Решение - Школа №12

Теория вероятностей
Задача B10
Проверяемые требования (умения)
Уметь строить и исследовать простейшие математические модели
Коды проверяемых требований
(умений) (по КТ)
5.4 (отсутствует)
Раздел 5: Уметь строить и исследовать простейшие математические
модели
Коды проверяемых элементов
содержания (по КЭС)
6.3 Элементы теории вероятностей
6.3.1 Вероятности событий
6.3.2 Примеры использования вероятностей и статистики при
решении прикладных задач
Уровень сложности задания
Базовый
Макс. балл за выполнение задания
1
Примерное время выполнения
задания, учащимся, изучавшим
математику на базовом уровне
10
Примерное время выполнения
задания, учащимся, изучавшим
математику на профильном уровне
3
Назначение теории вероятностей
• Теория вероятностей — раздел математики,
изучающий понятия случайного события,
вероятности случайного события и
независимости случайных событий.
• Теория вероятностей — прикладной раздел
математики, в котором строятся и
исследуются математические модели
реальности.
Вероятностные модели
• Дискретная вероятностная модель испытания
(другое название: вероятностное пространство) —
это конечная совокупность элементарных событий
(исходов) испытания: a1, a2,…, an вместе с вероятностями
исходов: p1, p2,…, pn . Здесь pi — это вероятность исхода
ai. Модель обозначается <A, P>.
• a1, a2,…, an — это только обозначения возможных
исходов события, A={a1, a2,…, an } — всех множество
возможных исходов.
• p1, p2,…, pn — некоторые числа, удовлетворяющие
условиям: 0≤pi≤1 (для всех i=1,…n) и p1+…+pn=1.
• Модель называется равновероятностной, если
p1=…=pn=1/n.
Пример вероятностной модели (1)
• Испытание (случайный эксперимент): подбрасывается
идеально симметричная монета (ни одна сторона не
перевешивает другую). Как результат испытания
отмечается выпавшая сторона: «орел» или «решка».
(Здесь «решка» — сторона, противоположная гербу —
«орлу», на современных монетах — «цифра»).
• Модель: два исхода, которые обозначим числами «0» —
орел и «1» — решка. Можно было выбрать любые
обозначения.
• Вероятности p0 = p1 = 0,5.
Пример вероятностной модели (2)
• Испытание: подбрасывается идеально симметричная
кость в форме кубика (ни одна сторона не
перевешивает другую). Как результат испытания
отмечается число, выпавшее на верхней стороне: от
«1» до «6».
• Модель: шесть исходов, которые обозначим числами
«1», «2», «3», «4», «5», «6». Можно было выбрать
любые другие обозначения для исходов.
• Вероятности p1 = p2 = p3 = p4= p5 = p6=1/6.
Случайные события в вероятностной модели
• Понятие случайного события шире понятия элементарного
исхода и включает в себя несколько возможных исходов.
• Определение. Любое подмножество S множества всех
элементарных исходов A называется случайным
событием (или просто событием): S — подмножество A.
Элементы множества S называются благоприятными
исходами события S.
• Вероятность события S по определению полагается
равной сумме вероятностей всех исходов, составляющих
событие S. Если S={ai1, ai2,…aik}, то P(S)=PS=pi1 + pi2 +…+ pik.
Примеры случайных событий в вероятностной
модели бросания кости
• Событие S: «в результате бросания кости выпало четное
число очков». S = {2, 4, 6}.
• Событие T: «выпало по крайней мере 3 очка», T = {3, 4, 5,
6}.
• Вероятность события S легко вычисляется
PS=p2 + p4 + p6 = 3/6 = 0.5.
• Аналогично P(T) = PT = 4/6 = 2/3.
• Теорема. В равновероятностной модели вероятность
любого события S равна отношению числа благоприятных
исходов события S (k) к числу всех возможных исходов
испытания (n): PS = k/n.
Вероятностная модель повторных испытаний
•
•
•
•
•
•
•
Пусть совокупность элементарных событий: a1, a2,…, an вместе с их
вероятностями p1, p2,…, pn выбрана в качестве математической модели
испытания некоторого случайного события (эксперимента).
Осуществляется новый эксперимент: производятся два независимых
испытания исходного эксперимента. Необходимо построить математическую
модель нового эксперимента (модель двукратных «повторных испытаний»).
В качестве исходов повторного испытания возьмем пары (ai1, ai2), где ai1 —
исход первого испытания, а ai2 — исход второго испытания.
Вероятность пары (ai1, ai2) полагают равной произведению вероятностей pi1pi2.
Легко проверить, что заданные исходы вместе с так определенной
вероятностью задают вероятностное пространство.
Аналогично поступают в случае схемы многократных повторных испытаний.
Исходами m-кратного испытания будут кортежи ai1ai2…ain, а их вероятностями
— произведения pi1pi2…pin.
Легко видеть, что если одиночное испытание случайного события
математически описывается равновероятностным пространством, то
вероятность любого исхода m-кратного испытания исходного события будет
равна pm, где p — вероятность любого исхода одиночного испытания.
Пример вероятностной модели повторных испытаний
Симметричная монета подбрасывается 3 раза. Построить вероятностную
модель этого 3-х кратного испытания.
• Элементарных событий (исходов) будет 23 = 8.
Элементарные исходы 3-х кратного испытания
000
010
100
110
001
011
101
111
• Вероятность каждого исхода 3-х кратного испытания равна 0.53 = 0.125
Формулы элементарной теории вероятностей
• Пусть <A, P> — произвольное вероятностное пространство.
• Легко видеть, что PØ = 0 и PA = 1. Событие A называется
достоверным, Ø — невозможны.
• Событие Ā, являющееся дополнением к A, называется также
противоположным событием. Справедливы формулы:
PĀ = 1-PA, PA + PĀ = 1.
• Для объединения и пересечения событий A и B имеет место
формула: P(A+B) = PA + PB – P(AB),
Здесь A+B — это объединение множеств A и B, а AB —
пересечение множеств A, B.
I. Задачи, решаемые прямым подсчетом вероятности. 1
Задача 1. Маша, Алла и Костя бросили жребий — кому начинать игру.
а) Какова вероятность того, что игру должен будет начать Костя?
б) Какова вероятность, что игру начнет девочка?
Решение. Модель задается таблицей вероятностей:
Возможные
исходы
«Маша»
«Алла»
«Костя»
Вероятности
1/3
1/3
1/3
Ответ: а) 1/3, б) 2/3.
I. Задачи, решаемые прямым подсчетом вероятности. 2
Задача 2. В сборнике билетов по биологии всего 55 билетов, в 11 из них
встречается вопрос по ботанике. Найдите вероятность того, что в случайно
выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по ботанике.
Решение.
Математическая модель выбора билета состоит из 55 исходов, каждый из
которых соответствует выбору одного из билетов. Событие «выбран
билет по биологии» реализуется 11-ю исходами.
Ответ: p=11/55=0,2.
I. Задачи, решаемые прямым подсчетом вероятности. 3
Задача 3. В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7
из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки,
определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка,
выступающая первой, окажется из Китая.
Решение. Вначале найдем число спортсменок из Китая: 20-8-7=5.
Математическая модель жеребьевки состоит из 20 исходов, каждый из
которых соответствует выбору одной из спортсменок в качестве первой
выступающей. Событие «выбрана гимнастка из Китая» реализуется 5-ю
элементарными событиями.
Ответ: p=5/20=0,25.
I. Задачи, решаемые прямым подсчетом вероятности. 4
Задача 4. На чемпионате по прыжкам в воду выступают 25 спортсменов, среди
них 8 прыгунов из России и 9 прыгунов из Парагвая. Порядок выступлений
определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что шестым будет
выступать прыгун из Парагвая.
Решение. Математическая модель жеребьевки 6-ого места выступлений
состоит из 25 исходов, каждый из которых соответствует выбору одного из
спортсменов в качестве выступающего шестым. Все возможные исходы
равновероятны. Событие «выбран спортсмен из Парагвая» реализуется 9-ю
исходами.
Ответ: p=9/25=0,36.
Замечание. Отметим, что информация о числе спортсменов из России
является лишней и не нужна для подсчета вероятности. Точно так же не
имеет значения, что вопрос о жеребьевке касается именно 6-ого места.
I. Задачи, решаемые прямым подсчетом вероятности. 5
Задача 5. На семинар приехали 3 ученых из Норвегии, 3 из России и 4 из
Испании. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность
того, что восьмым окажется доклад ученого из России.
Решение. Подсчитаем общее число ученых, приехавших на семинар: 3 +
4+ 3=10. Математическая модель жеребьевки 8-ого места доклада
состоит из 10 исходов, каждый из которых соответствует выбору одного
из ученых в качестве выступающего восьмым. Все возможные исходы
равновероятны. Событие «выбран ученый из России» реализуется 3-мя
элементарными событиями.
Ответ: p=3/10=0,3.
I. Задачи, решаемые прямым подсчетом вероятности. 6
Задача 6. На фабрике керамической посуды 10% произведенных тарелок имеют
дефект. При контроле качества продукции выявляется 80% дефектных тарелок.
Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно
выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов.
Решение. Не все дефектные тарелки отбраковываются, а только 80% от
числа дефектных или 80% от 10% всех тарелок, что составляет 0,8*0,1 =
0,08 = 8% общего числа. Следовательно, количество бракованных
тарелок, поступивших в продажу составляет 10% – 8% = 2%, а доля
хороших тарелок — 100% - 2% = 98%. Вероятность того, что случайно
выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов, равна 0,98m/m =
0,98 (m — общее число тарелок в продаже).
Ответ: p=0,98.
I. Задачи, решаемые прямым подсчетом вероятности. 7
Задача 7. Дежурные по классу Андрей, Петр, Анна, Адель и Вера бросают
жребий — кому стирать с доски.
а) Найдите вероятность, что стирать с доски придется одному из мальчиков.
б) Найдите вероятность, что стирать с доски придется одному из учеников,
имя которого начинается на букву «А».
Задача 8. Какова вероятность, что случайно выбранное число от 11 до 50
окажется квадратом натурального числа?
Задача 9. Учитель нарисовал на доске квадрат ABCD и случайно выбирает
две вершины. Какова вероятность того, что выбранные вершины
соединяются диагональю?
Задача 10. Три друга А., Б. и В. летят на самолете. При регистрации им
достались три кресла подряд, и друзья заняли их в случайном порядке.
Найти вероятность, что А. сидит рядом с Б.
Задача 11. Андрей, Борис и Владимир по очереди в случайном порядке
подходят к прилавку киоска. Какова вероятность, что Борис подойдет позже
Андрея?
II. Задачи на вероятность противоположного события. 1
Задача 1. В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5
подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для
контроля насос не подтекает.
Решение 1. Модель выбора насоса состоит из 1000 исходов,
соответствующих числу насосов, поступивших в продажу. Событие A —
«выбранный насос не подтекает», противоположное к нему — Ā «насос
подтекает». Событие Ā реализуется в 5 исходах. Поэтому PĀ =
5/1000=0,005. Поскольку PĀ +PA=1, то PA=1-PĀ = 0,995.
Решение 2. Прямой подсчет: из 1000 насосов 995 не подтекают.
Вероятность выбрать такой насос — 995/1000.
Ответ: p=0,995.
II. Задачи на вероятность противоположного события. 2
Задача 2. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок
приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что
купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.
Решение. Модель покупки сумки состоит из 100 исходов,
соответствующих числу сумок выборки. Событие A — «выбранная для
покупки сумка оказалась качественной», противоположное к нему — Ā
«сумка оказалась с дефектом». Событие Ā реализуется в 8 исходах.
Поэтому PĀ = 8/100=0,08. Поскольку PĀ +PA=1, то PA=1-PĀ = 0,92.
Ответ: p=0,92.
II. Задачи на вероятность противоположного события. 3
Задача 3. В сборнике билетов по математике всего 25 билетов, в 10 из
них встречается вопрос по неравенствам. Найдите вероятность того, что в
случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется
вопроса по неравенствам.
Задача 4. Какова вероятность, что случайно выбранное число от 10 до 19
не делится на 3?
Задача 5. В сборнике билетов по физике всего 50 билетов, в 12 из них
встречается вопрос по конденсаторам. Найдите вероятность того, что в
случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется
вопроса по конденсаторам.
Задача 6. В сборнике задач по химии всего 400 задач, в 160 из них
встречается вопрос по кислотам. Найдите вероятность того, что в
случайно выбранной задаче нет вопроса по кислотам.
II. Задачи на вероятность противоположного события. 4
Задача 7. При изготовлении подшипников диаметром 67 мм вероятность того,
что диаметр будет отличаться от заданного меньше, чем на 0,01 мм, равна 0,965.
Найдите вероятность того, что случайно выбранный подшипник будет иметь
диаметр меньше чем 66,99 мм или больше 67,01 мм.
Решение. Обозначим событие A = {|d – 67|≤0,01}, по условию PA = 0,965.
Требуется найти вероятность события B = {d<66,99 или d>67,01}. Для
решения нужно заметить, что условие |d – 67|≤0,01 эквивалентно двум
неравенствам: 66,99 ≤ d ≤ 67,01. Отрицанием условия B: «d<66,99 или
d>67,01» является условие «66,99 ≤ d и d≤ 67,01», т.е. A: «66,99 ≤ d ≤
67,01».
Получаем: Ā = B, PB = 1 – PA = 1 – 0,965 = 0,035.
Ответ: 0,035.
II. Задачи на вероятность противоположного события. 5
Задача 8. Вероятность того, что купленный фен прослужит больше года
равна 0,37. вероятность того, что фен прослужит больше двух лет, равна
0.13. Найдите вероятность того, что фен прослужит меньше двух лет, но
больше года.
Задача 9. При контроле качества мебельных щитов на
деревообрабатывающем комбинате 31% щитов определяется во второй
сорт, 5% отбраковывается. Остальные щиты продаются как первый сорт.
Найдите вероятность того, что случайно выбранный щит окажется
первого сорта.
Задача 10. Вероятность того, что на тесте по химии учащийся Петр верно
решит больше 8 задач, равна 0,48. Вероятность того, что Петр верно
решит больше 7 задач, равна 0,54. Найдите вероятность того, что Петр
верно решит ровно 8 задач.
II. Задачи на вероятность противоположного события. 6
Задача 11. Какова вероятность, что случайно выбранное число от 10 до
19 не делится на 3?
Задача 12. В коробке 25 шаров, из них 11 — красные, остальные —
фиолетовые. Найдите вероятность того, что случайно выбранный шар
окажется фиолетовым.
Задача 13. На книжной полке 37 томов, из которых 15 — тома собрания
сочинений А.И. Солженицына, а остальные книги — сочинения писателей
XVIII-XIX веков. Найдите вероятность того, что случайно выбранная на
полке книге не одержит сочинений Солженицына. Ответ округлите до
сотых.
Задача 14. В некотором городе из 40000 появившихся на свет младенцев
оказалось 19833 девочки. Найти частоту рождения мальчиков в этом
городе. Ответ округлите до тысячных.
III. Задачи на повторные испытания. 1
Задача 1. Симметричная монета бросается дважды. Найти вероятность, что орел
выпадет ровно один раз.
Решение. Моделью задачи является вероятностное пространство,
состоящее из пар — результатов двух случайных испытаний, записанных
подряд.
ОО
ОР
РО
РР
0,25
0,25
0,25
0,25
Вероятность каждой пары (исхода двух подбрасываний) равна 0,5*0,5 =
0,25.
III. Задачи на повторные испытания. 2
Задача 2. В случайном эксперименте бросают два игральных кубика (или так:
дважды бросают один кубик). Найти вероятность того, что в сумме выпадет 6
очков.
Решение. Моделью задачи является вероятностное пространство,
состоящее из пар очков (от 1 до 6), записанных подряд,— результата
исхода испытания. Пара <i, j> соответствует исходу с количеством очков i
на первой кости и j— на второй. Всего 36 исходов, все они
равновероятны. Таким образом, вероятность каждой пары (исхода двух
подбрасываний) равна 1/6*1/6 = 1/36.
Событие «сумма очков равна 6» реализуется в пяти случаях (для пяти
исходов). Вероятность этого события равна 5/36.
Ответ. 5/36
III. Задачи на повторные испытания. 2
Задача 2. Сумма очков, выпавших на обеих костях
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
III. Задачи на повторные испытания. 3
Трудность выбора правильной модели. Исторические замечания
•
•
Сохранилась переписка одного из придворных французского двора шевалье де Мере (1607-1668) с
математиком Блезом Паскалем (1623-1662), датируемая примерно 1654 годом, в которой
обсуждается азартная игра в три кости. Три кости бросаются одновременно, подсчитывается число
выпавших очков. Один игрок ставит на сумму до 10, другой — на сумму, большую 10. Определяется
выигравший. Игра честная, шансы обоих игроков равны. Действительно, если i, j, k — выпавшие
очки, причем i+j+k ≤ 10, то (7- i)+(7-j)+(7-k)>10 и наоборот. Таким образом, между тройками
выпавших на костях очков, сумма которых не превосходит 10, и тройками, в которых сумма больше
10, есть взаимно-однозначное соответствие. Шевалье де Мере заметил, что если ставить на сумму,
большую 10, то 11 выпадает чаще 12. Это показалось ему странным, поскольку 11 очков можно
получить шестью различными способами 6-4-1, 6-3-2, 5-5-1, 5-4-2, 5-3-3, 4-4-3, но и 12 очков также
можно получить шестью способами 6-5-1, 6-4-2, 6-3-3,5-5-2, 5-4-3,4-4-4. Таким образом, в
представлении кавалера де Мере моделью случайного эксперимента являются неупорядоченные
тройки чисел. Паскаль указал на ошибочность этой модели и построил правильную модель с
использованием упорядоченных троек. Он писал де Мере, что событие 6-4-1 в модели де Мере на
самом деле не является простым, а соответствует 6 исходам (легко понять, если кости
разноцветные). Событие 5-5-1 соответствует 3 исходам, а 4-4-4 — только одному.
Правильная таблица числа исходов приводится в таблице ниже.
III. Задачи на повторные испытания. 4
Трудность выбора правильной модели. Исторические замечания
Сумм
а
очков
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
Число
спосо
бов
1
3
6
10
15
21
25
27
27
25
21
15
10
6
3
1
III. Задачи на повторные испытания. 5
Задача 3. В случайном эксперименте бросают два игральных кубика: белый и
синий. Найти вероятность того, что на синем выпадет на 1 меньше очков, чем на
белом.
Решение. Вероятностное пространство такое же, как в решении
предыдущей задачи. Представлено таблицей 1.
Испытания, реализующие событие «на синем кубике выпало на 1
меньше очков, чем на белом» отмечены в таблице 2.
Таких успешных испытаний 5 при общем числе возможных испытаний 36.
Ответ. Вероятность равна 5/36.
III. Задачи на повторные испытания. 6
Задача 3. Исходы испытания (таблица 1)
1
2
3
4
5
6
1
(1, 1)
(1, 2)
(1, 3)
(1, 4)
(1, 5)
(1, 6)
2
(2, 1)
(2, 2)
(2, 3)
(2, 4)
(2, 5)
(2, 6)
3
(3, 1)
(3, 2)
(3, 3)
(3, 4)
(3, 5)
(3, 6)
4
(4, 1)
(4, 2)
(4, 3)
(4, 4)
(4, 5)
(4, 6)
5
(5, 1)
(5, 2)
(5, 3)
(5, 4)
(5, 5)
(5, 6)
6
(6, 1)
(6, 2)
(6, 3)
(6, 4)
(6, 5)
(6, 6)
III. Задачи на повторные испытания. 7
Задача 3. Успешные испытания (таблица 2)
1
2
3
4
5
6
1
(1, 1)
(1, 2)
(1, 3)
(1, 4)
(1, 5)
(1, 6)
2
(2, 1)
(2, 2)
(2, 3)
(2, 4)
(2, 5)
(2, 6)
3
(3, 1)
(3, 2)
(3, 3)
(3, 4)
(3, 5)
(3, 6)
4
(4, 1)
(4, 2)
(4, 3)
(4, 4)
(4, 5)
(4, 6)
5
(5, 1)
(5, 2)
(5, 3)
(5, 4)
(5, 5)
(5, 6)
6
(6, 1)
(6, 2)
(6, 3)
(6, 4)
(6, 5)
(6, 6)
III. Задачи на повторные испытания. 8
Задача 4. В случайном эксперименте монету бросили 4 раза. Найти вероятность
того, что орел выпадет ровно 2 раза.
Решение. Будем кодировать исход эксперимента последовательностью
букв «О» и «Р»; например, «ООРО» соответствует такому исходу: в 1,2 и 4
бросании выпала решка, в 3 бросании — орел. Вероятностное
пространство состоит из 24 = 16 исходов. Представлено таблицей 1.
Успешные исходы отмечены в таблице 2, их число — 6.
Ответ. Вероятность равна 6/16.
III. Задачи на повторные испытания. 9
Задача 4. Пространство исходов
ОООО
ОРОО
РООО
РРОО
ОООР
ОРОР
РООР
РРОР
ООРО
ОРРО
РОРО
РРРО
ООРР
ОРРР
РОРР
РРРР
III. Задачи на повторные испытания. 10
Задача 4. Успешные исходы
ОООО
ОРОО
РООО
РРОО
ОООР
ОРОР
РООР
РРОР
ООРО
ОРРО
РОРО
РРРО
ООРР
ОРРР
РОРР
РРРР
III. Задачи на повторные испытания. 11
Задача 5. В случайном эксперименте монету бросили 4 раза. Найти вероятность
того, что орел выпадет чаще решки.
Решение. Будем кодировать исход эксперимента последовательностью
букв «О» и «Р»; например, «ООРО» соответствует такому исходу: в 1,2 и 4
бросании выпала решка, в 3 бросании — орел. Вероятностное
пространство состоит из 24 = 16 исходов. Представлено таблицей 1.
Успешные исходы отмечены в таблице 2, их число — 5.
Ответ. Вероятность равна 5/16.
III. Задачи на повторные испытания. 12
Задача 5. Пространство исходов
ОООО
ОРОО
РООО
РРОО
ОООР
ОРОР
РООР
РРОР
ООРО
ОРРО
РОРО
РРРО
ООРР
ОРРР
РОРР
РРРР
III. Задачи на повторные испытания. 13
Задача 5. Успешные исходы
ОООО
ОРОО
РООО
РРОО
ОООР
ОРОР
РООР
РРОР
ООРО
ОРРО
РОРО
РРРО
ООРР
ОРРР
РОРР
РРРР
III. Задачи на повторные испытания. 14
Задача 6. На рок-фестивале выступают группы — по одной из каждой из
участвующих стран. Найдите вероятность того, что группа из Бельгии будет
выступать после группы из Италии и после группы из Германии. Ответ округлите
до сотых.
Решение. Будем кодировать исход жеребьевки рок-групп из Бельгии,
Италии и Германии последовательностью букв «Б» и «И» и «Г»;
например, «БИГ» соответствует такому исходу: итальянская группа
выступает после бельгийской, а немецкая — после итальянской.
Вероятностное пространство состоит из 3! = 6 исходов. Успешными
являются исходы «ИГБ» и «ГИБ».
Ответ. Вероятность равна 2/6=0,33.
III. Задачи на повторные испытания. 15
Задача 7. Вероятность того, что деталь окажется бракованной, равна 0,2.
Найдите вероятность того, что из трех таких случайно выбранных деталей
ровно две окажутся бракованными.
Задача 8. В бутике модной одежды в случайный момент каждый
продавец занят с вероятностью 0,1. Всего продавцов трое. Найдите
вероятность того, что в случайно выбранный момент хотя бы один из
продавцов свободен.
Задача 9. Игральный кубик бросают три раза. Найдите вероятность того,
что все три раза выпало четное количество очков.
Задача 10. Стрелок делает последовательно четыре выстрела по
мишеням. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,7, при
втором и последующих равна 0,9. Обозначим буквой «П» попадание, а
«Н» — промах. Найдите вероятность элементарного исхода ННПП.
IV. Задачи на формулу сложения вероятностей. 1
Задача 1. В торговом зале два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность
того, что к концу рабочего дня кофе в автомате закончится равна 0,2. Вероятность
того, что кофе закончится в обоих автоматах равна 0,09. Найти вероятность того,
что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.
Решение. Условие некорректно: допустим, что два одинаковых автомата связаны шлангом
так, что у них общий объем кофе. Тогда, кофе может закончится только одновременно в
этих автоматах. На самом деле вместо «одинаковых» имеется в виду «независимых».
Тогда задачу можно решить. Пусть A – событие «кофе закончится в первом автомате», B —
«кофе закончится во втором автомате». По условию PA = PB = 0,2; P(AB) = 0,09; P(A+B) = PA +
PB – P(AB) = 0,2+0,2-0,09=0,31 — это вероятность того, что «кофе закончится по крайней
мере в одном из автоматов». Событие «кофе останется в обоих автоматах» —
противоположное к событию «кофе закончится по крайней мере в одном из автоматов».
Поэтому его вероятность равна 1-0,31=0,69.
Ответ. 0,69
IV. Задачи на формулу сложения вероятностей. 2
Задача 2. В мешке есть белые, желтые и черные кубики. При этом 10% от общего
числа — белые, 15% от общего числа — желтые. Из мешка случайно
вытаскивается кубик.
а) Какова вероятность, что этот кубик светлый?
б) Какова вероятность, что этот кубик черный?
Решение. Пусть A – событие «кубик белый», B — «кубик желтый». Из
условия PA = 0,1; PB = 0,15; P(AB) = 0. Тогда P(A+B) = PA + PB – P(AB) =
0,1+0,15=0,25 — это вероятность того, что «кубик светлый». Событие
«кубик черный» — противоположное к событию «кубик светлый».
Поэтому его вероятность равна 1-0,25=0,75.
Ответ. а) 0,25; б) 0,75
IV. Задачи на формулу сложения вероятностей. 3
Задача 3. Среди учеников школы 15% знают французский язык, 20% знают
английский язык. Доля учеников, знающих оба языка составляет 5%. Случайным
образом выбирается ученик. Какова вероятность, что он знает хотя бы один из
этих двух языков?
Решение. Пусть A – событие «ученик знает французский язык», B —
«ученик знает английский язык». Из условия PA = 0,15; PB = 0,20; P(AB) =
0,05. Тогда P(A+B) = PA + PB – P(AB) = 0,15+0,2-0,05=0,3 — это вероятность
того, что «ученик знает один из языков»
Ответ. 0,3.
IV. Задачи на формулу сложения вероятностей. 4
Задача 4. Случайным образом выбирается число от 101 до 200. Какова
вероятность, что оно делится на 3 или не делится на 5?
Решение. Пусть A – событие «число длится на 3», B — «число не делится
на 5». Легко подсчитать, что чисел, делящихся на 3 в интервале 101-200
равно целой части дроби 100/3, то есть, 33 (именно: 102 — первое число,
198 — последнее, делящееся на 3, 198=102+3(n-1), откуда n=33). PA =
33/100 = 0,33. Аналогично, чисел, делящихся на 5, в указанном диапазоне
есть 20: от 105 до 200 (200 = 105+5(n-1), n=20). Поэтому PB = 1-0,20 = 0,8.
Чисел, делящихся на 3 и 5 — всего 7 (от 105 до 195, 195=105+15(n-1),
n=7); значит, чисел, делящихся на 3, но не делящихся на 5 есть 33-7=26,
P(AB) = 0,26.
Тогда P(A+B) = PA + PB - P(AB) = 0,33+0,8-0,26=0,87 — это вероятность того,
что «число делится на 3 или не делится на 5»
Ответ. 0,87.
IV. Задачи на формулу сложения вероятностей. 5
Задача 5. В плацкартном вагоне 54 места. Четные места — верхние, нечетные —
нижние. Места с 37 по 54 — боковые. Пассажир Андреев покупает билет. При
покупке билета место определяется случайно. Найдите вероятность того, что
Андрееву достанется нижнее не боковое место.
Решение 1. (прямой подсчет). Нижние не боковые места имеют нечетные
номера от в диапазоне 1 до 36. Таких чисел 18. P=18/54=1/3.
Решение 2. (с использованием формулы суммы вероятностей). Пусть A —
событие «досталось нижнее место», а B — событие «досталось не
боковое место». PA=0,5; PB=36/54=2/3; P(A+B)=(36+18/2)/54=45/54=5/6.
P(AB) = PA + PB - P(A+B) = 1/2+2/3-5/6=1/3
Ответ. 1/3.
V. Независимые события. 1
Определение. События A и B называются независимыми, если
P(AB) = P(A)*P(B).
Пример. Кость бросается дважды. События «первый раз выпадет число,
кратное 3» и «второй раз выпадет число, большее 3» независимы.
Доказательство. Модель двукратного бросания реализуется таблицей 1,
события A и B отмечены в таблицах 2 и 3, а их пересечение — в таблице
4. Прямой подсчет дает: PA = 12/36 = 1/3; PB = 18/36 = 1/2 ; P(AB) = 6/36 =
1/6. Получаем: PAPB = 1/2*1/3 = 1/6 = P(AB). Следовательно, события
независимы.
V. Независимые события. 2
Пример. Пространство повторного испытания. Таблица 1
1
2
3
4
5
6
1
(1, 1)
(1, 2)
(1, 3)
(1, 4)
(1, 5)
(1, 6)
2
(2, 1)
(2, 2)
(2, 3)
(2, 4)
(2, 5)
(2, 6)
3
(3, 1)
(3, 2)
(3, 3)
(3, 4)
(3, 5)
(3, 6)
4
(4, 1)
(4, 2)
(4, 3)
(4, 4)
(4, 5)
(4, 6)
5
(5, 1)
(5, 2)
(5, 3)
(5, 4)
(5, 5)
(5, 6)
6
(6, 1)
(6, 2)
(6, 3)
(6, 4)
(6, 5)
(6, 6)
V. Независимые события. 3
Пример. Событие A: «первый раз выпадет число, кратное 3». Таблица 2
1
2
3
4
5
6
1
(1, 1)
(1, 2)
(1, 3)
(1, 4)
(1, 5)
(1, 6)
2
(2, 1)
(2, 2)
(2, 3)
(2, 4)
(2, 5)
(2, 6)
3
(3, 1)
(3, 2)
(3, 3)
(3, 4)
(3, 5)
(3, 6)
4
(4, 1)
(4, 2)
(4, 3)
(4, 4)
(4, 5)
(4, 6)
5
(5, 1)
(5, 2)
(5, 3)
(5, 4)
(5, 5)
(5, 6)
6
(6, 1)
(6, 2)
(6, 3)
(6, 4)
(6, 5)
(6, 6)
V. Независимые события. 4
Пример. Событие B: «второй раз выпадет число, большее 3» . Таблица 3
1
2
3
4
5
6
1
(1, 1)
(1, 2)
(1, 3)
(1, 4)
(1, 5)
(1, 6)
2
(2, 1)
(2, 2)
(2, 3)
(2, 4)
(2, 5)
(2, 6)
3
(3, 1)
(3, 2)
(3, 3)
(3, 4)
(3, 5)
(3, 6)
4
(4, 1)
(4, 2)
(4, 3)
(4, 4)
(4, 5)
(4, 6)
5
(5, 1)
(5, 2)
(5, 3)
(5, 4)
(5, 5)
(5, 6)
6
(6, 1)
(6, 2)
(6, 3)
(6, 4)
(6, 5)
(6, 6)
V. Независимые события. 5
Пример. Пересечение событий A и B. Таблица 4
1
2
3
4
5
6
1
(1, 1)
(1, 2)
(1, 3)
(1, 4)
(1, 5)
(1, 6)
2
(2, 1)
(2, 2)
(2, 3)
(2, 4)
(2, 5)
(2, 6)
3
(3, 1)
(3, 2)
(3, 3)
(3, 4)
(3, 5)
(3, 6)
4
(4, 1)
(4, 2)
(4, 3)
(4, 4)
(4, 5)
(4, 6)
5
(5, 1)
(5, 2)
(5, 3)
(5, 4)
(5, 5)
(5, 6)
6
(6, 1)
(6, 2)
(6, 3)
(6, 4)
(6, 5)
(6, 6)
V. Независимые события. 6
• Слово «независимый» в жизни значит самое разное. Но в рамках
теории вероятностей у него очень узкий и чёткий смысл:
вероятность одновременного появления двух событий равна
произведению вероятностей. [2]
Примеры расхождения математического понятия независимости и
понятия независимости каузального.
Пример 1. Метеостанция вела наблюдения в течение года и
зафиксировала, в какие дни в данном населённом пункте был гром и в
какие молния.
Скорее всего события «был гром» и «была молния» (для случайно выбранного дня в году)
будут зависимы. Однако на основании этих данных нельзя судить о том, является ли молния
причиной грома (как учит физика) или наоборот: если событие 𝐴 зависит от 𝐵 , то и
событие 𝐵 зависит от 𝐴 , и эта зависимость не позволяет судить о том, что здесь причина, а
что следствие.
V. Независимые события. 7
Пример 2. В школу приехала комиссия для проверки результатов зачёта
по математике и провела повторный зачёт своими силами. Известно, что
первоначальный зачёт сдали 70% школьников, а зачёт комиссии сдали
50% школьников. Сколько процентов школьников сдали оба зачёта, если
комиссия была действительно независимой и не учитывала результатов
предыдущего зачёта?
Формальный подсчёт, если понимать слово «независимый» в
математическом смысле, даёт 50% от 70%, то есть 35%. Но ответ этот
абсурден: сдача зачёта по математике не есть лотерея, в которой
выигрыш вчера не меняет шансов выиграть сегодня. Можно ожидать, что
сдавшие первый зачёт в среднем лучше знают математику, чем не
сдавшие, поэтому и результаты второго зачёта у них будут лучше.
V. Независимые события. 8
Как же решать задачи, в которых задаются вопросы о независимых
событиях (или независимых испытаниях)?
Что имеется в виду в этих задачах под «независимостью» событий?
Независимость «причинно-следственная» или независимость
«математическая»?
Нужно отметить, что определение математической независимости не
произвольно выбрано: оно все-таки как-то отражает независимость
каузальную.
Поэтому принцип решения таких задач заключается в том, что нужно
построить такую математическую вероятностную модель, в которой
события, независимые по условию задачи, должны быть независимы в
точном математическом смысле.
V. Независимые события. 9
Задача 1. Вероятность того, что ручка бракованная, равна 0,1. Покупатель в
магазине выбирает случайно упаковку, в которой две такие ручки. Найдите
вероятность того, что обе ручки окажутся исправными.
Решение 1. Здесь снова умалчивается, что брак каждой ручки в паре — независимые
события. Хотя можно предположить, что на заводе 2 бракованные ручки специально
упаковываются в одну упаковку, чтобы доставить максимум удовольствия их
потенциальному покупателю. Мы можем построит математическую модель, используя
идеи повторного испытания. «Б» - ручка бракованная, «И» — ручка исправная.
Исходы для пары ручек: «ББ», «БИ», «ИБ», «ИИ» не являются равновероятными, их
вероятностные значения отражены в таблице.
Здесь p = 0,1; q = 1-0,1 = 0,9.
Проверить, что в этой модели события «первая рука в паре бракованная» и «вторая рука в
паре бракованная» являются независимыми. Аналогично с событиями «первая рука в паре
исправная» и «вторая рука в паре исправная»!
Ответ: 0,81. Таким образом, нужно не вероятность вычислять, а проверять адекватность модели:
«жизненное» понятие независимости моделируется независимостью математической.
V. Независимые события. 10
исход
«ББ»
«БИ»
«ИБ»
«ИИ»
вероятность
p2 = 0,01
pq = 0,09
qp = 0,09
q2 = 0,81
V. Независимые события. 11
Задача 1. Вероятность того, что ручка бракованная, равна 0,1. Покупатель в
магазине выбирает случайно упаковку, в которой две такие ручки. Найдите
вероятность того, что обе ручки окажутся исправными.
Решение 2. Не будем строить модель. Достаточно знания, что в
правильной модели модели события A — «первая рука в паре
исправная» и B — «вторая рука в паре исправная» являются
независимыми. Поэтому можно применить формулу P(AB) = P(A)*P(B) =
0,9*0,9 = 0,81.
Ответ: 0,81.
V. Независимые события. 12
Задача 2. Биатлонист стреляет по пяти мишеням. На каждую мишень дается один
выстрел. Вероятность промаха при одном выстреле равна 0,2 (независимо от
результатов предыдущих выстрелов). Найдите вероятность того, что биатлонист
поразит все мишени. Результат округлите до сотых.
Решение. В силу независимости результатов стрельбы P = 0,85 = 0,32768 =
0,33.
Ответ. 0,33.
V. Независимые события. 13
Задача 3. В фирме такси есть два микроавтобуса. Каждый из них в случайный
момент времени свободен с вероятность 0,65. Какова вероятность того, что в
случайный момент хотя бы один автобус свободен?
Решение. Событие «хотя бы один автобус свободен» является
противоположным событию «оба автобуса заняты». Подсчитаем его
вероятность. Вероятность того, что один автобус занят, равна 0,35=1 –
0,65. Вероятность того, что оба автобуса заняты, будет равна 0,352 =
0,1225 (по формуле вероятности совместного наступления независимых
событий). Поэтому вероятность события «хотя бы один автобус
свободен» равна 1 – 0,1225 = 0,8775.
Ответ. 0,8775
V. Независимые события. 14
Задача 4. Чтобы поступить в институт на специальность «Международное право»,
абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 60 баллов по каждому из предметов —
математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность
«Социология», нужно набрать не менее 60 баллов по по каждому из предметов —
математика, русский язык и обществознание. Вероятность того, что Федор получит не
менее 60 баллов по математике, равна 0,8; по русскому — 0,9; по иностранному языку —
0,8; по обществознанию — 0,9. Найдите вероятность того, что Федор поступит хотя бы на
одну из двух специальностей.
Решение. Вероятность поступления на специальность «Международное право»
равна 0,8*0,9*0,8 = 0,576; вероятность поступления на специальность
«Социология» 0,8*0,9*0,9 = 0,648. Вероятность поступления на обе
специальности равна 0,8*0,9*0,8*0,9 = 0,5184. Используя формулу суммы
вероятностей, получим, что вероятность поступления хотя бы на одну
специальность равна 0,576 + 0,648 - 0,5184 = 0,7056.
Ответ. 0,7056.
VI. Более сложные задачи по теории вероятностей. 1
Задача 1. В классе 28 учащихся, среди них Наташа и Вадим — брат и сестра. Для
проведения медосмотра класс случайным образом разбивают на две равные
группы. Найдите вероятность того, что Наташа и Вадим попали в разные группы.
Решение. Первое рассуждение, которое приходит в голову, такое. Возможны два случая:
либо брат и сестра попадают в одну группу, либо Вадим и Наташа попадают в разные
группы. Вероятность того, что Наташа и Вадим попали в разные группы, равна ½.
Можно предложить и другое рассуждение. Возможны четыре случая: либо брат и сестра
попадают в первую группу, либо попадают во вторую группу, либо Вадим попадает в
первую группу, а Наташа — во вторую, либо наоборот, Наташа попадает в первую группу, а
Вадим — во вторую. Вероятность исследуемого события все равно оказывается равной 2/4
= ½.
Вроде бы, все верно: ответ один и тот же в этих моделях.
Но верны ли эти рассуждения? Заметим, что в рассуждениях не использовалось число
учащихся 28. Это настораживает. Попробуем решить методом перебора всех возможных
случаев распределения класса на 2 группы задачу для 6 учащихся в классе.
VI. Более сложные задачи. 2
Возможные разбиения класса на две группы
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
VI. Более сложные задачи. 3
Разбиения, в которых брат и сестра попадают в одну группу
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
VI. Более сложные задачи. 4
Событие «Наташа и Вадим попали в разные группы» реализуется в 9
исходах из 15 возможных. Поэтому вероятность исследуемого события
равна 9/15 = 3/5.
________________________________
Вернемся к задаче о классе с 28-ю учащимися.
Указание к правильному решению решению.
Перенумеруем всех учащихся: 1-28. Первая группа состоит из номеров 1-14, вторая — 1528. Распределение учащихся по группам — это присваивание всем учащимся номеров от 1
до 28 («очередь»). Брат и сестра получают какую-то пару номеров из ряда 1-28. Кто будет
первым в этой паре, кто вторым — не имеет значения. Пары неупорядоченные. Число
различных комбинаций «выбора двух мест из 28 возможных» равно C282 =28*27/2! = 14*27.
Число выборок пары мест, в которых один элемент пары принадлежит первой группе, а
второй элемент — второй группе, равно 14*14. Искомая вероятность равна 14*14/14*27 =
14/27. Ответ. 14/27
VI. Более сложные задачи. 5
Задача 2. У Коли в одном кармане 2 конфеты «Красная Шапочка» и 4 конфеты
«Мишка на севере». Случайным образом Коля переложил какие-то три конфеты
в другой карман. Какова вероятность, что обе «Красные Шапочки» лежат в одном
кармане?
Решение 1. Построим вероятностное пространство исходов случайного
перекладывания конфет. Черные цифры 1, 2, 3, 4 обозначают конфеты
«Мишка на севере», а красные 1, 2 — две конфеты «Красная шапочка».
Исход — это пары множеств A/B, где A+B={1, 2, 3, 4, 1, 2}, а каждое из
множеств A и B содержит по 3 элемента.
Составим таблицу всех возможных исходов эксперимента.
VI. Более сложные задачи. 6
Таблица исходов
121/234
112/234
124/213
214/123
123/124
122/134
113/224
134/212
223/114
124/123
123/124
114/223
212/134
224/113
134/122
124/123
123/214
213/124
234/112
234/121
VI. Более сложные задачи. 7
Таблица успешных исходов (обе «Красные шапочки» в одном кармане)
121/234
112/234
124/213
214/123
123/124
122/134
113/224
134/212
223/114
124/123
123/124
114/223
212/134
224/113
134/122
124/123
123/214
213/124
234/112
234/121
VI. Более сложные задачи. 8
• Число всех элементарных событий эксперимента— 20, а успешных —
8. Следовательно, вероятность события «обе «Красные Шапочки»
лежат в одном кармане» равна 8/20=2/5=0,4.
• Ответ. 0,4.
VI. Более сложные задачи. 9
Решение 2. Выбрать 3 конфеты из 6, чтобы переложить их в другой
карман, можно C63 = 6*5*4/1*2*3 = 20 способами. Эти выборки
составляют вместе вероятностное пространство. Сколько же выборок
реализует событие? Здесь уместно разделит успешные исходы на два
множества: «обе конфеты «Красная Шапочка» остались в первом
кармане» и «обе конфеты «Красная Шапочка» переместились во второй
карман». Если «обе конфеты «Красная Шапочка» остались в первом
кармане», то в качестве одной конфеты «Мишка», оставшейся в том же
кармане может быть любая из 4-х конфет «Мишка на севере». Всего 4
исхода. Аналогично, событие «обе конфеты «Красная Шапочка»
переместились во второй карман» реализуется тоже 4-мя исходами.
Всего 8 исходов. Вероятность события равна 8/20.
VI. Более сложные задачи. 10
Задача 3. В классе 21 человек, среди них близнецы Маша и Даша. Класс
случайным образом делят на три группы по 7 человек в каждой. Найти
вероятность того, что Маша и Даша окажутся в разных группах.
Решение 1 (верное). Предложим следующую модель испытания. Перенумеруем всех
учеников в классе натуральными числами от 1 до 21. Первая группа состоит из учеников с
номерами 1-7, вторая — 8-14, третья — 15-21. Исход случайного распределения Маши и
Даши по группам — это неупорядоченная пара различных натуральных чисел в диапазоне
от 1 до 21. Например, если выбираются номера 18 и 4, то одна из близняшек будет в первой
группе, другая — в третьей (а какая именно из них двоих в какой группе — предлагаемая
модель не фиксирует). Общее количество испытаний — C212 = 21*20/2 = 210. Подсчитаем
вероятность противоположного события: «Маша и Даша попали в разные группы». Число
исходов с выбором пары мест в первой группе равна C72 = 7*6/2 = 21. Значит, вероятность
попасть Маше и Даше в первую группу равна 21/210 = 0,1. Точно такая же вероятность
попадания сестер в группы 2 и 3. Следовательно, вероятность попасть в одну группу (1-ю,
или 2-ю, или 3ю) равна 0,1+0,1+0,1 = 0,3. Вероятность противоположного события — «Маша
и Даша попали в разные группы» равна 1 – 0,3 = 0,7.
Ответ. 0,7
VI. Более сложные задачи. 11
Задача 3. В классе 21 человек, среди них близнецы Маша и Даша. Класс
случайным образом делят на три группы по 7 человек в каждой. Найти
вероятность того, что Маша и Даша окажутся в разных группах.
Решение 2 (тоже верное). Предыдущая модель не различала случаи «Маша получила
номер 8 в группе 2, а Даша — номер 21 в группе 3» и «Даша получила номер 8 в группе 2, а
Маша — номер 21 в группе 3». Может быть, модель не верна? Предложим новую модель
испытания, учитывающую порядок. Исход случайного распределения Маши и Даши по
группам — это упорядоченная пара различных натуральных чисел в диапазоне от 1 до 21
(первый элемент пары соотнесен с Машей, второй — с Дашей). Например, если
выбираются пара <18, 4>, то Маша будет в третьей группе, Даша — в первой. Общее
количество испытаний — A212 = 21*20 = 420 (напомню, число размещений Amn = m!/(m-n)!).
Подсчитаем вероятность события: «Маша и Даша попали в разные группы». Число исходов
с выбором пары мест в первой группе равна A72 = 7*6 = 42. Значит, вероятность попасть
Маше и Даше в первую группу равна 42/420 = 0,1. Точно такая же вероятность попадания
сестер в группы 2 и 3. Следовательно, вероятность попасть в одну группу (1-ю, или 2-ю, или
3ю) равна 0,1+0,1+0,1 = 0,3. Вероятность противоположного события — «Маша и Даша
попали в разные группы» равна 1 – 0,3 = 0,7.
Ответ. 0,7.
Ответ такой же, как в первом решении. Просто, учет порядка мест увеличил число пар в 2 раза.
VI. Более сложные задачи. 12
Задача 3. В классе 21 человек, среди них близнецы Маша и Даша. Класс
случайным образом делят на три группы по 7 человек в каждой. Найти
вероятность того, что Маша и Даша окажутся в разных группах.
Решение 3 (неверное). Попробуем упростить модель. В результате распределения мест
Маша и Даша отправляются в сои группы. Например, «Маша — в первую группу», «Даша —
во вторую». Попробуем построить модель, учитывающую только это обстоятельство.
I группа
II группа
III группа









VI. Более сложные задачи. 13
Задача 3. В классе 21 человек, среди них близнецы Маша и Даша. Класс
случайным образом делят на три группы по 7 человек в каждой. Найти
вероятность того, что Маша и Даша окажутся в разных группах.
Из таблицы ясно, что пространство исходов состоит из 6 элементарных событий. Событие
«Маша и Даша окажутся в разных группах» реализуется в трех исходах. Получим ответ 3/6 =
0,5. Это другой ответ.
Какой же ответ верен и какая модель правильная? Если говорить точно, то правильность
модели подтверждается только реальным экспериментом.
Слова условия «класс случайным образом делят на три группы» допускают различные
истолкования. Например, можно организовать распределение по группам следующим
образом: вначале Маше, а потом и Даше предлагается вытянуть бумажку с одним из чисел
«1», «2» и «3». А затем как-то распределяют оставшихся учеников класса по группам из 7
человек. При такой «жеребьёвке» вероятность для сестер попасть с одну группу равна
3/9=1/3, следовательно, вероятность попасть в разные группы будет равна 2/3!
Это еще одна модель. Но при таком понимании «случайного деления класса» вероятность
для других учеников попасть в группы 1-3 не будут, вообще говоря, равновероятны.
Какая модель правильная — не совсем математическая задача. Задача математика —
строить и исследовать вероятностные модели.
Использованная литература и другие источники
• Ю. Тюрин, А. Макаров, И. Высоцкий, И. Ященко. Теория вероятностей
и статистика. Издательство МЦНМО. 2004
• А. Шень. Вероятность. Примеры и задачи. Издательство МЦНМО. 2008
• И. Высоцкий, И. Ященко. ЕГЭ 2012. Задача B10. Рабочая тетрадь.
Издательство МЦНМО, 2012.
• Ф. Мостелер, Р. Рурке, Дж. Томас. Вероятность. М. Мир. 1969
• Открытый банк задач ЕГЭ. http://mathege.ru/or/ege/Main.html
….
Материал подготовлен по материалам, размещенным в интернет, доц. кафедры
математических дисциплин Педагогической академии последипломного образования
к.ф-м.н. Ю.В. Гавриленко