НАХОЖДЕНИЕ НАИБОЛЬШЕГО И НАИМЕНЬШЕГО ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ Учитель математики КОУ «Заливинская СОШ» Зубкова Екатерина Михайловна 12.03.2013 ЦЕЛЬ ЗАНЯТИЯ: решение задач на нахождение точек максимума и минимума; решение задач на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции; решение задач на исследование функций без помощи производной. 2 НА ДАННОМ ЗАНЯТИИ МЫ РАССМОТРИМ: исследование степенных и иррациональных функций; исследование рациональных функций; исследование произведений и частных; исследование логарифмических функций; исследование тригонометрических функций. 3 ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ f g f g f g f g f g f g f g f f g f g g2 g Если с - постоянная (число): с 0 c f c f Производная сложной функции: f g x f g x g x 4 ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ 5 Функция y = f(x) принимает на множестве Х наименьшее значение в точке x0, если x0 принадлежит Х и f(x0) ≤ f(x) для всех x из Х. Функция y=f(x) принимает на множестве Х наибольшее значение в точке x0, если x0 принадлежит Х и f(x0) ≥ f(x) для всех x из Х. 6 Наибольшее значение функции на отрезке[а;b] называют максимумом функции на данном отрезке. Наименьшее значение функции на отрезке [а;b] называют минимумом функции на данном отрезке. Точку отрезка [а;b], в которой функция достигает максимума (минимума) на этом отрезке называют точкой максимума (минимума). Значение функции в этой точке – максимум (минимум) функции на отрезке. 7 Внутренние точки отрезка, в которых производная функции f(x) равна нулю или не существует, называют критическими точками функции f(x) на этом отрезке. Стационарные точки функции - точки в которых производная равна нулю. Если производная функции на интервале (a;b) положительна, то функция y=f(x) возрастает на данном интервале. Если производная функции на интервале (a;b) отрицательна, то функция y=f(x) убывает на данном интервале. 8 ПРИЗНАКИ МАКСИМУМА И МИНИМУМА Признак максимума: если функция f(x) непрерывна в точке x0 , производная положительна на интервале (a;x0) и производная отрицательна на интервале (x0 ; в), то х0 – точка максимума функции f(x) (упрощенная формулировка: если в точке x0 производная меняет знак с плюса на минус, то x0 – точка максимума). Признак минимума: если в точке x0 производная меняет знак с минуса на плюс, то x0 – точка минимума. 9 АЛГОРИТМ НАХОЖДЕНИЯ ТОЧЕК МАКСИМУМА (МИНИМУМА) ФУНКЦИИ 1. 2. 3. 4. 5. Находим ООФ. Находим производную функции f’(x). Находим нули производной (их ещё называют стационарными точками) путём приравнивания производной к нулю f’(x)=0, решаем полученное уравнение. Отмечаем полученные значения на числовой прямой и определяем знаки производной на этих интервалах, путём подстановки значений из интервалов в выражение производной. Далее делаем вывод. 10 АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА НАХОЖДЕНИЕ НАИБОЛЬШЕГО ИЛИ НАИМЕНЬШЕГО ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ НЕПРЕРЫВНОЙ НА ОТРЕЗКЕ: находим ООФ и проверяем, содержится ли в ней весь отрезок [а, в]; находим критические точки, принадлежащие заданному отрезку; вычисляем значение функции на концах отрезка и во всех критических точках принадлежащих отрезку [а, в]; из полученных чисел выбираем наибольшее и наименьшее значение функции. 11 Если уравнение f’(x)=0 не будет иметь решения или на заданном отрезке нет точек экстремума, это значит, что на этом промежутке производная принимает значения одного знака, т.е функция является монотонной на нём. В А y наиб. C y наиб. y наим. а b D а y наим. b 12 I. ИССЛЕДОВАНИЕ СТЕПЕННЫХ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ Задача 1. Найти точку максимума функции 2 y x x 3x 1. 3 Решение 1. ООФ: x ≥ 0. 2. Находим производную функции: 3 2 3 32 1 2 2 2 y ' x x 3 x 1 x 3 x 1 x 3 x 3 3 2 3 3 3. Находим критические точки: x 3 0; x 3; x 9. 13 4. Отметим на числовой оси критические точки, определим знак производной на каждом промежутке. + y’ y 0 x 9 max y '(4) 4 3 1 0 y '(25) 25 3 2 0 Ответ: 9 14 II. ИССЛЕДОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ Задача 2. Найти точку минимума функции x y 2 x 1 Решение 1. ООФ: x R 2. Находим производную функции: x x ' ( x 2 1) x ( x 2 1) ' x2 1 x 2x x y ' 2 2 2 2 2 2 ( x 1) ( x 1) x 1 x 1 x2 1 2 x2 1 x2 x2 1 2 2 2 2 2 ( x 1) ( x 1) ( x 1)2 15 3. Находим критические точки: x2 1 2 2 2 0, x 1 0, т.к.( x 1) 0 всегда 2 2 ( x 1) ( x 1)( x 1) 0, x1 1, x2 1 4. Отметим на числовой оси критические точки, определим знак производной на каждом промежутке. y’ y + - + -1 max (2)2 1 3 y '(2) 0 2 2 ((2) 1) 25 02 1 y '(0) 0 2 2 0 1 x 1 min y '(2) 22 1 2 2 1 2 3 0 25 Искомая точка минимума х=1. Ответ: 1. 16 III. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Задача 3. Найти наибольшее значение функции y ln( x 5)5 5x на 4,5; 0. Решение 1. ООФ: x 5 5 0 x 5 [4,5;0] ООФ 2. Находим производную функции: 4 5 x 5 1 5 4 y ' ln( x 5)5 5 x 5 x 5 5 5 5 5 5 x5 x 5 x 5 3. Находим критические точки: 5 5 0 x5 5 5 x5 17 1 1 x5 x 5 1 x 4 4 4,5; 0 4. Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции: + y’ y -4,5 y ' 4, 2 y '(1) -4 max 0 x 5 5 5 5 0,8 5 (1 0,8) 5 5 0 4, 2 5 0,8 0,8 0,8 5 5 5 5 0 1 5 4 18 5. Вычислим значение функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих данному отрезку. y 4,5 ln 4,5 5 5 4,5 ln 0,55 22,5 5 y 4 ln 4 5 5 (4) ln1 20 20 5 y (0) ln 55 Ответ: 20. 19 IV. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Задача 4. Найти наименьшее значение функции 3 y 9 cos x 14 x 7 на 0; . 2 Решение 1. Найдем производную y ' 9 cos x 14 x 7 9sin x 14 2. Найдем критические точки 9sin x 14 0 9sin x 14 14 sin x , корней нет т.к. sin x 1;1 9 Нет критических точек. 20 3. Найдем значение функции на концах отрезка y 0 9 cos 0 14 0 7 9 7 16 3 3 3 y 9 cos 14 7 21 7 2 2 2 Ответ: наименьшее значение 16. 2 способ. Производная y ' 9 sin x 14 0 всегда, следовательно функция возрастает на заданном отрезке, следовательно наименьшее значение функция будет принимать в нуле. 21 Задача 5. Найти наибольшее значение функции 3 y 2 cos x 3x на 0; . 3 2 1. Найдем производную функции 3 2 y ' 2 cos x 3 x 2sin x 3 3 2. Найдем критические точки 2sin x 3 0 sin x 3 2 x 0; 3 2 3 y 3. Найдем значения функции на концах отрезка и в критических точках 3 3 y 0 2 cos 0 3 0 2 3 3 0 3 2 3 3 y 2 cos 3 2 2 3 6 2 3 2 3 1 y 2 cos 3 2 cos 2 1 3 3 3 3 2 3 22 Ответ: 1. V. ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЙ И ЧАСТНЫХ Задача 6. Найти точку минимума функции y x 2 e x 5 2 Решение 1. ООФ: x R 2. Находим производную функции: y' x 2 2 e x 5 x 2 2 2 2 e x 5 x 2 e x 5 2 x 2 e x 5 x 2 e x 5 ex5 x 2 2 x 2 x e x5 x 2 3. Находим критические точки: y' 0 xe x 5 x 2 0 т.к. e x 5 0 всегда, то x1 2, x2 0 23 4. Определим знаки производной функции и изобразим на числовой оси: y’ y + 0 max y ' 3 3 e 3 5 3 2 x 2 min y ' 1 1 e15 1 2 e6 3 y ' 1 1 e15 1 2 e 4 + 3 0 6 e 1 0 4 e 3 0 2 e Ответ: 2. 24 VI. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ БЕЗ ПОМОЩИ ПРОИЗВОДНОЙ Задача 7. Найти точку минимума функции y x 2 6 x 11 Решение. 2 Функция y x 6 x 11. График – парабола. Так как а=1>0, то ветви параболы направлены вверх. b 6 x ; x 3. Минимум в точке 0 min 2a 2 Функция вида y x возрастающая, а заданная функция определена при найденном значении переменной, она достигает минимума в той же точке, в котором достигает минимума подкоренное выражение. Ответ: 3. 25 РЕШИТЕ САМОСТОЯТЕЛЬНО 1. Найдите наибольшее значение функции y x 2 x 8 7 на отрезке 12; 4. 2 Ответ: 25. 2. Найти наименьшее значение функции 36 y x на отрезке 1;9 . x Ответ: 12. 3. Найти точку минимума функции y 4 x 4ln x 7 . Ответ: -6. 4. Найти точку максимума функции y 2 x 1 cos x 2sin x 3 0; . 2 Ответ: 0,5. 26 Спасибо за внимание! 27