Урок в 9 классе по теме «Прогрессии»

Урок в 9 классе по теме
«Прогрессии»
Работу выполнила учитель
математики высшей категории
МОУ СОШ №3 села
Кочубеевское Кочубеевского
района Ставропольского края
2013 г.
- Умение применять формулы……..
- Умение грамотно говорить……. ( математическим языком, использовать
математические символы, правильно
оформлять задачи)
(полученные на уроках знания)
- Умение обобщать и систематизировать…….
- умение логически мыслить……..
- умение пересказывать…….
- умение молчать……..
(при решении задач)
Желаю работать, желаю
трудиться,
Желаю успехов сегодня
добиться,
Ведь в будущем всё это вам
пригодится.
И легче в дальнейшем вам
будет учиться.
Проблемные вопросы:
• Что называется
последовательностью?
• Всякая ли последовательность будет
прогрессией?
• Как из последовательностей выявить
арифметические и геометрические?
ЧИСЛОВЫЕ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Способы задания
Рекуррентный
Виды числовых
последовательностей
Формулой п- члена
Словесный
Арифметическая
прогрессия
Геометрическая
прогрессия
Последовательность
Фибоначчи
Прогрессии
Арифметическая
прогрессия
Последовательность в
которой каждый член
начиная со второго равен
предыдущему
сложенному с одним и
тем же числом.
Число d - разность
прогрессии
d = a2-a1 = a3-a2 = a4-a3 =….
Геометрическая
прогрессия
Последовательность
отличных от нуля
чисел в которой
каждый член начиная
со второго равен
предыдущему
умноженному на одно и
тоже число.
Число q - знаменатель
прогрессии.
q = b2:b1 = b3:b2 = b4:b3 =…
Формула n-го члена прогрессии
арифметической,
an=a1+d(n-1)
геометрической
n-1
bn=b1q
Формулы суммы n первых членов
прогрессий
арифметическая
геометрическая
a1  an
Sn 
n
2
b1 (1  q n )
Sn 
,q 1
1 q
2a1  d (n  1)
Sn 
n
2
Дано:
a1 = 5, d = 4
Найти: S5
S5 = 65
b1  qbn
Sn 
,q 1
1 q
Дано: b
1
= 2, q = - 3
Найти: S4
S4 = - 40
ФОРМУЛА СУММЫ
бесконечно убывающей
геометрической прогрессии
b1
S
1 q
|q| < 1
1 1 1
Найти : 1     ...
2 4 8
Информационная модель (схема)
сравнения арифметической и
геометрической прогрессий
a1, a2, a3, . . .
an+1=an+d
bn+1=bn ·q
d = an -а1
Установите
«родство»
прогрессий
an=а1+d (n-1)
an1  an1
an 
2
a  an
Sn  1
n
2
q =bn+1:bn
bn = b1qn-1
характеристические
свойства
bn  bn1  bn1
Sn 
bn q  b1
;q 1
q 1
Сравнение арифметической и
геометрической прогрессий
an+1=an+d
d = an -а1
an=а1+d (n-1)
Сравнив определения арифмети
ческой и геометрической
прогрессий
можно обратить внимание на то,
что они похожи. Надо лишь
заменить
сложение умножением.
А зная формулу n-го члена
арифметической прогрессии,
можно получить формулу для
геометрической прогрессии,
если заменить сложение
умножением и умножение –
возведением в степень.
bn+1=bn ·q
q =bn+1:bn
bn = b1qn-1
Определения
Числовая последовательность, каждый
член которой, начиная со второго,
равен предыдущему члену,
сложенному с одним и т ем же числом,
умноженному на одно и т о же число,
называется
арифмет ической
геомет рической
прогрессией
Характеристические свойства арифметической
и геометрической прогрессий
Любой член
арифметической
геометрической
прогрессии,
начиная со второго, является
средним
арифметическим
геометрическим
предшествующего и последующего
членов.
Характеристическое свойство
прогрессий
Каждый член
последовательности начиная со
второго есть среднее
арифметическое между
предыдущим и последующим
членами прогрессии
an 1  an 1
an 
2
х1, х2, 4, х4,14, …
найти: х4
Х4=9
Каждый член последовательности
начиная со второго есть среднее
геометрическое между предыдущим
и последующим членами
последовательности
(bn >0)
bn  bn 1  bn 1
b1, b2, 1, b4, 16, …- все члены
положительные числа
найти: b4
b4=4
an1  an1
an 
2
bn  bn1  bn1
“Родство” прогрессий становится еще более заметным,
если сравнить их характеристические свойства.
Здесь тоже достаточно заменить сложение умножением,
а деление на два - извлечением корня второй степени,
и из характеристического свойства арифметической
прогрессии получится характеристическое свойство
геометрической прогрессии .
Арифметическая
прогрессия
Формула n-го члена
Зависимость между
соседними членами
Разность или знаменатель
прогрессии
Сумма n первых членов
прогрессии
Сумма бесконечной
прогрессии
Геометрическая
прогрессия
Формула n-го члена
Арифметическая
прогрессия
an=a1+d(n-1)
Зависимость между
соседними членами
an+1 = an+d
Разность или
знаменатель
прогрессии
Характеристическое
свойство
d=an+1-an
Сумма n первых
членов прогрессии
Сумма бесконечной
прогрессии
аn1  аn1
an =
2
Sn
=
Геометрическая
прогрессия
bn=b1.qn-1 , q≠ 0
bn+1=bn.q , q≠ 0
bn  bn 1  bn 1
а1  а n
n
2
=
S=
b1
1 q
, │q│<1
Верно - неверно.
2a1  n  1
n
Sn =
2
S=
b1
q 1
an=a1+(n-1)
bn =bn+1.bn-1
an =
аn1  аn1
2
a1+ an=a2+an-1=…
b1bn=b2bn-1=…
S n = bn q  b 1
q 1
d=an+1-an
q  bn 1
bn
да
нет
нет
нет
да
да
да
да
да
да
Выявите закономерность и задайте
последовательность рекуррентной
формулой
an = a n -1 +1
1) 1, 2, 3, 4, 5, …
an = a n -1 + (-2)
2) 8, 6, 4, 2, 0, - 2, …
3) 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5; … an = a n -1 + 0,5
an  an1  d
Какие из указанных последовательностей
являются прогрессиями?
1) 1,2,3,4,5,…
2) 1,4,9,16,25,…
4)
1,2,5,12,29,…
3) 4,6,8,10,12,…
5) 2,6,18,54, …
6) 1,8,27,64,81,…
7) 3,6,12,24,…
9) 2,4,6,8,10,…
8) 1,-2,-3,-8,…
10) ½,¼,⅛, …
Арифметическая
прогрессия
1) 1,2,3,4,5,…
3) 4,6,8,10,12,…
9) 2,4,6,8,10,…
Геометрическая
прогрессия
5) 2,6,18,54, …
7) 3,6,12,24,…
Есть ли здесь арифметическая
прогрессия?
1.
2.
3.
4.
2,3; 3,5; 4,7; 5,9;…;
-½; 1; -2; 4;…;
3; -9; 27; 81;…;
3; 5; 7; 9;…?
Найдите ошибку:
1
2
3
а1
20
-10
-3
d
3
2,5
0,7
n
an
32
5
-2,5
4 -17,5
11
4
Sn
130
120
-25
55
5,5
Рис. 2
Рис.1
Задача 1.
Вертикальные стержни имеют
такую длину: наименьший а=5
дм, а каждый следующий на 2
дм длиннее. Записать длину
семи стержней (рис.1).
Ответ: 77 дм.
Задача 2.
В благоприятных условиях
бактерии размножаются так, что
на протяжении одной минуты
одна из них делится на две.
Записать колонию, рожденную
одной бактерией за 7 мин (рис.2)
Ответ: 121
1. Записать последовательность в соответствии с
условием задачи.
2. Записать эту же последовательность с помощью
таблицы.
3. Найти разность d между предыдущим и
последующим членами последовательности в
первой задаче и частное q от деления
последующего члена на предыдущий во второй
задаче.
4. Задать эти последовательности рекуррентным
способом.
5. Дать определение арифметической
(геометрической) прогрессии.
6.
Найти
среднее
арифметическое
(геометрическое) чисел 2 и 8. Записать
найденное число с данными в порядке
возрастания.
Образуют
ли
эти
числа
арифметическую(геометрическую) прогрессию?
7. Справедлива ли такая зависимость для трех
последовательных членов рассматриваемых
последовательностей?
Проверьте себя:
n
1
2
3
4
5
6
7
an
5
7
9
11
13 15 17
n
1
2
3
4
5
6
7
an
1
2
4
8
16 32 64
НАЗАД, В ИСТОРИЮ!
Понятие числовой
последовательности возникло и
развивалось задолго до создания
учения о функциях.
На связь между
прогрессиями первым
обратил внимание
Архимед. (ок. 287–212
гг. до н.э)
НАЗАД, В ИСТОРИЮ!
Термин “прогрессия” был введен
римским автором Боэцием (в 6
веке) и понимался в более широком
смысле, как бесконечная числовая
последовательность. Названия
“арифметическая” и
“геометрическая” были перенесены
из теории непрерывных пропорций,
которыми занимались древние
греки.
НАЗАД, В ИСТОРИЮ!
Задачи на геометрические
и арифметические
прогрессии встречаются у
вавилонян, в египетских
папирусах, в
древнекитайском трактате
«Математика в 9 книгах».
НАЗАД, В ИСТОРИЮ!
Формула суммы членов
арифметической
прогрессии была доказана
древнегреческим ученым
Диофантом (в 3 веке).
Формула суммы членов
геометрической прогрессии
дана в книге Евклида
“Начала” (3 век до н.э.).
НАЗАД, В ИСТОРИЮ!
Правило для нахождения
суммы членов произвольной
арифметической прогрессии
впервые встречается в
сочинении «Книги абака» в
1202г. (Леонардо Пизанский)
НАЗАД, В ИСТОРИЮ!
В печати же понятие
последовательности отмечено в
1544 году, когда вышла книга
немецкого математика Михаила
Штифеля «Общая арифметика».
Штифель составил такую
таблицу, при помощи которой
можно выполнять умножение и
деление чисел, можно возводить
числа в степень и извлекать
корни.
-4
1
16
-3 -2
1 1
8 4
-1
0 1 2 3
4
5
6
7
1 1 2 4 8 16 32 64 128
2
В верхней строчке написана арифметическая
прогрессия с разностью 1. В нижней строчке –
геометрическая прогрессия со знаменателем 2.
При помощи данной таблицы можно выполнять
умножение чисел. Например, надо умножить 1 на 128. В
таблице над 1
2
2
написано -1, над 128 написано 7. Сложим эти числа,
получим 6, а над шестёркой стоит число 64.
Следовательно, если перемножить эти числа, то
получим 64.
С помощью таблицы можно выполнить деление.
Разделим 32 на 8. В таблице над 32 написано 5, над
8 написано 3. Вычтем эти числа, получим 2, а над
двойкой читаем 4. Это есть искомое число.
Если вспомнить тождества: при умножении двух
степеней с одинаковым основанием основание
остаётся прежним, а показатели складывают и при
делении двух степеней с одинаковым основанием,
основание остаётся прежним, а показатели
вычитают, то нижнюю строчку таблицы Штифеля
можно переписать так:
1
1
1
1
1
2
4
8
16 32 64 128
2
16
8
4
2
4
2
3
2 2 2 1 2 0 21
22
23
2 4 25
2
6 27
Теперь можно увидеть, что если показатели
степени составляют арифметическую прогрессию,
то сами степени составляют геометрическую
прогрессию.
С помощью таблицы можно возводить в степень и
извлекать корни. Например, чему равно 43 ?
Извлечём корень четвёртой степени из 256.
Делим 8 на 4, против 2 читаем 4, значит, 4 3  64.
Против 4 читаем 2, умножаем 2 на 3, получаем 6,
против 6 читаем 64, значит, 4 256  4.
Англия XVIII век
В XVIII в. в английских учебниках
появились обозначения
арифметической и геометрической
прогрессий:
Арифметическая
Геометрическая
Группа1.
Историческая справка
Эта задача связана с детскими годами
замечательного немецкого математика Карла Гаусса
(1777–1855 гг.). Когда ему было 9 лет, учитель задал
эту задачу всему классу, чтобы дети не мешали ему
проверять письменные работы учеников другого
класса. Через 1 минуту Карл произнес: «Я уже
решил…» – и сдал работу. К концу урока сумму
вычислили и остальные.
Давайте попробуем повторить этот опыт.
Найти сумму всех натуральных чисел от
1 до 100.
1) 5000; 2) 4949; 3) 5050; 4) 5151.
Предложите способ ее вычисления.
S 100 = 1+2+3+4+…+100=?
Задача очень непроста:
Как сделать, чтобы быстро
От единицы и до ста
Сложить в уме все числа?
Пять первых связок изучи,
Найдешь к решению ключи!
Давным – давно сказал один
мудрец, что прежде надо
Связать начало и конец
У численного ряда.
1  100  ?
2  99  ?
3  98  ?
4  97  ?
5  96  ?
Царь древней Индии Шерам пригласил к себе
изобретателя шахмат Сета и спросил, какую бы
награду хотел бы он получить за изобретение столь
мудрой игры.
Тогда Сета попросил царя на первую клетку
шахматной доски положить 1 зерно, на вторую – 2 зерна,
на третью – 4, на четвертую – 8 и т.д., т.е. на каждую
клетку вдвое больше зерна, чем на предыдущую клетку.
Поначалу царь удивился столь “скромному” запросу
изобретателя и поспешно повелел выполнить ту просьбу.
Однако, как выяснилось, казна царя оказалось слишком
“ничтожной” для выполнения этой просьбы.
Действительно, чтобы выполнить эту просьбу,
потребовалось бы количество зерен, равное сумме
1 + 2 + 22 +.. + 263, а эта сумма равна
18446744073709551615.
Если считать, что 1 пуд зерна содержит 40000
зерен, то для выполнения просьбы потребовалось
бы 230 584 300 921 369 пудов зерна. Если
полагать, что в среднем ежегодно собирается
1 000 000 000 пудов зерна, то для выполнения
указанной просьбы нашей стране нужно работать
(не расходуя ни одного зерна) на протяжении
230584 лет.
S64=264-1=
=18446744073704551615
S 64 =
64
2
- 1 = 1,84 ·
19
10
- стандартный вид
данного числа
3 группа.
Это задача из «Сборника старинных занимательных
задач по математике» Игнатьева Е.И.
Однажды богач заключил выгодную,
как ему казалось, сделку с человеком,
который целый месяц ежедневно
должен был приносить по 100 тыс.
руб., а взамен в первый день месяца
богач должен был отдать 1 коп., во
второй-2 коп., в третий-4 коп., в
четвертый-8 коп. и т. д. в течении 30
дней. Сколько денег получил богач и
сколько отдал? Кто выиграл от этой
сделки?
“Мужик” заплатил: S30
= 100 000• 30 = 3 000 000
(рублей).
“Купец” заплатил: 1; 2;
4;… q=2/1=2.
S30 =1• (230 – 1):(2-1)= 2
30 -1= =1 073 741 824 -1
=1 073 741 823 (коп.) т.е.
10 738 418 руб.23коп
4 группа.
О деревенских слухах:
Удивительно, как быстро разбегаются по деревне
слухи! Иной раз не пройдет и двух часов со времени
какого– нибудь происшествия, которое видели всего
несколько человек, а новость уже облетела всю
деревню: все о ней знают, все слышали. Итак, задача:
В поселке 16 000 жителей. Приезжий в 8.00
рассказывает новость трем соседям; каждый из них
рассказывает новость уже трем своим соседям и т. д.
Во сколько эта новость станет известна половине
деревни?
Решение. Итак, в 8. 15 утра новость была известна только
четверым: приезжему и трём местным жителям. Узнав эту
новость, каждый из трёх граждан поспешил рассказать её
трём другим. Это потребовало также четверти часа.
Значит, спустя полчаса после прибытия новости в город о
ней узнали уже 4+3·3=13 человек. Каждый из девяти
вновь узнавших поделился в ближайшие четверть часа с
тремя другими гражданами, так что к 8.45 утра новость
стала известна 13+9·3= 40 гражданам. Если слух
распространяется по посёлку и далее таким способом, то
есть каждый узнавший эту новость успевает в ближайшие
четверть часа передать её трём согражданам, то
осведомление посёлка будет происходить по следующему
расписанию:
в 9.00 новость узнают 40+27 ·3=121 (человек);
9.15
121+81 ·3 =364 (человек);
9.30
364+243 ·3=1093 (человек);
9.45
1093+729 ·3=3280 (человек);
10.00
3280 + 2187 ·3 =9841(человек).
Эту задачу можно решить по-другому, используя формулу сумму n
первых членов геометрической прогрессии.
В данном случае: q = 3, b1 = 1, Sn = 8000, n –неизвестно.
Подставляя известные числа в формулу, получим:


1  3n  1
 8000;
3 1
3n  16003;
Чтобы найти n , заметим, что 36 = 729, 32 =9,
38 = 36· 32= 729 · 9=6561, 39=19683.
Значит, n должно быть не меньше 9. При n = 9 имеем:




b1 q 9  1 1  39  1 19683  1
Sn 


 9841  8000
q 1
3 1
2
Значит, на 9-ом шаге более половины жителей города будут знать
новость. Легко подсчитать, что это произойдёт в 10.00 утра.
Группа1.
1. Чтобы отправить четыре бандероли, требуется
четыре разные почтовые марки на общую сумму 120
рублей. Цены марок составляют арифметическую
прогрессию. Сколько стоит самая дорогая марка, если
она в три раза дороже самой дешевой?
2. В первом ряду кинотеатра 21 кресло, В каждом
последующем ряду на 2 кресла больше, чем в
предыдущем. Сколько кресел в 40 ряду?
3. Длины сторон выпуклого многоугольника образуют
арифметическую прогрессию с разностью 4см.
Периметр многоугольника равен 75см, а наибольшая
сторона равна 23см. Сколько сторон имеет данный
многоугольник.
Задачи на прогрессию- это не абстрактные формулы. Они берутся
из самой нашей жизни, связаны с ней и помогают решать
некоторые практические вопросы.
• В огороде 30 грядок
каждая длиной 16м и
шириной 2,5 м. Поливая
грядки, огородник
приносит ведра с водою
из колодца,
расположенного в 14 м
от края огорода и
обходит грядки по меже,
причем воды,
приносимой за один раз,
достаточно только для 1
грядки. Какой путь
должен пройти
огородник, поливая весь
огород?
Решение задачи
Для поливки первой грядки огородник должен пройти путь
14+16+2,5+16+2,5+14=65м.
При поливке второй он проходит
14+2,5+16+2,5+16+2,5+2,5+14=65+5=70м.
Каждая следующая грядка требует пути на 5м длиннее предыдущей. Имеем
прогрессию:
65; 70; 75;…; 65+529.
Сумма её членов равна
(65  65  29  5)  30
=4125м.
2
Огородник при поливке всего огорода проходит путь в 4,125 км.
В каких процессах ещё встречаются
прогрессии?
• Деление ядер урана происходит с помощью нейронов.
Нейтрон, ударяя по ядру урана раскалывает его на две
части. Получается два нейтрона. Затем два нейтрона,
ударяя по двум ядрам, раскалывают их еще на 4 части и
т.д. — это геометрическая прогрессия.
•
При повышении температуры в арифметической
прогрессии скорость химической реакции вырастает в
геометрической прогрессии.
• Возведение многоэтажного здания — пример
арифметической прогрессии. Каждый раз высота здания
увеличивается на 3 метра.
• Вписанные друг в друга правильные треугольники — это
геометрическая прогрессия.
• Денежные вклады под проценты — это пример
геометрической последовательности. Зная формулы
суммы членов геометрической последовательности,
можно подсчитывать сумму на вкладе.
•
Равноускоренное движение — арифметическая
прогрессия, т.к. за каждые промежутки времени тело
увеличивает скорость в одинаковое число раз.
О финансовых пирамидах:
• Разберёмся в механизмах этих организаций. Организатор
начинает вовлекать в свою организацию и говорит, что, если
внести указанную плату по указанным адресам по 1 рублю,
а затем заплатить ещё по 5 таким же адресам, вычеркнув
первый адрес и дописав свой последним, то через некоторое
время вы получите уйму денег. Хотя желающих разбогатеть
по щучьему веленью немало, но в выигрыше оказываются
только учредители такой игры.
• Решение. Дело в том, что число участников увеличивается в
5 раз с каждым кругом. Если пятёрка устроителей подпишет,
допустим, 120 человек со своими адресами, то в первом
круге участвуют 120 человек, во втором – 600, в третьем –
3 000, …, в десятом – 234 375 000 человек; это намного
больше населения страны. Так что участник, включившийся
в восьмом или девятом круге, уже ничего не получит.
Выводы.
• Сами по себе прогрессии известны так давно, что нельзя говорить о том,
кто их открыл.
• Задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, также как и многие
другие знания по математике, были связаны с запросами хозяйственной
жизни: распределение продуктов, деление наследства и другими.
• В развитие теории о прогрессиях внесли ученые Архимед, Пифагор и его
ученики, французские математики Леонард Фибоначчи и Баше де
Мезириака, немецкие математики М. Штифель, Н. Шюке, и
К. Гаусс.
• Арифметическая прогрессия в практических задачах встречается чаще
геометрической.
Прогрессии
встречаются
при
решении задач в медицине, в
строительстве,
в
банковских
расчетах, в живой природе, в
спортивных соревнованиях и в
других
жизненных
ситуациях.
Следовательно,
нам
необходим
навык
применения
знаний,
связанных с прогрессиями.
Урок сегодня завершён,
Дружней вас не сыскать.
Но каждый должен знать:
Познание, упорство, труд
К прогрессу в жизни приведут.
Тест.
1. Результатом своей личной работы считаю, что я ..
1.
2.
3.
А. Разобрался в теории.
В. Научился решать задачи.
С. Повторил весь ранее изученный материал.
2. Что вам не хватало на уроке при решении задач?
А. Знаний.
Б. Времени.
С. Желания.
Д. Решал нормально.
3. Кто оказывал вам помощь в преодолении трудностей
на уроке?
А. Одноклассники.
Б. Учитель.
С. Учебник.
Д. Никто.
На дом:
• На листе формата А4 составить тест
по теме «Арифметическая
прогрессия». Тест должен содержать 5
заданий. Помогут вам в этом
сборники для подготовки к ГИА и
учебник «Алгебра 9» под редакцией
А.Г.Мордковича. На обратной стороне
листа с тестом ключ к проверке.
Список использованных источников
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч.1. Учебник для общеобразовательных учреждений/
А.Г.Мордкович. – М.:Мнемозина, 2011. – 231 с.;
Алгебра. 9 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений/ Ю.Н.
Макарычев и др. под ред. С.А. Теляковского –М.: Просвещение, 2009 – 271 с.;
Алгебра. 9 класс, : Учебник для общеобразовательных учреждений /
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Феактистов И.Е. . -М.:
Мнеозина, 2010, -447с. № 698, 699,702,725,734, 788, 789 (7 задач)
Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных.9 кл.: Учебник
для
общеобразовательных учебных заведений/ Г.В. Дорофеев , С.Б. Суворова, Е.А.
Бунимович, Л.В. Кузнецова, С.С. Минаева; под ред. Г.В. Дорофеева. -М. :Дрофа,
2000,-352с.;
Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. Книга для учащихся 7-9 классов
средней школы -М.: Просвещение, 1990.-224сю;
Энциклопедический словарь юного математика /Сост. А.П.Савин.- М.:
Педагогика, 1989.-352с..
Алгебра 9 класс. Задания дл обучения и развития учащихся/ сост. Беленкова
Е.Ю. «Интелект - Центр». 2005.
Библиотека журнала «Математика в школе». Выпуск 23.Математика в
ребусах, кроссвордах, чайнвордах, криптограммах. Худадатова С.С. Москва.
2003.
Математика. Приложение к газете «Первое сентября». 2000. №46.
Разноуровневые дидактические материалы по алгебре для 9 класса/сост. Т.Е.
Бондаренко. Воронеж. 2001.
http://n-t.ru/tp/iz/zs.htm
http://students.tspu.ru/students/legostaeva/index.php?page=op
http://festival.1september.ru/articles/568100/