведением векторов
называется число, обозначаемое
abc
как скалярное произведение вектора
и вектора
a , b, c
и определяемое
a b
c:
 
abc  a  b  c.
Результатом смешанного произведения является число.
Свойства смешанного произведения.
1. Смешанное произведение не меняется при циклической
перестановке трех его векторов-сомножителей:
abc  bca  cab.
2. Смешанное произведение меняет знак на
противоположный при перестановке любых двух
векторов-сомножителей:
b a c   a b c,
a c b   a b c,
cba  abc.
3. Смешанное произведение не меняется при перемене
местами знаков векторного и скалярного умножения:
(a  b)  c  a  (b  c).
4. Смешанное произведение ненулевых векторов равно
нулю тогда и только тогда, когда векторы компланарны:
a bc  0  a , b
и
с
 компланарны.
Выражение смешанного произведения через координаты.
Пусть заданы векторы
a  ( x1 , y1 , z1 ),
b  ( x2 , y2 , z2 ),
c  ( x3 , y3 , z3 ).
Тогда
x1
y1
z1
abc  x2
x3
y2
y3
z2 .
z3
Некоторые приложения смешанного произведения.
1. Определение взаимной ориентации векторов в
пространстве.
Если
abc  0,
если же
то
abc  0,
a , b, c
то
 правая тройка;
a, b, c  левая тройка.
2. Установление компланарности векторов.
Векторы
x1
y1
z1
a, b, c  компланарны  abc  0  x
y2
y3
z2  0.
z3
2
x3
3. Определение объемов пространственных фигур.
Объем параллелепипеда, построенного на векторах
a, b
и
c,
вычисляется по формуле:
Vпаралда  abc .
Объем треугольной призмы, построенной на векторах
a, b
и
c,
вычисляется по формуле:
1
Vпризм ы   abc .
2
Объем треугольной пирамиды, построенной на векторах
a, b
и
c,
вычисляется по формуле:
1
Vпирам иды   abc .
6
Пример. Даны векторы
a  i  2 j  k , b  3i  k , b  2i  j  4k .
Выяснить ориентацию тройки векторов a , b, c.
Решение.
Составим и вычислим смешанное произведение
1
2
1
3
abc   3 0 1  2 
2
2 1 4
 2 10  (2)  18  0 
a , b, c
 левая тройка векторов.
1
4

ab c :
1
1
3
1

Пример. Найти объем треугольной пирамиды, вершинами
которой являются точки
A(2,0,1), B(2,3,5), C (6,2,3), D(3,7,2).
Решение.
1
Vпирам иды  AB AC AD ,
6
AB  0,3,4, AC  4,2,2 , AD  1,7,1,
0 3 4
4 2
4 2
AB AC AD  4 2 2  3 
 4

1 1
1 7
1 7 1
 3  2  4  26  6  104  98.
1
49
Тогда Vпирам иды   98 
.
6
3