Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики Кафедра фотоники и оптоинформатики А.В.Павлов Обработка информации оптическими методами Тема 5 Фракталы и хаос в передаче и обработке информации А.В.Павлов ОИОМ Санкт-Петербург, 2010 Понятие фрактала. Размерность. N 3 r1 3 Nr 1 N 4 r1 2 Nr 2 1 Nr 1 d log N d log r А.В.Павлов ОИОМ Понятие фрактала. Снежинка Коха. log N d log r log 4 1, 2618 log 3 Длина «снежинки Коха» n 4 l lim n 3 А.В.Павлов ОИОМ Итерирующее отображение Xn+1 (X,d) – метрическое пространство T:XX сжимающее отображение, если S, 0<S<1, x,yX, d(T(x),T(y))Sd(x,y) Если S(0,), то Т – отображение Липшица. Теорема о сходимости к неподвижной точке. x0 xn Паутинная диаграмма (X,d), T – сжимающее отображение, xf – неподвижная точка, т.е. T(xf)=xf, T(x) имеет в конечном счете одну неподвижную точку и, кроме того, x0X, , где xn = T(xn-1). lim x x n n f А.В.Павлов ОИОМ Свойство единственности неподвижной точки Пусть T(x) имеет две неподвижные точки xf1 и xf2. Тогда по определению сжимающего отображения d(T(xf1),T(xf2))=d(T(xf1),T(xf2))≤Sd(xf1,xf2), Так как S<1, то последнее неравенство выполняется только при xf1 = xf2. А.В.Павлов ОИОМ Притягивающие и отталкивающие точки. Отображение f не предполагается сжимающим, теорема о неподвижной точке неприменима. Xf – неподвижная точка. Разложим f в ряд Тейлора вблизи неподвижной точки f(x) = f(xf)+(x-xf)(f’(x)). По определению неподвижной точки f(xf)=xf, то следующий шаг xn+1=f(xn) xn+1-xn=(xn-xf)f’(xf) если f’(xf)>1, то xf - отталкивающая, т.к. с каждым шагом расстояние увеличивается, орбиты из ее окрестности расходятся; если f’(xf)<1, то xf - притягивающая, т.к. с каждым шагом расстояние уменьшается, орбиты из ее окрестности сходятся. А.В.Павлов ОИОМ Периодические точки Точки 1 и 2 : f(1)= 2; f(2)= 1; xn 1 f f xn f Def. Последовательность 2 xn xn n0 f x0 n0 n называется орбитой точки x0. Def. Орбита называется периодической с периодом р, если xn+p=xn; n=0,1,2… Если условие периодичности xn+p=xn справедливо только после некоторого nn0, то орбита в конечном счете периодическая. А.В.Павлов ОИОМ • • Примеры итерирующих отображений, приводящих к хаосу модель ограниченного роста T: xn+1=axn(1-xn) (Верхольст, 1845) 10 10 T ( x) 0 x 10 11 20 xn+1=xn2+a 10 10 0 x 10 10 1 1 0 x 1 2 1 T ( x) 0 • x xn+1=xn(1+a (1-xn)) 2 3 4 • xn+1=xn exp(a(1-xn)) А.В.Павлов ОИОМ 1 Отображение T(x)=x2+a Неподвижная точка решения x=x2+a, т.е. 1 (1 1 4 a ) 2 1 (1 1 4 a ) 2 T ( x) T1( x) 3 T2( x) 0 x Неподвижная точка действительные числа, только если 1-4а0. Если а1/4, то <<, T(-)=. Для x0 > и x0 < орбиты стремятся к . А.В.Павлов ОИОМ 2 2 0 x 2 T(x)=x2+a Пусть I[-,], если -2а1/4 и x0I, то T(x0)I. –3/4<a<1/4 . T’()=1-(1-4a)1/2<1 Неподвижная точка притягивающая все орбиты с x0I сходятся к . 1 2 1 2 2 0.5[ 1( 2) ] 0.51( 13) 0.5 2 x 0.25 x 0.75 0.5 0 x x 1 0 0 0 0 0.5 x 1 1 2 1 1 А.В.Павлов ОИОМ 0.5 x 2 2 Зависимость значения неподвижной точки от значения параметра а в диапазоне –3/4<a<1/4 Áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà ÈÎ Ò(õ)=à+õ^2 Примеры развития процессов при различных значениях параметра а 1. Конвергентная динамика ( -0.75<a<0.25) 0 xn 1 100 0.2 xn 1 150 0.4 xn 1 190 0.6 0.8 0 20 40 60 n Неподвижная точка устойчива (а=-3/4 при m=200) x А.В.Павлов ОИОМ 80 100 -5/4 < a < –3/4. T’()>1 Неподвижная точка отталкивающая. В то же время, T(2) доставляет пару притягивающих точек, приводящих к появлению цикла с периодом 2. a = –3/4 – точка бифуркации Áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà ÈÎ Ò(õ)=à+õ^2 2. Циклическая динамика в диапазоне значений параметра -1.401155...<a<-0.7 2.1. m=201 и m=240 - цикл периода 2 2.2. m=310 - цикл периода 4 1 xn 1 201 0 xn 1 240 xn 1 310 1 2 0 20 40 60 n x А.В.Павлов ОИОМ 80 100 a=-5/4 – снова бифуркация удвоения периода –цикл с периодом 4. На рисунке диаграмма для значений 0 < а < -1,4 При а=-2, =2, I=[-2,2], y=x пересекает график Т(n)(x) точно 2n раз, каждая точка периодическая с периодом n существуют периодические орбиты с р=2,3.4,…n Áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà ÈÎ Ò(õ)=à+õ^2 А.В.Павлов ОИОМ Áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà ÈÎ Ò(õ)=à+õ^2 3. Хаотическая динамика в диапазоне значений параметра a< -1.401155...: 1 0 xn 1 360 1 2 0 20 40 60 n x А.В.Павлов ОИОМ 80 100 Точка Фейгенбаума a=liman=-1.401155…., где an – значения точек бифуркаций. ¼<a<a - удвоение периода a<a – область хаоса в окрестности а=-1.7548777… - окно периода 3. Отношение длин интервалов между точками бифуркаций имеет предел an an1 d lim 4.669162... an1 an -постоянная Фейгенбаума. Если значения а для разных ф-ций разные, то значение d одно для очень многих ф-ций. А.В.Павлов ОИОМ Пример построения бифуркационной диаграммы для ИО «кривая ограниченного роста» 2. Цик лическ ая динамика : m=201 идиаграммы m=240(дерева - к онверг ентная динамика Пример расчета2.1. бифуркационной Фейгенбаума) 2.2. m=310 - цик л периода 2 для ИО "кривая ограниченного роста" вида Т(х)=ах(1-х) диапазон изменения значений индекса параметра а m 1 400 0.8 n 1 5000 xn 1 201 диапазон изменения значений индекса переменной х m 0.6 x 1 240 диапазон изменения значений параметра а ann m 100 xn 1 310 x1 m 0.01 начальное значение х (точка старта) xn1 m an m xn m 1 xn m ÈÎ 0.4 0 20 Áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà Ò(õ)=àõ(1-õ) 40 60 80 100 n 3. Хаотическ ая динамика в диапазоне значений параметра a>а Фейген баума 0.8 xn 1 3600.6 0.4 0.2 0 20 40 60 n x А.В.Павлов ОИОМ 80 100 Определение хаоса Пусть (X,d) метрическое пространство. Отображение T:XX называется хаотическим, если: 1. Т обладает существенной зависимостью от начальных условий, а именно: (X,d), xX, U – открытое мн-во, xU, для >0 n>0 и ()yU, что d(T(n)(x),T(n)y))>; 2. Т транзитивно, т.е. для U,V – открытых мн-в n0 такое, что T(n)(U)V; 3. Периодические точки плотны в Х, т.е. в любой окрестности точки в Х существует по крайней мере одна периодическая точка и, следовательно, бесконечное множество периодических точек. Это – строгий хаос. Строго говоря, условие (1) избыточно, т.к. оно следует из 2 и 3. А.В.Павлов ОИОМ Применение хаоса в передаче информации. А.В.Павлов ОИОМ