Лекция 4. Тонкостенные оболочки и толстостенные трубы Оболочка – это тело, одно из измерений которого (толщина) значительно меньше других размеров. Срединная поверхность оболочки – это геометрическое место точек, равноотстоящих от обеих поверхностей оболочки. Мизг= 0 Исходные положения безмоментной теории 1. Сосуд имеет форму тела вращения (срединная поверхность – тело вращения), толщина сосуда необязательно постоянна. 2. Толщина всех стенок сосуда δ должная быть малой по сравнению с радиусом кривизны оболочки R: R 1 20 3. Нагрузка должна быть распределенной и осесимметричной относительно оси вращения – это газовое и гидростатическое давление Уровень жидкости Теория применима. Теория неприменима. Уравнение Лапласа Рассмотрим тонкостенную оболочку, нагруженную внутренним давлением. Двумя меридиональными сечениями и двумя нормальными коническими сечениями вырежем элемент оболочки. Уравнение Лапласа, элемент оболочки Уравнение Лапласа, равновесие элемента Спроектируем все силы на направление нормали n: m d . . t d t d . . m d q t d . m d 0 Сначала сократим на dd , а затем все разделим на t m . В результате получаем известную формулу Лапласа: m t q m t (*) Равновесие части тонкостенной оболочки Отбросим верхнюю часть и рассмотрим равновесие нижней части: σm φ φ φ rx σm δ x Px x m .2rx cos Px 0 Px m 2rx cos (**) Теорема 1 q Теорема 1. Px q qFпр Fпр x Px Если на какую либо поверхность действует равномерно распределенное давление q , то независимо от формы поверхности, проекция равнодействующей Px сил давления на заданную ось x равна произведению давления q на площадь проекции Fпр данной поверхности на плоскость, перпендикулярную заданной оси. Теорема 2 Теорема 2. Px abh h a b Px Если на некоторую поверхность, например на дно, действует давление жидкости с удельным весом γ, то вертикальная составляющая Px сил давления жидкости равна весу жидкости в объеме, расположенном над поверхностью. Напряжения в сфере под давлением Сфера m t q m t R m t R В силу сферической симметрии m t qR Напряжения в трубе под давлением Цилиндр t R m m q Px m m t q m t ; Px m 2rx cos m ; ; t R Px qR 2 ; ; t m qR 2 qR Напряжения в конусе под давлением Конус rx xtg m t t t t r m m m x m t q m t xtg ; t cos x x Px ; t qxtg cos Px 2 P q xtg x ; 2rx cos ; qxtg m 2 cos Торовая оболочка Напряжения в торе под давлением Для выделенного элемента тора Px t ; 2rx sin Px q rx a rx a r sin qr 2a r sin t 2 a r sin m t q m t ; qr a r sin m m sin ; 2 2 2 Напряжения в торе (продолжение) 120 90 30 60 22.5 150 t( ) MPa m( ) 30 15 q r 2 a r sin ( ) t( ) 2 a r sin ( ) 7.5 180 0 0 MPa 210 330 240 300 270 Окружное напряжение Меридиональное напряжение m( ) q r 2 Толстостенная труба (формулы Лямэ) tmax tmin b t a r r rmax qa 2 b 2 r r 2 2 1 2 r max q b a r ; qa 2 b 2 t r 2 2 1 2 b a r t max q b2 a 2 2 b a2 ; ; r min 0 qa 2 z 2 2 ; b a 2qa 2 t min 2 2 b a Погрешность при замене формулы Лямэ на формулу Лапласа 1 ( s) 1 R 4 s 2 Погрешность вычислений, % 4 3 2 1 0 0 0.1 0.2 0.3 Отношение толщины трубы к радиусу 0.4 Погрешность вычислений напряжений