Документ 4929975

Считается, что эту формулу, как и треугольник,
позволяющий находить коэффициенты, изобрёл
Блез Паскаль, описавший её в XVII веке. Тем не
менее, она была известна ещё китайскому
математику Яну Хуэю, жившему в XIII веке.
Возможно, её открыл персидский учёный, поэт и
философ Омар Хайям. Исаак Ньютон обобщил
формулу для прочих показателей степени.
Первые математические открытия Ньютон сделал ещё
в студенческие годы: классификация алгебраических
кривых 3-го порядка и биномиальное разложение
произвольной (не обязательно целой) степени в 1676
году, с которого начинается ньютоновская теория
бесконечных рядов — нового и мощнейшего
инструмента анализа. Разложение в ряд Ньютон
считал основным и общим методом анализа функций,
и в этом деле достиг вершин мастерства. Он
использовал ряды для вычисления таблиц, решения
уравнений (в том числе дифференциальных),
исследования поведения функций.
• В художественной литературе «бином Ньютона» появляется в
нескольких запоминающихся контекстах, где речь идёт о чём-либо
сложном, хотя эта формула входит в школьный курс алгебры.
• В рассказе Артура Конан Дойля «Последнее дело Холмса»
Холмс говорит о математике профессоре Мориарти:
«Когда ему исполнился двадцать один год, он написал трактат о
биноме Ньютона, завоевавший ему европейскую известность.
После этого он получил кафедру математики в одном из наших
провинциальных университетов, и, по всей вероятности, его
ожидала блестящая будущность».
• Знаменита цитата из «Мастера и Маргариты» Михаила
Афанасьевича Булгакова: «Подумаешь, бином Ньютона!».
• Об этой специфической роли бинома Ньютона в культуре писал
известный математик Владимир Андреевич Успенский
Бином Ньютона - это название формулы, выражающей любую целую
положительную степень суммы двух слагаемых (бинома, двучлена) через
степени этих слагаемых, а именно:
(1),
где n — целое положительное число, а и b — какие угодно числа.
Частными случаями бинома Ньютона при n = 2 и n = 3 являются известные
формулы для квадрата и куба суммы а и b (формулы сокращенного
умножения):
(а + b)2 = а2 + 2ab + b2,
(а + b)3 = а3 + 3a2b + 3ab2 + b3;
при n = 4 получают (а + b)4 = a4+ 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 и т.д.
Коэффициенты формулы (или разложения) бинома Ньютона называют
биномиальными коэффициентами; коэффициент при an-kbk
обозначается так:
или
.
Последнее обозначение связано с комбинаторикой: есть число сочетаний
из n различных между собой элементов, взятых по k.
Биномиальные
коэффициенты
обладают
многими
замечательными свойствами:
• все они целые положительные числа;
• крайние коэффициенты равны единице;
• коэффициенты членов, равноотстоящих от концов,
одинаковы;
• коэффициенты возрастают от краев к середине;
• сумма всех коэффициентов равна 2n.
Особенно важное значение имеет следующее свойство:
сумма двух соседних коэффициентов в разложении
(а+b)n
равна
определённому
коэффициенту
в
разложении
(а+b)n+1; например, суммы 1+3, 3+3,
3+1 соседних коэффициентов в формуле для (а+b)3
дают коэффициенты 4, 6 и 4 в формуле для (а+b)4.
Вообще:
Пользуясь этим свойством, можно, отправляясь от
известных коэффициентов для (а + b)1, получить путём
сложения биномиальные коэффициенты для любого n.
Выкладки располагают в виде таблицы, которую
называют арифметическим треугольником или
треугольником Паскаля или треугольная числовая
таблица
для
составления
биномиальных
коэффициентов. По бокам треугольника Паскаля стоят
единицы, внутри — суммы двух верхних чисел.
Формула бинома Ньютона указала возможность
распространения разложения на случай дробного или
отрицательного показателя (хотя строгое обоснование
этого было дано лишь Н. Абелем в 1826 г).
В этом более общем случае формула бинома Ньютона
начинается так же, как формула (1); коэффициентом
при an-kbk служит выражение
, которое, в
случае целого положительного n, обращается в нуль
при всяком k > n, вследствие чего формула (1)
содержит лишь конечное число членов.
В случае же дробного или отрицательного n все
биномиальные коэффициенты отличны от нуля, и
правая часть формулы содержит бесконечный ряд
членов (биномиальный ряд).
Если |b| < |а|, то этот ряд сходится, т. е., взяв достаточно
большое число его членов, можно получить величину,
сколь угодно близкую к (а + b) n.
Формула бинома Ньютона играет важную роль во многих
областях математики (алгебре, теории чисел и др.).