4. Интегрирование рациональных дробей ОПР. 3 Рациональной дробью (дробно-рациональной функцией) называется частное от деления двух целых рациональных функций Q( x) a0 x n a1 x n 1 ... an P( x) b0 x m b1 x m 1 ... bm Если n<m, то дробь правильная Теорема. Всякий многочлен n-ой степени разлагается на n линейных множителей и множитель – коэффициент при xn . Теорема. Многочлен Pn не может иметь более чем n различных корней. Если корни повторяются, то их объединяют и говорят, что x=xi – корень кратности k. Теорема. Если среди корней есть мнимые, то они обязательно сопряженные и множитель, за счет которого образуются мнимые корни, можно оставлять в виде квадратного трехчлена x2+px+q – многочлен 2-ой степени. Таким образом, для любого P(x) можно записать: P( x) ( x x1)k1 ( x x2 )k2 ...( x2 p1x q1 )m1 ...( x2 ps x qs )ms ОПР. 4 Простейшими (элементарными) следующего вида A x x1 дробями называются Ax B x 2 px q A x x1 m x дроби Ax B 2 px q m ТЕОРЕМА 4. Q( x) Всякая правильная рациональная дробь может быть P( x) представлена и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением на множители знаменателя P(x). B1 Ak1 Bk 2 A2 B2 Q( x) A1 ... ... 2 k1 2 P( x) x x1 x x1 x x1 x x2 x x2 x x 2 k2 M xN M m1 x N m1 M 2 x N2 1 1 ... 2 ... 2 m1 2 2 x p1 x q1 x p1 x q1 x p1 x q1 F xG F2 x G2 1 2 1 x ps x qs x 2 ps x qs 2 ... Fms x Gms x 2 p s x qs ms ... A1, A2 ,..., Ak1 , B1, B2 ,..., Bk2 , M1, ..., M m1 , N1,...,Gms - неопределенные коэффициенты Порядок действий при вычислении интеграла от рационального выражения 1. 2. 3. 4. 5. Выделить целую часть (сделать дробь Q(x)/P(x) правильной) Разложить знаменатель на множители. Записать дробь в виде суммы простейших дробей. Определить коэффициенты Проинтегрировать 5. Интегрирование тригонометрических выражений Будем использовать запись интеграла от тригонометрических выражений R(sin x, cos x)dx это означает, что над синусом и косинусом проведены только рациональные операции (+, –, ., : , ^ ). Универсальная тригонометрическая подстановка Выразим x и получим tg(x/2)=t. 2 dt x 2arctgt dx 1 t 2 sin x 2t 1 t 2 cos x 1t 2 1 t2 5. Интегрирование иррациональных выражений 1. R( x, x 2 px q )dx 2. R( x, a x )dx 2 3. 2 R( x, a 2 x 2 )dx R( x, x 2 a 2 )dx Рекомендуемая подстановка: x a sin t dx a cos t dt a dt x a tg t dx cos 2 t a sin t dt x a sec t dx a cos t cos 2 t R ( x , x , x , ...)dx x t , , g …– дробные рац. числа, ax b 4. R( x, cx d ax b , cx d , , g …– дробные рац. числа, s s – наименьшее общее кратное , , g ax b , , ...)dx cx d ax b s t cx d s – наименьшее общее кратное , , g 5. Дифференциальный бином ОПР. 6 Выражение вида x ( a bx ) , где (m,n,p,a,b) – const, называется дифференциальным биномом. m n p Теорема 5. (Чебышева) Q выражаются в конечном виде через элементарные функции, если оказывается целым одно m n p x ( a bx ) dx (m,n,p Интегралы из чисел: 1) p ∈ ) подстановка x = ts (s – наименьшее общее кратное m и n ) m 1 2) n Подстановка a bx n m 1 3) p n a bx n s t , где s – знаменатель p Подстановка n x t s, где s – знаменатель p