Р(А)

Вероятность и
комбинаторика
Тема:
Комбинаторные задачи.
Перестановки.
Правило умножения.
Мы говорим: «это возможно», «это не возможно», «это
обязательно случиться», «это маловероятно»…
Такие выражения обычно употребляют, когда говорят о
возможности наступления события, которое в одних и тех же
условиях может произойти, а может и не произойти.
Случай , случайность – с ними мы встречаемся повседневно:
случайная встреча, случайная поломка, случайная ошибка. Казалось
бы, тут нет места для математики – какие уж законы в царстве
Случая! Но и здесь наука обнаружила интересные закономерности
– они позволяют человеку уверенно чувствовать себя при встрече
со случайными событиями.
Слово «событие» в быту применяют к
значительным явлениям ( день рождение,
экзамен, свадьба) , а в математике – ко всем
возможным исходам рассматриваемой ситуации,
например при бросание игральной кости
событие- это выпадение той или иной грани.
Комбинаторика
– раздел
математики, в котором изучается подсчёт
числа различных комбинаций, соединений,
сочетаний, перестановок различных
элементов множества.
Наверное, ты знаешь фильм "Кин-дза-дза".
Наверное,
ты
знаешь
"Кин-дза-дза".
А если бы
алфавит
уфильм
них состоял
из двухдля
букв
Жители
планеты
Кин-дза-дза
обходились
Жители
Кин-дза-дза
обходились
К и У,случаев
топланеты
сколько
слов
было
бы у них вдля
всех
одним
словом
"ку".
всех случаев одним словом "ку".
словаре, при условии, что буквы в слове
А если бы алфавит у них состоял из двух букв
повторяться,
ибыло
слова
состоят
Амогут
алфавитслов
у них
состоял
из
двухвтолько
букв
К
иесли
У, тобы
сколько
бы
у них
Кизи У,
то сколько
слов было
бы у них
в
двух
букв?
словаре,
при условии,
что буквы
в слове
словаре,
при условии,
что буквы
в слове
могут
повторяться,
и слова
состоят
только
могут
повторяться,
и слова состоят только
из
двух
букв?
из двух букв?
Решение:
Решение:
Можно составить слова: "Ку ", " Кк ", " Уу " и "Ук".
Решение:
Можно составить слова: "Ку ", " Кк ", " Уу " и "Ук".
Можно составить слова: "Ку ", " Кк ", " Уу " и "Ук".
На
после
чего
на на
второе
место
Напервое
первоеместо
местобукву
буквуможно
можновыбрать
выбратьдвумя
двумяспособами,
способами,
после
чего
второе
место
первое
место
букву можно
выбрать
способами,
после
чего на второе
–Натоже
двумя
способами.
Значит
всего двумя
таких слов
по правилу
умножения
будет место
тожедвумя
двумяспособами.
способами.Значит
Значитвсего
всеготаких
такихслов
словпопо
правилу
умножения
будет
–– тоже
правилу
умножения
будет
2*2=4
22* *22==44
букв. Какое наибольшее количество слов
может
быть в словаре жителей этой
Образец
решения:
жителей планеты АХО в алфавите три
У жителей планеты
АХО в алфавите три
планеты?
квы: А, О, Х. Слова
в языке состоят из трех
буквы: А, О, Х.Попробуй
Слова в языке
состоят из
решить
этутрех
задачу.
кв. Какое наибольшее
количество
слов
букв. Какое наибольшее количество слов
жет быть в словаре жителей этой
может быть в словаре жителей этой
анеты?
планеты?
пробуй
решить эту задачу.
Попробуй
решить эту
задачу.
Образец
решения:
"Аох", "Ахо",
"Оах", "Оха", "Хао", "Хоа"
решения:"Аох", "Ахо",
бразец решения:
"Оах", "Оха",
Ахо",
ох", "Ахо",
Оха",
"Хао", "Хоа"
ах", "Оха", "Хао", "Хоа"
"Хао", "Хоа"
На первое место букву можно выбрать тремя способами, после чего на второе место
– двумя
способами,
на третье
местовыбрать
– одним способом.
Значит всего таких
словчего
по на в
На
первое
место букву
можно
тремя способами,
после
– двумя
способами,
наспособами,
третье место
– одним
Значит всего так
о букву
можно выбрать
тремя
после
чего наспособом.
второе место
правилу
умножения
будет
3
*
2
*
1
=
6
ами,
на букву
третье
место
– одним
способом.
всего
таких
правилу
умножения
будет
* 2на* второе
1 = 6 слов
ое
место
можно
выбрать
тремя
способами,Значит
после 3чего
место по
ния
будет на третье место
3 *–2одним
* 1 = способом.
6
способами,
Значит всего таких слов по
В алфавите племени УАУА имеются всего две
буквы – «а» и «у». Сколько различных слов по
три буквы в каждом можно составить, используя
алфавит этого племени?
а
Первая буква
Вторая буква
Третья
буква
а
а
у
у
у а
а
у
а
у
у а
у
Ааа Аау Ауа Ауу Уаа Уау Ууа Ууу
ФЛАГ
РОССИИ
ДЕРЕВО ВАРИАНТОВ
КРАСНЫЙ
Б
С
БЕЛЫЙ
С
К
Что означает каждый цвет?
Значение цветов флага России: белый цвет означает мир, чистоту,
непорочность, совершенство; синий - цвет веры и верности,
постоянства; красный цвет символизирует энергию, силу, кровь,
пролитую за Отечество.
СИНИЙ
Б
К
Флаги стран Европы, где встречаются три цвета:
белый, синий, красный.
НИДЕРЛАНДЫ
ФРАНЦИЯ
ЮГОСЛАВИЯ
ТАБЛИЦА ВАРИАНТОВ
КБС
КСБ
БСК
БКС
СБК
СКБ
Разберем на примере цветных полосок:
Возьмем белую полоску
-её можно переставить 3 раза,
возьмем синюю полоску
-её можно переставить только 2 раза, т.к.
одно из мест уже занято белой,
возьмем красную полоску
-ее можно положить только 1 раз.
ИТОГО:
3*2*1=6
ОСНОВНОЕ
ПРАВИЛО:
Правило умножения: если
первый элемент в
комбинации можно выбрать
а способами, после чего
второй элемент – b
способами, то общее число
комбинаций будет равно
а*b
Правило умножения
Для того, чтобы найти число всех возможных
исходов независимого произведения двух
испытаний А и В, следует перемножить число
всех исходов испытания А и число всех
исходов испытания В.
Сколько двузначных чисел можно составить,
используя цифры 1, 4 и 7?
4
7
1 4
7
1
4
7
7
4
7
Первая
Задача: сколько двузначных чисел можно составить,
1
4
используя
цифры
1,4
и
7?
цифра
1

1
Дерево возможных вариантов
Двузначное число
Перваяцифра
Вторая
цифра
Вторая
цифра
Полученное
число
1
11
4
4
7
11, 14, 17
7
14 4
11 14
41 44
71 74
1
4
41, 44, 47
7
1
7
7
17
47
77
1
4
4
7
7
71, 74, 77
На первое место цифру можно выбрать тремя способами, после чего на
второе место – тоже тремя способами. Значит всего таких чисел по правилу
умножения будет 3 * 3 = 9
Из четырёх тузов поочерёдно
выбирают двух. Нарисуйте дерево
возможных вариантов.
Сколько всего вариантов?
2∙4=8 различных обедов:
борщ, пельмени;
борщ, котлеты;
борщ, гуляш;
борщ, рыба;
лапша, пельмени;
лапша, котлеты;
лапша, гуляш;
лапша, рыба.
Квартет
Иван Андреевич
Крылов
02.02.1769 г - 09.11.1844 г
русский писатель, баснописец,
журналист.
Проказница-Мартышка, Осёл,Козёл
Да косолапый Мишка
Затеяли сыграть Квартет.
Достали нот, баса, альта, две скрипки
И сели на лужок под липки, —
Пленять своим искусством свет.
Ударили в смычки, дерут, а толку нет.
«Стой, братцы, стой! — кричит Мартышка. —
Погодите!
Как музыке идти? Ведь вы не так сидите.
Ты с басом, Мишенька, садись против альта,
Я, прямо, сяду против фторы;
Тогда пойдет уж музыка не та:
У нас запляшут лес и горы!»
Расселись, начали Квартет;
Он все-таки на лад нейдёт.
«Постойте ж, я сыскал секрет? —Кричит Осёл,
— мы, верно, уж поладим, коль рядом сядем».
Послушались Осла: уселись чинно в ряд;
А все-таки Квартет нейдёт на лад.
Вот пуще прежнего пошли у них разборы
И споры, кому и как сидеть.
Случилось Соловью на шум их прилететь.
Тут с просьбой все к нему, чтоб их решить сомненье.
«Пожалуй, — говорят, — возьми на час терпенье,
Чтобы Квартет в порядок наш привесть:
И ноты есть у нас, и инструменты есть,
Скажи лишь, как нам сесть!» —
«Чтоб музыкантом быть, так надобно уменье
И уши ваших понежней, — Им отвечает Соловей, —
А вы, друзья, как ни садитесь;
Всё в музыканты не годитесь».
Давайте рассуждать:
Мишка может сесть на одно из 4 мест,
Козел может сесть на одно из 3 мест,
Осел может сесть на одно из 2 мест,
Мартышка может сесть на оставшееся 1 место.
ИТОГО:
4 * 3 * 2 * 1 = 24 варианта
Р1 =1
Р2 = Р1 ·2=1 · 2
Р3 = Р2 · 3=2 · 3=6
Р4= Р3 · 4=1 · 2 · 3 · 4=24
Рn =1·2·3·4·… · n=n!
Произведение
подряд идущих
первых n натуральных чисел
обозначают n! («эн факториал»-с
англ. «состоящий из n множителей»):
 n!=1·2·3·…· (n-2) (n-1)n
 0!=1(так решили считать)
 2!=1·2=2
 3!=1·2·3=6
 4!=1·2·3·4=24
 5!=1·2·3·4·5=120
 а)
Вычислите:
7!;
 б) 8!;
 в) 6!-5!;
 г) 5!/5;
 д) 10!/5!;
 е) 11!/5!·6!;
 ж) 12!/7!·3!·4!
Выбор нескольких
элементов.
Сочетания и размещения.
 Число
всех выборок k элементов из
n данных без учёта их порядка
обозначают
и называют числом
сочетаний из n элементов по k.
Например:
 Теорема
 Для
числа сочетаний из n
элементов по k справедлива
формула:

Число всех выборок k элементов из
n данных с учётом их порядка
обозначают
и называют числом
размещений из n элементов по k.
Например:
Вас
пригласили
на
конкурс
с
8
участниками. Одновременно проводиться
викторина: нужно угадать, кто займет
1,2,3 место.
Сколько всего существует вариантов?
Объектов n=8; отобрать нужно m=3
Найти
?
У нас есть 9 разных книг из серии «Занимательная
математика». Сколькими способами можно:
А) Расставить их на полке?
Б)Подарить
три
из
них
победителям
школьной
олимпиады, занявшим первые три места?
Решение:
Треугольник Паскаля
Закономерность:
Каждое число в треугольнике Паскаля равно
сумме двух чисел, стоящих над ним в
предыдущей строке
( 5=1+4; 10=4+6;6=3+3 и т. д.)
Случайные события и
их вероятности.
События обозначаются большими латинским
буквами А,В,С.
Вероятность произвольного события (Х) будем
обозначать через Р(Х).
События,
которые
при
данных
условиях
обязательно происходят, называют достоверными
( смена дня и ночи).
События, которые при данных условиях не могут
произойти, называют невозможными.
События, которые при данных условиях иногда
происходят, а иногда не происходят, называются
возможными или случайными.
События, возможности
наступления которых
одинаковы называются равновозможными или
равновероятными ( подкидывание монеты)
черепаха научиться говорит;
вода в чайнике, стоящим на горячей плите
закипит;
3. ваш день рождения –19 октября;
4. день рождение вашего друга –30 февраля;
5. вы выиграете участвуя в лотереи;
6. вы не выигрываете, участвуя в
беспроигрышной лотереи;
7. вы проиграете партию в шахматы;
8. на следующей недели испортиться погода;
9. вы нажали на звонок , а он не зазвонил;
10. после четверга будет пятница;
11. после пятницы будет воскресенье.
1.
2.
Для каждого из перечисленных событий определим, какое оно:
СОБЫТИЕ
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10
ДОСТОВЕРНОЕ
ВОЗМОЖНОЕ
НЕВОЗМОЖНОЕ
1. Летом будут каникулы.
2. 1 июля в Норильске будет солнечно.
3. Сегодня не будет последнего урока.
4. На 3 курсе не будем изучать математику.
5. Зимой выпадает снег.
6. При
включении
света,
лампочка
перегорит.
7. выходите на улицу , а на встречу вам
идет слон.
8–10 придумайте
события, чтобы
они
соответствовали
знакам в таблице.
Примеры комбинаторных задач
и общие принципы
комбинаторики
ВПЕРВЫЕ ВЕРОЯТНОСТЬ
СЛУЧАЙНЫХ СОБЫТИЙ
в играх вычислили в XVII в.
французские математики Блез
Паскаль и Пьер Ферма.
Они подсчитали число шансов
события из общего возможного числа
равновероятных исходов.
Паскаль Блез (1623-1662),
Ферма Пьер (1601-1665),
Французский математик ,
физик, философ и писатель;
автор трудов по арифметике,
алгебре, теории чисел, теории
вероятности, получил одну из
основных теорем
проективной геометрии.
Французский математик ,
один из крупнейших
математиков XVII в.;
занимался теорией чисел,
геометрией, алгеброй,
математическим анализом,
теорией вероятности; был
основателем аналитической
геометрии.
Задание. Найти вероятность того, что при одном
бросании игрального кубика выпадет чётное число очков.
Общее число исходов (n)
Шанс (m) – это интересующий наш исход
А-выпадение четного числа очков т.е.2,4,6
n=6
m=3
Р(А)=
3 1

6 2
т.е.
ЧИСЛО __ ШАНСОВ __ СОБЫТИЯ __ А m
Р(А)= ОБЩЕЕ ___ ЧИСЛО ___ ИСХОДОВ  n
КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ
Xорошо перетусуем колоду
случайно вынем 1 карту.
Событие А(вытянута карта
червонной масти)
Событие В (вытянут туз)
m=9, n=36
m=4, n=36
Р(А)= 9  1 ;
36 4
Р(В)=
4 1

36 9
карт
На экзамене - 24 билета. Андрей не
разобрался в одном билете и очень
боится
его
вытянуть.
Какова
вероятность, что Андрею достанется
несчастный билет?
А- достанется несчастливый билет
n=24;
1
m =1, тогда Р(А)=
24
В лотереи 10 выигрышных билетов и 240
билетов
без
выигрыша.
Какова
вероятность выиграть в эту лотерею, купив
один билет?
А- выиграть
Исходов всего 240+10=250;
10
1

Шансы=10; Р(А)=
250 25
В лотереи 100 билетов, из них 5
выигрышных. Какова вероятность
проигрыша?
А- проиграть:
Исходов - 100;
Шанс =100-5=95,
тогда Р(А)= 95  19
100 20
В ящике лежат 8 красных,2 синих, 20 зеленых
карандашей. Вы наугад вынимаете карандаш. Какова
вероятность того, что это красный карандаш?
желтый карандаш? Не зеленый карандаш?
А-вытянут красный карандаш:
Исходов 20+8+2=30;
8
4

Шансов 8;Р(А)=
30 15
В- желтый карандаш:
Исходов 30; Шансов 0;
Р(В)=0
С- не зеленый карандаш:
Шансов 30;
Исходов 30-20=10;
Р(С)=
10 1

30 3
Определение 1
Событие В называют
А, если событие В
происходит тогда и только
тогда, когда не происходит
событие А, и обозначают:
Теорема 1.
Вероятность
противоположного
события А вычисляется
по формуле:

Определение 2
События А и В называют
, если они
не могут происходить
одновременно.
Теорема 2.
Вероятность наступления хотя
бы одного из двух
несовместных событий равна
сумме их вероятностей.
