4. Метод частичных областей

А.Н.Боголюбов, А.Л.Делицын, А.Г.Свешников
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЛНОВЕДУЩИХ
СИСТЕМ
Московский Государственный университет
имени М.В.Ломоносова
физический факультет
кафедра математики
СОДЕРЖАНИЕ ДОКЛАДА
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
Волноведущие системы.
История исследования волноведущих систем.
Метод поперечных сечений.
Метод частичных областей.
Неполный метод Галеркина.
Метод конечных разностей.
Метод конечных элементов.
Проблема появления нефизических решений.
Проблема ограничения области.
Задачи синтеза волноведущих систем.
Теоретические исследования свойств волноведущих систем.
1. Волноведущие системы
Излучатели конечных размеров, расположенные в свободном
пространстве, возбуждают электромагнитное поле, распространяющееся
по всем направлениям. Однако энергию электромагнитного поля часто
необходимо передавать от излучателя (возбудителя) к нагрузке так, чтобы
она не рассеивалась в пространстве, а по возможности целиком
поступала в нагрузку, для чего она должна быть локализована в части
пространства – определенном канале. В качестве таких каналов
используются волноведущие (направляющие) системы. Основой любой
волноведущея системы являются волноводы.
Волновод – это специальное устройство или канал в неоднородной
среде, в котором могут распространяться волны различной природы:
акустические (в акустических волноводах), электромагнитные (в
радиоволноводах, световодах), сейсмические и другие.
2. История исследования волноведущих систем
Одним из первых исследователей волноведущих систем был лорд
Дж. У. Рэлей, который изучал акустические волны в органных трубах.
Эти исследования были выполнены в конце XIX века на чисто
физическом уровне строгости.
Начало строгой математической теории волноведущих систем было
положено в 1947-1948 гг. классическими работами А.Н.Тихонова и
А.А.Самарского:
1) О возбуждении радиоволноводов //Журнал технической физики.
1947. Т. 27, вып. 11, 12. С. 1283-1296, 1431-1440.
Для уравнения Гельмгольца в цилиндрической области впервые
построена функция Грина и выделена ее
особенность, что
потребовало доказательства полноты системы собственных функций
регулярного волновода.
2) О представлении поля в волноводе в виде суммы полей ТЕ и ТМ //
Журнал технической физики. 1948. Т. 28, вып. 7. С. 959-970.
Строго доказано, что любое электромагнитное поле в регулярном
волноводе в области, свободной от внешних зарядов и токов, может быть
представлено
в
виде
суперпозиции
поперечномагнитных
и
поперечноэлектрических волн ТМ и ТЕ полей, каждое из которых можно
описать в виде краевой задачи для скалярного уравнения Гельмгольца.
Проведенные фундаментальные исследования послужили основой для
создания строгой математической теории возбуждения регулярных
волноводов произвольным распределением заданного тока.
Эти результаты позволили П.Е.Краснушкину ввести понятие
нормальной волноводной волны или моды.
После фундаментальных работ А.Н.Тихонова, А.А.Самарского,
В.Г.Кисунько, П.Е.Краснушкина, Луи де Бройля и ряда других ученых
электродинамика волноведущих систем превратилась в строгую
математическую теорию, определившую новое научное направление в
математической физике.
Конец сороковых-начало пятидесятых годов ХХ века: работы по развитию
методов расчета влияния плавных нерегулярностей (волноводные
переходы, волноводная скрутка, изгиб волновода). Уменьшение
отражения падающей волны. Минимизация преобразования основной
волны в паразитные волны.
3. Метод поперечных сечений
Предложен в 1955 году С.А.Щелкуновым и П.Е.Краснушкиным и развит
в работах А.Г.Свешникова, А.С.Ильинского, Б.З.Каценеленбаума,
В.П.Моденова, А.А.Быкова и других ученых .
Поле в любом сечении нерегулярного волновода представляется в
виде бесконечной суммы полей нормальных волн волновода сравнения,
распространяющихся в обоих направлениях. Коэффициенты разложения
являются функцией продольной координаты и удовлетворяют
бесконечной системе обыкновенны дифференциальных уравнений.
Коэффициенты системы дифференциальных уравнений выражаются
достаточно сложными интеграалми от полей нормальных волн
волновода сравнения.
Обоснование сходимости этого метода и возможности решения
краевых задач для полученных бесконечных систем уравнений методом
редукции было проведено на физическом уровне строгости лишь для
случая слабо нерегулярных волноводов.
4. Метод частичных областей
Этот метод весьма широко распространен для расчета волноведущих
систем.
Он применим только для случая волноведущих систем с кусочнопостоянным заполнением.
В подобластях с постоянным заполнением поле раскладывается по
соответствующей полной системе функций, коэффициенты разложения
определяются из условий сопряжения на границах подобластей.
Методу частичных областей посвящено большое число работ
отечественных и зарубежных авторов, в том числе Г.И.Веселова,
В.П.Моденова, Р.Миттры, С.Б.Раевского, В.П.Шестопалова и ряда других
авторов.
5. Неполный метод Галеркина
Основной трудностью в реализации метода поперечных сечений
является необходимость на каждом шаге численно решать спектральную
задачу. Этот недостаток преодолен в неполном методе Галеркина.
Предложен в начале 60-х годов А.Г.Свешниковым (докторская
диссертация «Методы исследования колебаний в нерегулярных
волноводах», 1963 г.).
Нерегулярный участок волновода со сложной боковой поверхностью с
помощью введения неортогональной криволинейной системы координат
отображается на регулярный цилиндрический волновод постоянного
сечения с анизотропным заполнением, которое определяется
метрическим тензором преобразования координат: решается вопрос о
возможности предотвратить трансформацию мод путем выбора
специального анизотропного заполнения волновода.
Поле в любом сечении разлагается по системе нормальных волн с
коэффициентами разложения, зависящими от продольной координаты.
Определение
коэффициентов
разложения
использованием процедуры метода Галеркина.
производится
с
В результате осуществляется переход не к бесконечной, а к конечной
системе обыкновенных дифференциальных уравнений.
Проекционные соотношения выбираются так, чтобы приближенное
решение любого порядка удовлетворяло бы тому же энергетическому
тождеству, что и точное решение. что позволяет провести строгое
математическое доказательство сходимости метода при условиях
значительно более общих, чем при сведении к бесконечной системе.
Строго доказана сходимость по норме W21 неполного метода Галеркина
для кусочно-непрерывных коэффициентов  (M ) и  ( M ) исходной задачи
при условии достаточной гладкости боковой поверхности нерегулярного
участка исходного волновода с получением мажорантных оценок
скорости сходимости. А.Г.Свешниковым был предложен общий принцип
формулировки проекционных соотношений, при котором имеет место
сходимость метода в энергетических нормах операторов с разрывными
коэффициентами.
6. Метод конечных разностей
Основная сложность численной реализации неполного метода
Галеркина: необходимость решать жесткую систему уравнений (метод
направленной ортогонализации А.А.Быкова).
Основополагающими работами в области метода конечных разностей
(МКР) являются работы А.А.Самарского.
Два класса стационарных задач расчета волноведущих систем:
1) Задачи возбуждения: расчет неоднородных по длине волноведущих
систем (ответвители, волноводные переходы, изгибы, волноводные
трансформаторы и т.д.). Неоднородность геометрии волновода и
неоднородность заполняющей его среды.
2)
Спектральные задачи: расчет однородных по длине волноведущих
систем с неоднородной геометрией попереного сечения и произволным
изменением свойств заполняющей среды в поперечном направлении.
1) Локальный характер неоднородности: сведение к задаче в
ограниченной области.
Решение полученной конечно-разностной задачи:
а) Прямые методы (технология разреженных матриц).
в)
Итерационные методы. Оператор несамосопряженный и
незнакоопределенный. Модифицированные методы с комплексными
итерационными параметрами. Метод немонотонной прогонки
(А.Н.Боголюбов, В.И.Телегин).
с) Метод параболического уравнения. Метод опорной волны
(П.Я.Уфимцев).
d) Алгоритм ограничения спектра и выделения спектральной полосы.
2) Построение консервативных разностных схем, используя:
а) прямую постановку задачи (метод баланса и др.);
в) проекционно-сеточные методы (метод конечных элементов и др.).
Нестационарные задачи.
FDTD – базовый алгоритм метода конечных разностей во временной
области для решения задач электродинамики (Кейн Йе, 1966 г.).
Основная идея: выбор такого пространственного шаблона для
компонент вектора электрического и магнитного поля, который бы
наиболее полно отражал систему уравнений Максвелла.
а) Позволяет решить полную задачу одновременного расчета
электрических и магнитных полей.
в) Каждая компонента вектора Е окружена четырьмя роторными
циркулирующими компонентами вектора Н и аналогично для компонент
вектора Н – сетки Йе хорошо отражают законы Фарадея и Ампера и
удобны для постановки граничных условий.
с) Компоненты вектора Е отнесены к целочисленным временным
узлам, а компоненты вектора Н – к полуцелым. Для данного момента
времени все компоненты вектора Е вычислены с помощью компонент
вектора Н в предыдущий момент и сохраняются в памяти для
вычисления компонент вектора Н в последующий момент и т.д.
z
Ez
Hx
Hx
H
Hy
x
Hz
𝐻𝑧
Hz
Ex
0
(i, j, k )
Hy
Ячейка схемы Йе.
x
Hx
y
Непосредственное использование алгороитма
Йе
для расчета
волноведущих систем со вставками на
основе
метаматериалов
связано с определенными трудностями. В
настоящее время
разработаны различные варианты применения метода FDTD.
В частности, для вычисления волновых полей в би-изотропных средах
Алким Акиюуртлу в 2004 году предложила новый вариант метода
конечных разностей во временной области – метод BI-FDTD, основанный
на аддитивном разложении поля.
При использовании МКР возникает ряд проблем, часть из которых
(проблема ограничения области и проблема борьбы с нефизическими
решениями - «духами») мы рассмотрим в дальнейшем.
7. Метод конечных элементов.
Метод конечных элементов (МКЭ) является вариационным методом,
или в более широком плане, проекционным методом. Его
возникновение связано с классическими работами И.Г.Бубнова,
Б.Г.Галеркина и В.Ритца. Математические основы
МКЭ были
сформулированы Р.Курантом в 1943 году.
Исходная область разбивается на подобласти стандартного типа
(треугольники, четырехугольники), на которых решение локально
аппроксимируется кусочно-полиномиальными функциями, что аналогично
разложению решения по системе финитных базисных функций, носителями
которых являются подобласти разбиения – конечные элементы.
Для определения коэффициентов используется либо вариационный
подход (методы типа Ритца), либо проекционный подход (методы типа
Галеркина). В результате исходная задача сводится к системе линейных
алгебраических уравнений (СЛАУ) - разностной схеме, которая
обрабатывается стандартными методами, разработанными в теории
разностных схем.
Особенности полученной СЛАУ:
а) Матрицы системы сильно разреженные (как правило ленточной
структуры) – технология разреженных матриц для обработки.
в) Порядок матриц высокий.
с) Матрицы как правило незнакоопределенные.
Устойчивый
алгоритм
для
обработки
симметричных
незнакоопределенных матриц: диссертация Джемса Банча (1969 г.)Калифорнийский университет в Беркли.
«Волна Гивенса» - А.Н.Боголюбов, Мишкин, Ноговицын.
Применение МКЭ к расчету волноведущих систем: 60-е годы прошлого
века. Берк, Куросава, В.В.Никольский-выписаны и исследованы
вариационные Функционалы для волноводов произвольного типа.
Варианты МКЭ. а) h-модификация; в) р-модификация; с) p-h –
модификация.
1) Изопараметрические и криволинейные элементы.
2) Сингулярные базисные функции.
3) Смешанные элементы.
d) Суперэлемненты (Л.Г.Страхова. Р.П.Федоренко, 1994 г.).
е) Атомарные функции (В.Ф.Кравченко).
8. Проблема появления нефизических решений.
Большой проблемой существенно снижающей эффективность
алгоритмов МКЭ в электродинамике является возникновение не
имеющих физического смысла
фиктивных решений («духов») в
спектральных задачах.
1) Апостериорный подход борьбы с «духами». С.ф., отвечающие
нулевому с.з., являются функциями потенциального типа и не
удовлетворяют условию равенства нулю дивергенции. Проверка связана
с дополнительными затратами и не точна.
2) Априорный подход борьбы с «духами».
а) Метод штрафных функций (метод штрафов). Используется
функционал, содержащий дополнительной слагаемое, отвечающее
условию равенства нулю дивергенции электромагнитного поля.
Недостатки метода.
а) не удается избавиться
полностью от
нефизических решений (имеются численные примеры); в) теоретически
не исследована точность получаемых при методе штрафов решений.
в) Метод смешанных конечных элементов (СКЭ). Применим к
широкому классу волноведущих систем . Позволяет решать задачи для
произвольного кусочно-непрерывного анизотропного заполнения в
областях сложной геометрии.
При решении электродинамических задач используются СКЭ двух видов
(возможность применения в конечномерных пространствах операторов
ротора или дивергенции).
Основная особенность СКЭ: отказ от использования в качестве
базисных функций непрерывных функций:
а) накладываются условия непрерывности лишь тангенциальных
составляющих полей;
в) нулевое с.з. вычисляется точно, что сводит проблему борьбы с
«духами»
к точному и эффективному численному определению
младших ненулевых с.з.
Численное
решение
ищется
в
функциональном
классе,
соответствующем исходной краевой задаче, вследствие чего скорость
сходимости приближенного решения к точном становится равной
скорости сходимости для эллиптических уравнений общего вида. Это
позволяет применять СКЭ высокого порядка.
Недостатки метода.
а) Использование декартовой системы координат (даже при наличии
цилиндрической симметрии).
в) Точность решения падает в связи с необходимостью аппроксимации
границы области (обычно с помощью ломаной линии) – лишает
преимуществ применения СКЭ высокого порядка. Увеличивается
размерность задачи, падает скорость сходимости по сравнению с
прямоугольной геометрией, существенно (на порядок) снижается
точность получаемых результатов.
9. Проблема ограничения области.
При применении МКР и МКЭ в численном моделировании
волноведущих систем возникает проблема ограничения области, в
которой ищется решение.
1) Использование виртуальных стенок (магнитных или электрических,
на которых поле считается равным нулю. Самый старый и простой метод.
Недостатки метода. а) размерность получаемых матриц оказывается
чрезвычайно высокой; в) применим только вдали от частоты отсечки;
с) изменение свойства оператора задачи (несамосопряженностьсамосопряженность).
2)
Использование
беконечных
элементов с
квадратично
интегрируемыми базисными функциями. Более точно описывается
поведение поля на бесконечности.
Недостаток метода. Получаемые СЛАУ оказываются нелинейными, что
сильно снижает эффективность метода.
Модификация: алгоритм саморегулирующейся сетки (А.Н.Боголюбов,
А.В.Красильникова).
3). Использование парциальных условий излучения
А.Г.Свешникова
В 50-х годах прошлого века А. Г. Свешниковым были
введены парциальные условия излучения, которые в случае
внешних задач дифракции позволяют редуцировать их к
задачам в ограниченных областях с нелокальными
граничными условиям. Использование разностных аналогов
парциальных условий излучения
оказалось наиболее
эффективным методом для построения численных
алгоритмов решения данного класса задач. В случае
волноведущих систем с локальной неоднородностью
парциальные условия излучения являются условиями,
которые накладываются на коэффициенты Фурье в
разложении решения (поля) по собственным функциям
сечения.
Для иллюстрации применения парциальных условий излучения
рассмотрим плоский волновод с локальной нерегулярностью:
при x  0 и x  a волновод регулярный: его заполнение
однородно и геометрия сечения постоянна. Между сечениями
x  0, x  a помещается локальная неоднородность.
u ( x, 0) = 0, u ( x, b) = 0, x Î ¡ 1 граничные условия (например, идеально проводящие стенки).
Разложим поле по функциям сечения  n  y :

u ( x, y )   Z n  x  n  y  ,
n 1
где функции сечения являются с.ф. задачи:
ìïï y ¢¢( y ) + l y ( y ) = 0, 0 < y < b,
í
ïïî
y (0) = 0, y (b) = 0,
  k 2   2.
y n ( y) =
2
p ny
sin
,
b
b
2
æp n ÷
ö
ç
ln=ç ÷
, ( n = 1, 2,...)
çè b ÷
ø
Существует счетное множество нормальных волн (мод) вида:
при
un ( x, y) = eign x y n ( y),
( x  0, x  a ).
gn =
k 2 - l n , (n = 1, 2,...)
Пусть на неоднородность падает слева нормальная волна
индекса n0 с амплитудой An0 . В сечении x  0 парциальные
условия излучения при временной зависимости
t
e  iимеют
вид:
b
ìï ¶ u
ï
(1) ü
(1)
+
i
g
u
×
y
(
y
)
dy
=
2
i
g
n0 An0 ×dn , n0 ,
ò íïîï ¶ x n ýïþï x= 0 n
0
( n = 1, 2, ...)
Аналогично ставятся условия в сечении x  a . Парциальные
условия излучения – нелокальные условия. Поскольку

u ( x, y )   Z n ( x) n ( y ),
n 1
b
Zn ( x)   u ( x, y ) n ( y )dy
0
(n  1, 2,...)
то отсюда следует, что парциальные условия излучения – это условия,
которые накладываются на коэффициенты Фурье Zn(x)
в разложении функции u(x,y) по функциям сечения
 n ( y) :
Zn (0)  i n(1) Zn (0)  2i n(1)0 An0  n,n0
Пусть D-область между сечениями x=0 и x=a:
Краевая задача имеет вид:
D  0  x  a,0  y  b.
u  k 2 ( x, y )u  0, ( x, y )  D,

u (x,0)=0, u ( x, b)  0, 0  x  a,
 b  u
(1) 
(1)

i

u

(
y
)
dy

2
i




n
n
n0 An0  n , n0 ( n  1, 2,...),
 x 0
 0  x
 b u
    i n(2)u   n ( y )dy  0 (n  1, 2,...),
 0  x
xa
где  n(l )  kl2  n (n  1, 2,...; l  1, 2)  постоянные распространения
нормальных волн.
4) Использование эффективных интегральных граничных условий
сводящих задачу в неограниченной области к задаче в ограниченной
области
Рассмотрим плоский открытый диэлектрический волноводный переход
длины 2L
, соединяющий два плоских регулярных металлических
волноводов с диаметрами D1и D2 соответственно. Стенки волноводов
предполагаются идеально проводящими. Волноводы соединяются
плоским диэлектрическим переходом. нижняя граница которого является
идеально проводящей, а верхняя свободной. Заполнение волновода
характеризуется функцией  ( x, y ) ,
 - открытый участок границы
Ĝ
волноводного перехода,
- остальная часть границы системы
волноводы – переход. Для ограничения области в продольном
направлении в сечениях
ставятся парциальные условия
x  H
излучения. D- область волноведущей системы между сечениями, F область над волноведущей системой, заключенная между
сечениями
x   H. .
Краевая задача имеет вид (рассматриваются ТМ-волны):
Плоский волноводный переход со свободной границей.
y
G
F

G
D2
D1
0
H
L
L
H
x
 2U 0  2U 0 U 0  ln  U 0  ln 
2




k
(
x
,
y
)
U 0  0, ( x, y)  D,
2
2
x
y
x x
y y
U 0
n
G
 0,
 2U 0  2U 0 2
 2  k0 U  0, ( x, y)  F ,
2
x
y
U
n
G
 0,
Условие сшивания полей на  :
U
1 U 0
U   U0  ,


,
n
 ( x, y) n
Здесь U  x, y  - поперечная компонента магнитного поля (ТМ-волны):
U ( x, y )  H z , k 2   2 ( x, y ) .
Поставим на границе  эффективные граничные условия. Применим
в области F формулу Грина к решению уравнения Гельмгольца с
постоянным k0 и функцией Грина G2 , удовлетворяющей однородному
граничному условию второго рода на границе G  :
U ( P0 )
P0    G2 ( P0 , P )

U
dl.
nP
Пусть   {g ( x)  C (1)   L, L  , C   G. Введем функцию
0, ( x, y )  G,

W0 ( x, y )   U
Тогда:
,
(
x
,
y
)


.
 n 
Введем также функцию
U
n
C
 W0 ( x, y ), ( x, y )  C.
 D1 , x   ,   L  ,

f ( x)   g ( x), x    L, L  ,

 D2 , x   L,   .
Отобразим область F на полуплоскость y  0 : xˆ  x, yˆ  y  f ( x).
Уравнение Гельмгольца в новых переменных ( xˆ  x, yˆ  y ):
 2U
 2U
U
 2U
2
2




2
f
x

f
x

f
x

k






0 U  0, y  0.
x 2
xy
y
y 2
Фундаментальное решение строится с помощью интегрального
преобразования Фурье. Продолжим нечетно U на отрицательную
полуось у. Преобразование Фурье по у:
Uˆ  x,  y  

 U  x, y exp  i y  dy.
y

Уравнение Гельмгольца в пространстве образов:
U

 ˆ
2
2 ˆ
2


  i y f  x   U   k0   y U  2  f  x   1
y
 x

2
Решение ищем в виде:


Uˆ x,  y  V  x,  y  exp  i y f  x   .
y 0
.
Функция V удовлетворяет уравнению:
U
Vxx   k   V  F1  x,  y  , F1  2
y
2
0
2


1

f
 x  exp i y f  x   .
y 0 
2
y
Преобразование Фурье по переменной х:
Vˆ x ,  y  

 V  x,   exp  i x  dx,
y
x

при
k02  x2  y2  0 получим:
Vˆ x ,  y   Fˆ1 x ,  y   k02  x2  

2 1
y
, Fˆ1 

 F exp i x  dx.
1
x

Возвращаясь в пространство оригиналов, получим:

2
i
 U
2
(1) 
U  x, y  y 0    H 0  k0  x  y    f  x  f  x  
2 

 y
2


1

f
 x dx.
y 0 
ˆ, y  yˆ  .
Последняя формула записана в новых переменных  x  x
Возвращаясь к старым переменным и учитывая то, что функция U(x,y)
была четно продолжена на отрицательную полуось у, а также учитывая
условия сопряжения на границе Г, получаем нелокальное граничное
условие, которое ставится на виртуальной границе Г области D при
решении внутренней краевой задачи для поля U 0 :
U 0  x, y 
L
y g x
i
1
  H 0   k0
2 L

 x      f  x   f   
2
2
 U

 y
2

 d .

1

f



y  g   

Полученные условия носят нелокальный характер, но интеграл
считается только по открытой части границы.
Равносильность эффективных нелокальных граничных условий.
De  Di  De
Рассмотрим в неограниченной области
с внутренней
границей S и поверхностью
S 0 разрыва характеристик среды
следующую краевую задачу:
Lu  k 2  M  u  0, M  De / S0 ,
u
S
 f  P  ,  u S 0
 1 u 

 0,

условия излучения.
  n  S0
  2u  2u u  ln  u  ln 
Здесь:
 x 2  y 2  x x  y y ,

Lu   2
2

u

u



,
x
,
y

D


e ,
 x 2 y 2
1
2

k
M

C


 Di  ,  x, y   Di ,
 i
2
k  2

k0  const ,  x, y   De .
 x, y   Di ,
S0
De
S
Di
D
При достаточной гладкости функций ki2  M  , f  P  и поверхностей S и
S 0 задача имеет единственное классическое решение, представимое в
виде:
g
u  M    f  P  d P ,
n
S
M  De ,
g  M , P
где
- функция Грина данной задачи, удовлетворяющая
граничному условию g  M , P  PS  0 и условиям сопряжения,  / n производная по внутренней нормали к поверхности S .
Поставленная исходная задача эквивалентна задаче с нелокальным
граничным условием:
2
vi  k vi  0, M  Di ,
vi S  f  P  ,
vi
vi  P 
  g  P0 , P 
d P ,
nP
S0

S0
Lve  k 2 ve  0, M  De ,
vi
S0  ve
S0 ,
1 ve
 e n
S0

1 vi
 i n
S0
,
условия излучения.
Здесь g  M , P  - функция Грина задачи с нелокальными граничными
условиями, удовлетворяющая граничному условию g  / n S0  0.

Решение задачи с эффективным нелокальным граничным условием
полностью эквивалентно решению исходной задачи в неограниченной
области. Данный вывод справедлив и для рассмотренной ранее задачи
для открытого волноводного перехода.
10. Задачи синтеза волноведущих систем
Задачи синтеза составляют специальный класс обратных
задач
математической физики. Они ставятся как задачи математического
проектирования
для
определения
основных
характеристик
синтезируемого объекта, при которых он обладает требуемыми
техническими и эксплуатационными свойствами. Характерной
особенностью задач синтеза является то, что в отличие от обратных задач
распознавания в задачах синтеза, как правило, отсутствует требование
единственности решения.
Методы решения:
1) Использование аппарата квантовой механики: решение обратной
задачи рассеяния, метод ВКБ. Накладываются существенные
ограничения на вид функции диэлектрической проницаемости
(регулярность, непрерывность, монотонное убывание в поперечном
направлении и т.д.).
2) Рассмотрение задач синтеза как математически некорректных с
использованием метода регуляризации А.Н.Тихонова.
Метод предложен в работах А.Г.Свешникова и А.С.Ильинского.
Используются вариационные постановки задач синтеза: строится
оценивающий функционал и затем ищется его экстремум.
Особенностью задач синтеза в электродинамике: это задачи с
нелинейным и несамосопряженным оператором, для которой
достаточно хорошо исследован только случай квадратичной целевой
функции.
Большинство
эффективных
методов
минимизации
функционала неприменимо.
Метод Нелдера-Мида (метод поиска по деформируемому
многограннику) – надежный и универсальный метод минимизации
функционала при наличии ограничений, если нет дополнительной
информации о свойствах минимизируемого функционала.
Задачи синтеза волноведущих систем, решенные на кафедре
математики физического факультета МГУ.
1. Синтез градиентных диэлектрических волноводов (F –
варьируемый функционал, Ф – стабилизатор).
а) Синтез диэлектрических волноводов с минимальной межмодовой
дисперсией двух первых мод.
V2
F1     1 V {v11gr V    v01gr V  }2 dv   2   ,
V1
gr
gr
где v11
и v01
- групповые скорости двух первых мод, 1 и  2 - весовые
множители.
Задача допускает обобщение на случай минимальной
межмодовой дисперсии для любой другой пары мод или любого
заданного набора мод.
б) Создание диэлектрических волноводов с выровненными групповыми
скоростями двух первых мод на заданной рабочей частоте. Это позволяет
увеличивать поперечные размеры сердцевины волновода при
сохранении минимальной межмодовой дисперсии.
F2    1 v11gr V0    v01gr V0    2   ,
где V - значение волноводного параметра, соответствующего заданной
0
рабочей частоте.
в) Задача разработки волноводов с одинаковыми значениями фазовой
скорости на кратных частотах в двух первых соседних модах.
F3    1 b11  mV    b01 V    2   ,
где b01 и b11 - нормированные постоянные распространения двух
первых мод, m – целое число.
4) Синтез волноводов с максимально плоской дисперсионной
характеристикой на рабочем участке.
Такие волноводы обладают малой фазовой чувствительностью к
случайным колебаниям их толщины, что весьма существенно для систем
и устройств интегральной оптики. Такие волноводы с уплощенной
дисперсионной характеристикой в силу слабой зависимости групповой
скорости от частоты обладают меньшей волноводной дисперсией.
N

F4     b Vi    b Vi 1  
i 1

2
при условии b V0   bˆ
, где Vi - значение нормированной частоты в
заданной точке i спектрального диапазона, b̂- заданная величина,b V  
характеристика исследуемой моды.
5) математическое проектирование диэлектрических волноводов,
обладающих большой полосой одномодового режима.
F5   
1
Vcutoff
 2    ,
где Vcutoff - ближайшая к нулю частота отсечки. Задача важна при
проектировании волоконно-оптических линий связи с частотным
уплотнением каналов информации.
6) Синтез оптического волокна, обладающего дисперсионной
характеристикой в определенном смысле близкой к заданной.
F6   
где b V 
диапазоне
V2
  b V    b V   
2
dv,
V1
- заданная спектральная характеристика на спектральном
V1,V.2 
В качестве ограничивающих функционалов (стабилизаторов) могут быть
использованы следующие функционалы.
Функционал
V2
dV
,

b01 V 
V1
соответствует поиску при условии наиболее высокой дисперсионной
характеристики основной моды.
Функционал
1 
 2  b01 V    b01 V   ,
соответствует прохождению дисперсионной кривой через заданную
точку фазовой плоскости b01 V0  .
Функционал
1
3  {0, b01 V   b01;
b01 V0 
, b01 V   b01}
определяет условие прохождения дисперсионной кривой основной
моды не ниже точки b01 V0  .
Введение ограничивающих функционалов необходимо для устранения
профилей, не имеющих волноводного режима в заданном диапазоне
волноводных параметров.
2. Синтез волноводных переходов, наилучшим образом согласующих
волноводы между собой.
1) Синтез плоских волноводных переходов. Задача заключается в
отыскании формы границы плавного волноводного перехода, наилучшим
образом согласующей два плоских регулярных волновода различного
диаметра, когда передача мощности из первого волновода в заданную
моду второго будет оптимальной. Граница волноводного перехода
моделируется
кубическими
сплайнами,
что
приводит
к
многопараметрической задаче оптимизации относительно набора
параметров, характеризующих границу. В качестве целевой выбрана
функция
n  z  

f  z   1 
 ,
A
0


2
Где n  z  - энергия n- й моды, A0 - энергия основной моды первого
волновода, z – набор параметров границы.
2) Синтез
амплитудной диаграммы направленности плоского
волновода с системой щелей. Ограничение области происходило с
использованием эффективных граничных условий. Прямая задача
состоит в определении матрицы рассеяния диаграммы направленности
излучения такой системы при возбуждении ее m – й нормальной модой
входного волновода.
а) Первая задача: определить расположение щелей, при котором
мощность излучения в открытое пространство в заданном направлении,
определяемом углом
между направлением оси волновода и
0
направлением на заданную точку, была бы максимальной. Требуется
найти набор параметров z  Q , где Q - множество допустимых значений
параметров z, характеризующих положение щелей, обеспечивающих
минимум на Q Тихоновского функционала:
M   z 
1
D 0 , z 
2
   z  ,
где D 0 , z  - значение диаграммы направленности в направлении 0 ,
  z  - стабилизатор (квадрат нормы).
Диаграмма направленности системы щелей рассчитывается по
формуле:
b 2a
I
D  , z   
j 1
j

bj
j
U
exp  ik cos  
y
y d
d ,
где b j - координата левого конца j – ой щели, 2 a j - ширина j - ой щели,
I - общее число щелей, d – ширина волновода, Uy - значение
нормальной производной решения прямой задачи на щелях (ось x
направлена вдоль оси волновода).
Нелокальные эффективные граничные условия:
U  x, y 
j 
i
2
bj 2a j

bj
H 0   k x  z 
1
U
y
y d
dz, j  1, 2,..., I ,
где  j  { y  d ; x  b j , b j  2a j }- система щелей, H 0  x  - функция Ханкеля
1-го рода, к – волновое число, Q  {a j , b j }.
б) Вторая задача: найти расположение щелей, при котором диаграмма
направленности излучения в открытое пространство приближает
заданную диаграмму направленности. Определить z  Q из условия
минимума на Q Тихоновского функционала:
1
M   z   F 0 , z     z  ,
где оценивающий функционал имеет вид
F 0 , z  
1

D  , , z   D  , z  d ,

D  , z 
0
0
0
D- заданная диаграмма направленности, имеющая пик в направлении 0 .
3) Синтез трехмерного волноводного перехода. Задача синтеза
согласующих волноводных переходов между соосными коаксиальными
цилиндрическими волноводами овального сечения с однородным
заполнением, включая переходы типа скруток.
Поиск таких функций D  z  и   z  , при которых обеспечивается
наилучшее согласование волноводов по передаче мощности из входного
волновода в выходной, где D  z  - функция, определяющая величину и
направление большой полуоси овального сечения волноводного
перехода,   z  - отношение длин полуосей сечения перехода. Функции D  z 
и   z  моделируются кубическими слайдами, u  Q , где Q множество
допустимых значений оптимизационных параметров u.
Вариационная постановка: определить u  Q из условия минимума
Тихоновского функционала
A u  

u   1  L
    u  ,
A
0


2
M
где AL u  , A0 - энергия поля на выходе и входе перехода длиной L.
11. Волноводы со сложным заполнением.
Разработанные методы позволяют рассматривать более сложные
волноведущие системы со сложным неоднородным и анизотропным
заполнением,
в
частности,
бианизотропным,
биизотропным,
киральным, фрактальным, а также волноводы на основе фотонных
кристаллов.
Гиротропная (киральная) среда – это среда, локальные
макроскопические свойства которой
неинвариантны относительно
зеркальных отображений. Типичным примерами гиротропных сред
являются ферриты и холодная плазма во внешнем магнитном поле, в
частности, создаваемая лазерным излучением.
Киральные среды были известны с начала XIX столетия. Термин
«киральный» происходит от греческого слова кирос (хирос) – рука. Это
понятие ввел в науку Уильям Томсон. Он определил киральность как
свойство объекта не совпадать со своим зеркальным отображением.
К аналитическим методам расчета киральных волноведущих систем
можно отнести метод векторных цепей и метод диадных функций
Грина.
Эффективными численными методами являются МКР, МКЭ,
проекционные методы.
Бианизотропные среды – это наиболее общий тип линейной среды.
Основное их отличие от диэлектрических и магнитных сред - эффект магнитоэлектрической связи:
D  E  H
(1)
B  E  H
Киральная среда как частный случай:
D  E  iH
B  iE  H
(2)
где  - параметр киральности, или
D   E  iB
H  iE   1B
(3)
где   и  – это величины, совпадающие с диэлектрической и магнитной
проницаемостью соответственно при
- киральный
  ,0 , где
адмитанс среды.
Задача дифракции электромагнитной волны в киральном
плоскопараллельном волноводе
Рассмотрим плоскопараллельный волновод с частичным прямоугольным
киральным заполнением:
Киральная вставка имеет форму
параллелепипеда, заполняющего
волновод по оси z от 0 до z0
и по оси x от 0 до a.
x
a
волны
 0 , 0
0
 0 , 0
 , , 
z0
z
Параметры вставки:
 - диэлектрическая проницаемость
 - магнитная проницаемость
 - параметр киральности
Материал заполнения волновода в области вне вставки
характеризуется материальными параметрами  0 и 0 .
Обобщенная постановка задачи
Учитываем, что падающие волны имеют частоты  . Используя материальные
уравнения киральной среды, можно записать уравнения Максвелла в виде:
rotH  -i   E - i  H  ,
rotE  i   Η  i  E  .
Для электрического поля внутри вставки получаем двумерную задачу:


2 
2
rot rotE   rot E 
rotE     
 E  0,






1
x   0, a  , z   0, z0  ,
E, ex  x0,a  0
E, ez  z 0  Eext , e z  z 0 ,
где
E, e z  z  z
0
 Eext , e z 

E
ext
 E   Rne Een ,  Rnm Enm, , при z  0,
ins
n 1

E
ext
  Tne Een,  TnmEnm, , при z  z0 .
n 1
z  z0
,
Нормальные волны волновода в области вне вставки имеют вид:
Een,  i n e
 i n z
Emn,  i0e i n z
n 2
a
  nx 
 i n z   n 
cos 

e

e
 x


a
 a 
 a 
2
2
  nx 
sin 
  ez ,
a
 a 
n 2
a
  nx 
sin 
 ey.
a
 a 
Постоянные распространения определяются равенствами
n 
 n    0 0   
 a 
2
2
Обозначим  область киральной вставки в волноводе:
   x, z  : x   0, a  , z   0, z0 .
Обобщенная постановка рассматриваемой задачи: нужно найти вектор
E  H  rot,  , удовлетворяющий для любого вектора
E , e x 
0
x 0, a
равенству :
E  H  rot, ,






1
 E y E y E y E y Ex Ex Ez Ez Ex Ez Ez Ex 







0 0   z z x x z z x x z x x z  dxdz 



a z0
E y
E y 
E y 
 Ex Ez 
Ez 
  E y

  E x

   
Ex  

E

E

E

E


E
 dxdz 
 y

z
x
y 
z


z

z

x

x

z

z

x

x






0 0


a z0
a

2ik02  1
2  
 nx a
 nx

      E Edxdz 
E
x
,
0
cos
dx
E
x
,
0
cos
dx 





x
x




a

a
a
n 1 n 0

0
0 0
0
a
2ik02  1
 nx a
 nx


E
x
,
z
cos
dx
E
x
,
z
cos
dx 





x
0
x
0


0 a n 1  n 0
a
a
0
a z0
2
2i 
 nx
 nx

 n  E y  x, z0  sin
dx  E y  x, z0  sin
dx 

0 a n 1 0
a
a
0
a
a
2i 
 nx
 nx



E
x
,
0
sin
dx
E
x
,
0
sin
dx 





0 y
0 a n 1 n 0 y
a
a
a
a

E yins
 Exins Ezins 
1 
 


   Ex  x,0   

dx

E
x
,0
dx




y

0  0
x  z 0
z z 0 
 z
0

a
a
2ik02  1
 nx
 nx

ins

E
x
,
0
cos
dx
E
x
,
0
cos
dx 





0 x
0 a n 1  n 0 x
a
a
a
2i 
 nx a ins
 nx



E
x
,
0
sin
dx
E
x
,
0
sin
dx.





0 y
0 a n 1 n 0 y
a
a
a
a
Смешанные конечные элементы
Введем в области волновода в плоскости Oxz прямоугольную сетку.
Пусть (i,j) – некоторый узел этой сетки.
(i-1,j+1)
(i-1,j)
(i-1,j-1)
(i,j+1)
(i,j)
(i,j-1)
(i+1,j+1)
(i+1,j)
(i+1,j-1)
Введем функции вида:
 i 1  
    ,   i , i 1 
i 1
i 1

   i 1
N i    
,   i 1 , i  ,
 i 1  i 1
0,    , i 1  i 1 ,  



1,   i , i 1 
Pi ,i 1    
0,    , i 1  i 1 ,  
Получение системы линейных алгебраических уравнений
Приближенное решение задачи (6) будем искать в виде:
I J 1
Ex    Exi , j N i  z  Pj , j 1  x  ,
i 1 j 1
I J 1
E y    E yi , j N i  z  N j  x  ,
i 1 j  2
I 1 J 1
Ez    Ezi , j Pi ,i 1  z  N j  x  .
i 1 j  2
где, Exi , j , E yi , j , Ezi , j - неизвестные коэффициенты в узлах.
Тогда система уравнений для поиска коэффициентов может быть записана в
матричном виде:
Aφ=F
где


φ=  Exi ,1  ,  Exi ,2  ,...  Exi , J 1  ,  E yi ,1  ,...  E yi , J 1  ,  Ezi ,1  ,...  Ezi , J 1 
F – столбец правых частей.
T
,
Результаты численного моделирования
Компоненты электрического поля внутри киральной вставки: параметр киральности
  0.8,     1 , падающая волна – основного ТЕ типа.
Компоненты электрического поля внутри киральной вставки: параметр киральности
  0.8,     1 , падающая волна – основного ТМ типа.
Компоненты поля внутри вставки в случае   1.1 , падающая волна – основного ТЕ типа.
Компоненты поля внутри вставки в случае   1.1 , падающая волна – основного ТМ типа.
12. Теоретические исследования волноведущих систем.
1) Исследования, посвященные изучению свойств волн регулярных
волноводов в достаточно общей постановке:
а) П.Е.Краснушкин . Взаимодействие модулированных нормальных
волн // ДАН СССР. 1978. Т.239, №4, с. 815-818.
в) П.Е.Краснушкин, Е.К. Федоров. О кратности волновых чисел
нормальных волн в слоистых средах // Радиотехника и электроника.
1972. Т.17, №6. с. 1129-1140.
с) А.С.Ильинский, Ю.В.Шестопалов. Применение метода спектральной
теории в задачах распространения волн . М.: Изд-во Моск. ун-та,1989.
Метод нормальных волн приводит к исследованию
нелинейных несамосопряженных спектральных задач для
систем уравнений в частных производных на основе их
сведения к операторным уравнениям с нелинейным
вхождением параметра.
В стандартном подходе к исследованию задачи о модах регулярного
волновода со сложным диэлектрическим заполнением возникают
значительные трудности при решении проблемы полноты системы
корневых векторов волновода. В работе: А.Н.Боголюбов, А.Л.Делицын,
А.Г.Свешников «О корневых векторах волновода со сложным
заполнением» ( Вестник Моск. Ун-та. Сер. 3. Физика. Астрономия. 1986.
№6. с.48-50) предложен подход, позволяющий рассматривать
обобщенную задачу на собственные значения с линейным вхождением
спектрального параметра.
Введем декартову систему координат, ось Z которой направим вдоль
оси волновода. Будем считать, что диэлектрическая проницаемость  ( x, y)
- произвольная кусочно-непрерывна функция,   1
. Для простоты
считаем, что сечение волновода D - прямоугольник.
Поле в волноводе описывается системой уравнений Максвелла:
rotE  ikH , rotH  ikE , divH  0, div E  0.
Для постановки задачи возьмем те шесть из уравнений Максвелла, в
которые входят производные по Z. Оставшиеся два уравнения будем
рассматривать в качестве дополнительных дифференциальных
условий, выделяющих функциональное пространство, в котором
производится поиск решения.
Будем искать решения уравнения Максвелла вида
n
nk
i z
z
Y 
e Yk ,
k 1 ( n  k )!
Y  ( H x , H y , Ez )T или Y  ( Dx , Dy , H z )T , D   E. .
где
Запишем систему уравнений в виде:
A2
a1 A1  d1
,
z
( x, y )  D,
A1
a2 A2  d 2
,
z
z  (, ),
где

0 ik



a1    ik 0

 




y
 x


d1   0
 0

1`
 

x 
 
,
y 

0 

0
 1
0
0

0 ,
1 

A1  ( H x , H y , Ez )T ,

0 ik



a2    ik 0

 




y
 x
 

x 
 
,
y 

0 

1 0 0 


d2   0 1 0  ,
0 0  


A2  ( Dx , Dy , H z )T .
Здесь ( x, y )  D и векторы A1 и A2 удовлетворяют граничным условиям и
условиям сопряжения. В качестве решения пока рассматривается
классическое решение.
Задача (а)-(в) эквивалентна задаче для квадратичного операторного
пучка, в качестве спектрального параметра которого выступает
постоянная распространения  :
M (  )  a2 d11a1   2 d 2 .
M ( )
Теорема 1. Корневые векторы квадратичного
пучка
и
2
линейного операторного пучка M (  ) , в качестве
спектрального
параметра которого выступает  2 ,
связаны линейными
соотношениями.
В дальнейшем будем
операторного пучка.
рассматривать
задачу
для
линейного
Особенностью задачи является наличие бесконечномерного ядра
вида
T
  

 
,
, ik  ,
x
 y

где   W2 .
Корневые векторы, отвечающие ненулевому
 , удовлетворяют
одному из не использованных нами уравнений Максвелла:
1
H y
x

H x
 ik Ez  0.
y
Рассмотрим задачу на собственные значения:
a2 d11a1 A1i   2 d 2 A1i ,
a2 d11a1 A1i1   2 d 2 A1i1  d 2 A1i .
Дополним уравнения граничными условиями на идеально проводящей
стенке D и условиями сопряжения на линиях разрыва диэлектрической
проницаемости C :
 Hn 

 Hn  


 Dn  

 0,
D
D
 0,
 0,
 Ez 
C
 0,
 0,
Hz 
C
 0,
C
C
Ez
где n - вектор нормали к D. После сокращения на множители,
зависящие от координаты Z, приходим к системе уравнений для
корневых векторов:
a1 A1i  i  d1 A2i ,
a1 A1i1  i  d1 A2i1  d1 A2i ,
a2 A2i  i  d 2 A1i ,
a2 A2i1  i  d 2 A1i1  d 2 A1i ,
Для вектора A1поставим граничные условия, условия сопряжения и
условия сопряжения, следующие из условий:
H y 
 H x




x

y


  Ez
 
 ikH x  nx 
 
 
  y
C
 0,
  Ez
 
 ikH y  ny 
C   
 
  x
Введем векторное пространство
C
 0.
V:

V   H x  W21 , H y  W21 , Ez  W21 ,  Hn 

H y

H x

 ik  Ez  0  .
D  0,
x
y

Построим билинейные формы над
V:


a( A, A)   divt Ht divt Ht  gradEz gradEz  (0  k 2 ) Ht Ht  0 Ez Ez dS ,
D

E z
  Ez
Ez
Ez  

b( A, A)    ik  H x
 Hy
 Hx
 Hy
 dS ,

y
x
y
x  

D

   H H dS .
c A, A 
t

t
D
Рассмотрим спектральную задачу
a( A, A)  b( A, A)  (0   2 )c( A, A),
A V
Для собственных функций и аналогичное уравнение для
присоединенных функций . В качестве спектрального параметра будем
рассматривать   0   2, где   k 2 max 
.
0
( x , y )D
Рассматриваемая задача эквивалентна задаче
( I  T ) A   HA,
где операторы T и H определяются по теореме Рисса. В
V
качестве скалярного произведения в пространстве
рассматривается a ( A, A) . Операторы T и H отображают
V на V, компактны. Оператор H - самосопряженный.
Оператор 𝑯 также – полный оператор
конечного порядка,

p

p

n  
то есть существует такое, что
.
n 1
Эти утверждения позволяют применитьк операторному пучку теорему
Келдыша о полноте корневых векторов операторного пучка , откуда следует
Теорема
2.
Система
корневых
векторов
рассматриваемой задачи полна в пространстве V .
2) Исследование волноведущих систем со сложным заполнением.
Рассмотрим задачу возбуждения в достаточно общей постановке.
Пусть область  состоит из конечного числа подобластей:
q
   i ,
i 0
причем все из них, кроме быть может, подобласти
и общая для подобластей
i
и  j граница
0 ,
 ij
 в случае q=2;
б) второй случай: бесконечная область  в случае q=2.
бесконечная подобласть области .
конечны,
регулярна и ограничена.
а) Первый случай: конечная область
Здесь
0
–
Пусть подобласти
i
имеют однородные киральные заполнения с
параметрами:
   i ,   i ,    i ,    i в i ;  i  0, i  0,  i  0,  i  0; i  0,1,..., q,
причем  0  0 и
 0  0, если подобласть
 0 неограниченна.
Если в области  имеются сторонние токи плотности j, то начальнокраевая задача имеет вид:
     Et  i Ht  rot H  E   j в
2
 i
E
H

 rot E  0 в   0, T ,
t
t
E,n  0
на 
E t 0  E0 , H t 0  H 0 в 
  0, T ,
Обобщенная постановка задачи ставится следующим образом.
Необходимо найти функцию
u  L 0, T ; D A,
u  E, H,
удовлетворяющую равенству
 

 
 

2









E

i

H
,


H

i

E
,

u
,
A
Φ

M
u
,
Φ



K
K dt 
0  
t  
t 


T
T



   j,   dt     2  E0  iH 0 ,  t 0
  H

0
 iE0 ,

t 0 
,
0
u0  E0 , H 0  D A,
при любой функции Φ   , , такой что Φ  L2 0, T ; D A,
и обращающейся в нуль при t=T, если
j  L2  0, T  ; K  .
Φ
 L2 0, T ; D A,
t
Здесь использованы следующие обозначения:
3
f , g     f i gi dx
i 1 
К – гильбертово пространство:
K  L2    L2    L2   .
6
Φ, Φ K   ,    ,   ,
где
3
3
Φ   , , Φ   ,  
Линейные операторы A и M:
 Au, ΦK
 rot H,    rot E, 
Mu, ΦK  E,  
Область определения D(A) оператора A:

 



D A      ,  L2    L2   , rot   L2   ,


3

rot   L2   , n,     0
3
3
3
Имеет место следующая теорема:
Теорема. Пусть граница Г области
j  L2 0, T ; .
 регулярна и ограничена, а
Тогда обобщенное решение начально- краевой задачи
существует и единственно.