Сложное логическое выражение

ГБПОУ «МСС УОР №2» Москомспорта
Преподаватель информатики Володина М.В.
2013 г.
Алгебра логики — это математический аппарат, с помощью которого
записывают, вычисляют, упрощают и преобразовывают логические
высказывания.
Логическое высказывание — это любое повествовательное
предложение, в отношении которого можно однозначно сказать,
истинно оно или ложно.
Употребляемые в обычной речи слова и словосочетания "не», «и»,
«или», «если... , то», «тогда и только тогда» и другие позволяют из уже
заданных высказываний строить новые высказывания. Такие слова и
словосочетания называются логическими связками.
Высказывания, образованные из других высказываний с помощью
логических связок, называются составными или сложными.
С помощью логических переменных и символов логических
операций любое высказывание можно формализовать, то есть
заменить логической формулой или функцией.
Каждая логическая связка рассматривается как операция над
логическими высказываниями и имеет свое название и
обозначение.
Сложное логическое выражение – логическое выражение,
составленное из одного или нескольких простых (или сложных)
логических выражений, связанных с помощью логических
операций.
Логическая функция - это функция, в которой переменные
принимают
только
два
значения:
логическая
единица или логический ноль.
Любая логическая функция может быть задана с помощью таблицы
истинности, в левой части которой записывается набор аргументов,
а в правой части - соответствующие значения логической функции.
Таблица истинности – это таблица, определяющая значение
сложного высказывания при всех возможных значениях простых
высказываний.
Для построения таблиц истинности сложной функции
необходимо знать таблицы истинности элементарных функций.
2.
3.
4.
5.
1. Эквивалентность
Дизъюнкция
Инверсия
Импликация
Конъюнкция
Таблица истинности функции логического следования
умножения
сложения
равенства
отрицания
A
Ā
B
A↔B
A→B
A&B
AvB
0
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
При построении таблицы истинности необходимо учитывать
порядок выполнения логических операций.
1. инверсия;
2. конъюнкция;
3. дизъюнкция;
4. импликация;
5. эквивалентность.
Для изменения указанного
используются скобки.
порядка
выполнения
операций
Рассмотрим алгоритм построения таблицы истинности на примере
выражения
F= A&(BvĀ)
1. Определить последовательность выполнения логических операций
(расставить порядок действий) с учетом скобок и приоритетов. При
этом определяется общее количество логических операций.
3
2
1
F= A&(BvĀ)
В первую очередь выполняются действия в скобках. Поэтому
первое действие – инверсия А, второе – дизъюнкция В и не А, и
последнее третье действие – конъюнкция А и выражения BvĀ.
2. Определить количество различных переменных – n.
В этом выражении две переменные А и В, поэтому n=2.
3. Определить количество строк в таблице:
n
количество строк = 2 + строка для заголовка, где n - количество
переменных.
2
В нашем случае n=2, поэтому количество строк = 2 + 1 = 5.
4. Определить количество столбцов:
количество столбцов = количество переменных + количество
логических операций.
Количество переменных у нас равно двум, а количество
логических операций – трем.
Значит количество столбцов = 2 + 3 = 5
5. Нарисовать таблицу.
Ввести названия столбцов таблицы: сначала логические переменные,
а затем – логические операции в соответствии с последовательностью,
установленной в п. 1.
6. Заполнить столбцы входных переменных наборами значений.
7. Провести заполнение таблицы истинности по столбцам, выполняя
логические операции в соответствии с последовательностью,
3
установленной в п. 1.
2 1
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
Ā
1
1
0
0
ВvĀ
1
1
0
1
A&(BvĀ)
F
0
0
0
1
F= A&(BvĀ)
Составить таблицу истинности логического выражения:
4
3
2
5
1
F = A & B v C →Ā
Решение:
1. Определить последовательность выполнения логических операций.
2. Определить количество различных переменных – n.
На входе три простых высказывания: А, В, С поэтому n=3.
3. Определить количество строк: количество строк = 23 + 1 = 9.
4. Определить количество столбцов: 3 + 5 = 8
•переменные: А, В, С;
•логические операции: 5
5. Нарисовать таблицу и заполнить столбцы с учетом таблиц
истинности логических операций.
4
3
2
5
1
F = A & B v C →Ā
A
0
0
0
B
0
0
1
C
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
Ā
BvC
BvC A&BvC
F