Преобразование выражений

Выражения
Выражение – это
разнообразных операций.
Например,
2𝑎+𝑏
,
числа
𝑥 2 +𝑥𝑦+𝑦 2
𝑎−2𝑏 𝑥 2 −3𝑥𝑦+𝑦 2
и
переменные,
соединенные
знаками
и др.
Подставляя в выражение определенные значения переменных, получается
числовое выражение, которые иногда не имеет смысла.
Например, количество учащихся в классе не может выражаться дробным
числом.
В таком случае говорят об области допустимых значений (ОДЗ)
выражения.
Областью допустимых значений выражения называют множество всех
значений переменных, при подстановке которых выражение имеет смысл.
Если выражение содержит одну переменную, то его ОДЗ – числовое
множество, которое можно изобразить на числовой прямой.
Если переменных две, то ОДЗ выражения – множество пар чисел и его
можно изобразить в виде некоторой области точек на координатной плоскости.
Два выражения считаются тождественно равными, если равны их
числовые значения при любых допустимых значениях переменных, входящих в
это выражение.
Тождество – это два тождественно равных выражения соединенных
знаком равно
Например, (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 ; 𝑎2 − 𝑏 2 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏) и т.д.
Иногда используют тождества, имеющие разные ОДЗ.
Например,
𝑎2 −𝑏2
𝑎−𝑏
= 𝑎 + 𝑏; (√𝑎)2 = 𝑎 и т.д.
Иногда искусственно уменьшается ОДЗ выражения. Тогда говорят о
тождестве, выполняющемся на некотором множестве.
𝜋
𝜋
Например, arcsin(sinx)=x – тождество на промежутке [− ; ]; √𝑥 2 = 𝑥 2 2
тождество на промежутке [0; +∞) и т.д.
Тождественное преобразование выражения – это переход от одного
выражения к тождественно равному выражению.
При разложении многочленов на множители пользуются формулами
сокращенного умножения:
(𝑥 − 𝑦)2 = 𝑥 2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦 2
(𝑥 + 𝑦)2 = 𝑥 2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦 2
𝑥 2 − 𝑦 2 = (𝑥 − 𝑦)(𝑥 + 𝑦)
𝑥 3 − 𝑦 3 = (𝑥 − 𝑦)(𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 𝑦 2 )
𝑥 3 + 𝑦 3 = (𝑥 + 𝑦)(𝑥 2 − 𝑥𝑦 + 𝑦 2 )
(𝑥 + 𝑦)3 = 𝑥 3 + 3𝑥 2 𝑦 + 3𝑥𝑦 2 + 𝑦 3
(𝑥 − 𝑦)3 = 𝑥 3 − 3𝑥 2 𝑦 + 3𝑥𝑦 2 + 𝑦 3
Формулы разности квадратов и разности кубов обобщаются на любой
a n  b n   a  b    a n 1  a n  2b  ...  ab n  2  b n 1  , n  N.
натуральный показатель:
Формула суммы кубов обобщается на любой нечетный показатель:


a 2 n 1  b 2 n 1   a  b   a 2 n  a 2 n 1b  ...  ab 2 n 1  b 2 n , n  N.
Некоторые правила сокращенного умножения были известны еще около 4
тысяч лет тому назад. Их знали вавилоняне и другие народы древности. Но
тогда они формулировались словесно или геометрически.
У древних греков величины обозначались не числами или буквами, а
отрезками прямых. Они говорили не «а2», а «квадрат на отрезке а»; не «ab», а
«прямоугольник, содержащийся между отрезками а и b».
Например, тождество (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 во второй книге «Начал»
Евклида (III в. до н.э.) формулировалось так: «Если прямая линия (отрезок) каклибо рассечена, то квадрат на всей прямой равен квадратам на отрезках вместе
с дважды взятым прямоугольником, заключенным между отрезками».
Пример 1. Разложить на множители 𝑦 4 + 2𝑦 3 − 2𝑦 − 1.
Решение. 𝑦 4 + 2𝑦 3 − 2𝑦 − 1=(𝑦 4 − 1) + 2𝑦(𝑦 2 − 1)=
= (𝑦 2 − 1)(𝑦 2 + 1) + 2𝑦(𝑦 2 − 1)= (𝑦 2 − 1)(𝑦 2 + 2𝑦 + 1)=
= (𝑦 − 1)(𝑦 + 1)(𝑦 + 1)2 = (𝑦 − 1)(𝑦 + 1)3
Ответ: (𝑦 − 1)(𝑦 + 1)3
Пример 2. Разложить на множители 𝑎3 + 9𝑎2 + 27𝑎 + 19.
Решение. 𝑎3 + 9𝑎2 + 27𝑎 + 19=(𝑎3 + 9𝑎2 + 27𝑎 + 27) − 8=
=(𝑎 + 3)3 − 8=(𝑎 + 3)3 − 23 =(𝑎 + 3 − 2)((𝑎 + 3)2 + 2(𝑎 + 3) + 4)=
=(𝑎 + 1)(𝑎2 + 6𝑎 + 9 + 2𝑎 + 6 + 4)= (𝑎 + 1)(𝑎2 + 8𝑎 + 19)
Ответ: (𝑎 + 1)(𝑎2 + 8𝑎 + 19)
Разложите на множители:
1) 𝑎6 − 1
2) 5𝑎3 𝑐 + 10𝑎2 − 6𝑏𝑐 − 3𝑎𝑏𝑐 2
3)
4) 𝑎4 + 4𝑎2 − 5
5) 𝑎6 + 𝑎4 + 𝑎2 𝑏 2 + 𝑏 4 − 𝑏 6
6) 𝑎4 − 6𝑎2 + 5
7) 4𝑎2 − 14𝑎𝑏 + 8𝑏 2
8) 𝑥 2 + 𝑎𝑥 − 𝑎2 𝑦 − 𝑎𝑥𝑦
9)
10) 4𝑎2 − 12𝑎𝑏 + 5𝑏 2
Иногда при разложении на множители используют теорему Безу.
Пример 3. Разложить на множители 𝑥 3 − 6𝑥 2 + 11𝑥 − 6.
Решение. Найдем делители числа – 6: 1, 2, 3 и 6.
Проверяем, какое из этих чисел является корнем многочлена:
(−1)3 − 6(−1)2 + 11(−1) − 6 = −24 ≠ 0;
(1)3 − 6(1)2 + 11(1) − 6 = 0. Значит х=1.
Делим многочлен 𝑥 3 − 6𝑥 2 + 11𝑥 − 6 на х – 1: получаем 𝑥 2 − 5𝑥 + 6.
Многочлен 𝑥 2 − 5𝑥 + 6 раскладывается на множители (х – 2)(х – 3),
следовательно, 𝑥 3 − 6𝑥 2 + 11𝑥 − 6=(х – 1) (х – 2)(х – 3).
Ответ: (х – 1) (х – 2)(х – 3).
Разложите на множители:
1) 4𝑥 3 − 3𝑥 − 1
2) 𝑥 3 − 3𝑥 2 + 4
3) 𝑥 3 + 2𝑥 − 3
4) 𝑥 3 + 4𝑥 2 − 24
5) 4𝑥 3 + 6𝑥 2 + 4𝑥 + 2
6)
7) 𝑥 4 − 4𝑥 3 + 7𝑥 2 − 16𝑥 + 12
8) 𝑥 3 − 3𝑥 2 + 4𝑥 − 12
9) 𝑥 3 + 5𝑥 2 + 4𝑥 + 20
10) 15𝑥 3 + 23𝑥 2 + 9𝑥 + 1
Формулы квадрата и куба суммы являются частными случаями формулы
бинома Ньютона:
(𝑎 + 𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛 + 𝑛𝑎𝑛−1 𝑏 +
𝑛(𝑛−1)
1∙2
𝑎𝑛−1 𝑏 2 +
𝑛(𝑛−1)…(𝑛−(𝑘−1))
1∙2…∙𝑘
𝑎𝑛−𝑘 𝑏 𝑘 + ⋯ + 𝑏 𝑛
Коэффициенты в формуле бинома Ньютона называются биномиальными
коэффициентами.
Биномиальные коэффициенты можно вычислять, используя схему,
которая называется треугольником Паскаля. Все строки начинаются и
заканчиваются единицей, каждый внутренний элемент строки равен сумме двух
соседних элементов в предыдущей строке, стоящих над искомым элементом:
Показатель степени
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
...................................
0
1
2
3
4
5
...
Числа в строке с определенным номером n, nN,
последовательными коэффициентами в формуле для данного n.
Формула бинома Ньютона обладает следующими свойствами:
являются
1) в разложении двучлена (𝑎 + 𝑏)𝑛 по формуле Ньютона содержится n+1
член;
2) в разложении (𝑎 + 𝑏)𝑛 показатель степени а убывает от n до 0, а
показатель степени b возрастает от 0 до n;
3) сумма показателей степеней a и b в каждом члене равна n;
4) биномиальные коэффициенты членов, равноудаленных от концов
разложения, равны между собой;
5) сумма биномиальных коэффициентов разложения (𝑎 + 𝑏)𝑛 равна 2n;
6) сумма биномиальных коэффициентов членов, стоящих на четных
местах, равна сумме коэффициентов членов, стоящих на нечетных местах, и
равна 2𝑛−1 .
Разложение (𝑎 − 𝑏)𝑛 выполняется по тем же правилам с учетом
чередования знаков: «+», «–», «+», «–», «+» … и т.д.
Пример 4. Вычислить, используя формулы сокращенного умножения,
значение выражения


33 2  23 2
 0,85 2  0,15 2  10 .
18  22  16  24
Решение. Используем формулу разности квадратов. Заданное выражение
приобретает вид:
(33  23)(33  23)
 0,85  0,15   0,85  0,15   10 
(20  2)  (20  2)  (20  4)  (20  4)

10  56
560
 0,7  1  10 
 7  40  7  33.
400  4  400  16
14
Ответ: 33
Найдите значение выражения:
0,32  0,7 2  4,8  5,2;
1)
0,4
2)
4  0,1  3,99
 0,725(8);
1  (0,97)2
19 4
3
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
 1  3
 7   11 
 4  4
3

1687
.
16
10)
Пример 5. Известно, что a+b+c=12 и ab+ac+bc=22. Квадратом какого
2
2
2
натурального числа является значение а  b  c ?
a  b  c 2  a 2  b2  c 2  2ab  ac  bc,
Решение.
Так
как
a 2  b 2  c 2  a  b  c 2  2ab  ac  bc. Далее получаем: а 2  b2  c 2  12 2  2  22
выражаем:
 100.
Если обозначить искомое число через х, то x2=100 т. е. x=10. Поскольку
xN, то в качестве ответа подходит x=10.
Ответ: 10
3xy 4  3x 4 y
Пример 6. Вычислить значение выражения
5xy3  5x3 y
при у=1,6, х= –1,4.
Решение. Упростим выражение, используя формулы суммы кубов и
2
2
3xy 4  3x 4 y 3xyy 3  x 3  3 y  x y 2  xy  x 2 


  3y  xy  x  .
3
3
2
2
5 y  x  y  x 
5 y  x 
разности квадратов: 5xy  5x y 5xyy  x 
При y = 1,6 и x = –1,4 полученное выражение будет равно

3  1, 62  1, 6 1, 4  1, 42
5  1, 6  1, 4 
  2,56  1,5  0,1  1,5  0,1  1,96 
5
4,52  1,5  0,1
4,52  2, 25  0, 01 6, 76 676
176  2



 1

5
5
5
500
500  2
352
 1
 1,352.
1000
2

2
Ответ: 1,352
Пример 7. Разложите выражение (2𝑎 − 𝑏)5 по формуле бинома Ньютона.
Решение. Используем формулу бинома Ньютона и треугольник Паскаля
учетом
n=5.
Разложение
будет
иметь
вид:
с
2a  b 5  2a 5  52a 4 b  10 2a 3 b 2  10 2a 2 b3  52a b 4  b5 
 32 a 5  80 a 4b  80 a 3b 2  40 a 2b3  10 ab4  b5 .
Разложите по формуле бинома Ньютона:
1) (𝑥 + 𝑦)8
2) (3 +
5) (√5 − 1)5
6) (1 + 2𝑥)7
𝑎
9) ( − 3𝑏)6
3) (𝑥 + 0,1𝑦)4
1 5
)
3𝑎
4) (1 − 2𝑥)5
1
8)
7) (𝑥 − )10
𝑥
10)
2
a14  a13  ...  a  1
,
Пример 8. Упростить выражение a 4  a3  a 2  a  1 используя формулы
сокращенного умножения, а затем вычислить его значение для a=2.
Решение. Умножим числитель и знаменатель дроби на (a – 1) и
a  1a14  a13  ...  a  1  a15  1 .


(a  1) a 4  a3  a 2  a  1
используем формулу. Получаем
a5  1
Далее используем формулу разности кубов:
a15  1
a 1
5

a   1  a  1a
5 3
5
a 1
Если a=2, то
10
5
a
 a5  1
a 1
5
10
 a5  1.
a10  a5  1  210  25  1  1024  32  1  1057 .
Ответ: 1057
Упростите выражение:
2)
3)
1)
a 29  a 28  ...  a  1
.
a9  a8  ...  a  1
5)
6)
4)
x35  x34  ...  x  1
;
x11  x10  ...  x  1
8)
9)
7)
10)
Упражнения
1. Докажите тождествo:
1) 𝑎6 − 𝑏 6 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2 )(𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏 2 )
2) (
𝑎−𝑏
2𝑏−𝑎
−
𝑎2 +𝑏2 +𝑏
2𝑏−𝑎
) : 𝑎2−𝑎𝑏−2𝑏2 =
𝑎2 −2𝑏2 −𝑎𝑏
2𝑎2 +𝑏
𝑎−2𝑏
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
2. Докажите условные тождества, если a+b+c=0:
1) (𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 )2 = 2(𝑎4 + 𝑏 4 + 𝑐 4 )
2)
3) 𝑎5 + 𝑏 5 + 𝑐 5 = 𝑎𝑏𝑐(𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 )
5
4)
5) 5(𝑎3 + 𝑏 3 + 𝑐 3 )(𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 ) = 6(𝑎5 + 𝑏 5 + 𝑐 5 )
6)
2
7) (
𝑎−𝑏
𝑐
+
𝑏−𝑐
𝑎
+
𝑐−𝑎
𝑏
𝑐
𝑎
𝑏
) (𝑎−𝑏 + 𝑏−𝑐 + 𝑐−𝑎) = 9
9)
3. Упростите выражение:
8)
10)
2
2
2
2
1) m  n  m  n  2mn
m2  n2
2 m 2  2n 2
2)
4)
5)
25m 2  121n 2  110 mn
2
2
(50m  242 n ) :
5
7)
10m 7  10n 7
81m 2  64n 2

81m 2  64n 2  144 mn 5m 7  5n 7
3a 2  5a  2
3a 2  3a  18
x 2  4 xy  3 y 2
3) 2
x  5 xy  4 y 2
6)
25
2a
a  25a

 3
;
a  5a  25 5  a a  125
3
2
8)
x 2  (a  b)  x  ab x 2  c 2

.
x 2  (a  c)  x  ac x 2  a 2
10)
4. Найдите значение выражения:
m2
m
1) (n  2m 
)(
 1) при m=1/2, n=0,75
n mn





2)

2
4
8
16
3) a  1  a  1  a  1  a  1  a  1 при а=2
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
5. Найдите:
1)
 x1 x2 
  ;
 x2 x1  ,
2)
7
1
5
5
если 𝑥1 + 𝑥2 = и 𝑥1 ∙ 𝑥2 = −
7
1
5
5
3) 𝑥1 3 + 𝑥2 3 , если 𝑥1 + 𝑥2 = и 𝑥1 ∙ 𝑥2 = −
5)
1
1
 2;
2
x1 x2
2
4)
6)
, если 𝑥1 + 𝑥2 = 0,3 и 𝑥1 ∙ 𝑥2 = 2
7) 𝑥1 6 + 𝑥2 6 , если 𝑥1 + 𝑥2 = 0,3 и 𝑥1 ∙ 𝑥2 = 2
8)
9)
10)
9)