7 класс. Признаки равенства прямоугольных треугольников

Назовите свойства прямоугольного
треугольника.
1. Сумма острых углов прямоугольного
треугольника равна 90°
2. Катет прямоугольного треугольника,
лежащий против угла в 30° равен
половине гипотенузы.
3. Если катет равен половине гипотенузы
то он лежит против угла в 30°.
Теорема. Если две стороны и угол между
ними одного треугольника соответственно
равны двум сторонам и углу между ними
другого треугольника, то такие
треугольники равны.
Теорема. Если сторона и два прилежащих
к ней угла одного треугольника
соответственно равны стороне и двум
прилежащим к ней углам другого
треугольника, то такие треугольники
равны.
Теорема. Если три стороны одного
треугольника соответственно равны
трем сторонам другого треугольника,
то такие треугольники равны.
B1
B
C
A
B1
B
C
A
A1
C1
B1
B
A
C1
A1
C
C1
A1
1.а
1.б
B1
B
А
А1
?=
=
C
A
C1
A1
C
B C1
B1
Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны
катетам другого, то такие треугольники равны (по первому признаку
равенства треугольников).
2.а
A
2.б
B1
B
А
?=
=
C
A1
А1
C1
C
B
C1
B1
Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного
треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу
другого, то такие треугольники равны (по второму признаку равенства
треугольников).
Теорема1
Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного
треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу
другого, то такие треугольники равны.
А
А1
Дано: АВС, А1В1С1- прямоугольные,
АВ = А1В1,  В = В1
Доказать: АВС = А1В1С1
C
B C1
B1
Доказательство:
Т.К.  В =  В1, то по свойству углов прямоугольного
треугольника  А =  А1 ..
По второму признаку равенства треугольников (по
АВС
стороне и двум прилежащим к ней углам)
Ч.т.д.
=
А1В1С1
Теорема2
Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника
соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие
В1
треугольники равны.
В
Дано: АВС, А1В1С1 - прямоугольные,
АВ = А1В1, ВС = В1С1
Доказать: АВС = А1В1С1
C
Доказательство:
А C1
А1 А2
Т.к. С =  С1, то наложим
АВС на А1В1С1 так, что С совместится с
С1, а стороны СА и СВ наложатся на лучи С1А1 и С1В1. Поскольку ВС =
В1С1
Тогда В и В1 совместятся. А и А1 также совместятся.
Если предположить, что А совместится с А2, то А1В1А2 –
равнобедренный, но  А1 =  А2. Получили противоречие, значит А
совместится с А1.
Следовательно
АВС совместится с А1В1С1, то есть они равны.
Ч.т.д.
Задача 1
В
D
А
С
Доказать: Δ АВD=Δ АСD
Задача 2
В

А
С

D
Доказать: Δ АВС=Δ АDС
C
Задача 3
В
D
А
Доказать: Δ АВD= Δ ВСD
Задача 4
С
В
О
D
А
Дано:
Δ АВО, Δ СDО прямоугольные ,
АС пересекает ВD в т. О.
ВО = ОD
Доказать: АВ = СD
1. А
Если катеты одного прямоугольного треугольника
соответственно равны катетам другого, то такие
треугольники равны (по первому признаку
равенства треугольников).
А1
=
C
B C1
2. А
А1
=
3.
C
B C1
А
А1
=
C
B C1
А
А1
B1
Если катет и прилежащий к нему острый угол
одного прямоугольного треугольника
соответственно равны катету и прилежащему к
нему острому углу другого, то такие треугольники
B1 равны (по второму признаку равенства
треугольников).
B1
4.
C
=
B C1
B1
Если гипотенуза и острый угол одного
прямоугольного треугольника соответственно
равны гипотенузе и острому углу другого, то
такие треугольники равны.
Если гипотенуза и катет одного
прямоугольного треугольника соответственно
равны гипотенузе и катету другого, то такие
треугольники равны.
Самостоятельная работа
1 вариант
1. Дано: ∆ABC,
BD – высота, АD = DC
Доказать: ∆АВD = ∆ BDC
А
2. Дано: ∆PKMпрямоугольный,
 PMN = 150
Найти:  Р
P
2 вариант
1. Дано: ∆MNK,
NQ – высота, MN = NK
Доказать: ∆MNQ = ∆ NKQ
В
С
D
150
K
M
M
2. Дано: ∆АВСпрямоугольный,
 СВD = 120
Найти:  A
N
N
K
Q
А
C
B
120
D
Самостоятельная работа
1 вариант
1. Дано: ∆ABC,
BD – высота, АD = DC
Доказать: ∆АВD = ∆ BDC
Доказательство: АD = DC
по условию, BD – общая.
∆АВD = ∆ BDC по
А
катетам.
2. Дано: ∆PKMпрямоугольный,
 PMN = 150
Найти:  Р
Решение:
P
2 вариант
1. Дано: ∆MNK,
NQ – высота, MN = NK
Доказать: ∆MNQ = ∆ NKQ
Доказательство:MN= NK по
условию, NQ – общий катет.
∆MNQ = ∆ NKQ по
С
M
гипотенузе и катету.
В
D
150
K
 PMN = 180°-150 =
30°, как смежные
углы.
 Р = 90° - 30° = 60°, как сумма
острых углов прямоугольного
треугольника.
Ответ: 60°
M
N
K
Q
А
2. Дано: ∆АВСпрямоугольный,
 СВD = 120
Найти:  A
Решение:
N
C
 АВС = 180°-120 = 60°,
как смежные углы.
B
120
D
 А = 90° - 60° = 30°, как сумма острых углов
прямоугольного треугольника.
Ответ: 30°