Конспект занятия по дисциплине «Элементы высшей математики»

1
Рыжкина Галина Анатольевна
ГБОУ СПО Тольяттинский социально-экономический колледж
преподаватель математики
Конспект занятия по дисциплине «Элементы высшей математики»
для студентов II курса специальности 230401 Информационные системы (по отраслям)
Тема занятия «Кривые второго порядка»
Вид занятия: практическое занятие, 2часа
Цели и задачи занятия:
 Обобщение, расширение и углубление знаний по теме «Кривые второго порядка».
Повторение теоретического материала по теме, отработка навыков определения
типа кривой второго порядка по заданному уравнению и изображения кривой,
составления уравнений кривой второго порядка по заданным условиям.
 Развитие интеллектуальных навыков: анализа, синтеза, сравнения, сопоставления;
внимания, памяти; коммуникативных умений и навыков.
 Воспитание математической культуры, познавательной активности, повышение
интереса к изучаемому материалу.
Наглядный материал: раздаточный материал для повторения теоретического материала и
выполнения практических задач.
I.
Организационный момент - проверка готовности группы к занятию.
Объявление целей и задач урока.
Вступительное слово преподавателя: Сегодня мы продолжаем изучение кривых
второго порядка. На предыдущем занятии вы получили теоретические знания по теме,
которые необходимо научиться применять при решении практических задач. Данная тема
важна в прикладной математике, широко применяется в физике и астрономии. Впервые
кривые второго порядка изучались в V веке до н.э. одним из учеников Платона –
древнегреческого математика. Однако эти научные знания нашли применение лишь в XVII
веке, когда стало известно, что планеты движутся по эллиптическим траекториям, а
пушечный снаряд летит по параболической. Ещё позже стало известно, что если придать
телу первую космическую скорость, то оно будет двигаться по окружности вокруг Земли,
при увеличении этой скорости – по эллипсу, а по достижению второй космической скорости
тело по параболе покинет поле притяжения Земли. Таким образом, изучению темы «Кривые
второго порядка» в математике придаётся большое значение.
Работаем сегодня следующим образом: повторяем основной теоретический
материал, без знаний которого невозможно приступить к решению задач. Затем разберём
задачи домашнего задания и приступим к разбору задач, в ходе решения которых мы должны
научиться определять тип кривой второго порядка по заданному уравнению, изображать
кривую и составлять её уравнение по заданным условиям. В ходе занятия ваши ответы
правильные и неправильные будут фиксироваться в оценочном листе группы по каждому
этапу занятия (правильный ответ знаком «+», неправильный ответ знаком «-»). В конце
занятия подведём итоги нашей работы.
II.
III. Проверка домашнего задания.
1. Повторение теоретического материала.
Студентам выдается раздаточный материал, в котором собраны основные определения,
понятия, формулы по данной теме, при этом пропущены ключевые слова, которые студентам
необходимо вставить в ходе фронтального опроса. (Данный материал студенты затем
используют для подготовки к теоретическому зачёту по теме «Элементы аналитической
геометрии»).
2
1. Эллипсом называется множество точек плоскости, для каждой из которых сумма
расстояний до двух данных точек той же плоскости, называемых фокусами эллипса есть
величина постоянная, равная 2a.
y
B2
M
A1
F1
F2
0
A2
x
B1
 Точки пересечения эллипса с его осями симметрии называются вершинами эллипса.
На чертеже обозначены буквами А1, А2, В1, В2 и имеют координаты А1(-a;0),
А2(a;0),В1(0;-b), В2(0;b)
 Отрезок между двумя вершинами, содержащий фокусы, называется большой осью
эллипса (на чертеже обозначен А1А2 и равен 2a), половина его длины – большой
полуосью эллипса.
 Отрезок между вершинами на оси симметрии, не содержащий фокусов, называется
малой осью эллипса (на чертеже обозначен В1В2 и равен 2b), половина его длины малой полуосью.
c
 Величина   называется эксцентриситетом эллипса, где c – половина расстояния
a
между фокусами, определяемая по формуле с 
a 2  b2
x2 y2

 1 (1)
a2 b2
 Уравнение (1) получено в предположении, что F1 и F2 различные точки, т.е. с>0.
 Каноническое уравнение эллипса имеет вид
Тогда b<a. При a=b (c=0) уравнение (1) имеет вид x 2  y 2  a 2 и определяет кривую,
называемую окружностью. Эту кривую называют так же «вырожденным» эллипсом, у
которого фокусы совпали, либо частным случаем эллипса.
 Эксцентриситет  эллипса характеризует степень вытянутости эллипса. Чем ближе
эксцентриситет к нулю, тем больше эллипс похож на окружность. Чем ближе
эксцентриситет к 1, тем сильнее вытянут эллипс. 0<  <1
2. Гиперболой называется множество точек плоскости, для каждой из которых
абсолютная величина разности расстояний до двух данных точек той же плоскости,
называемых фокусами гиперболы, есть величина постоянная, равная 2a.
3
 Точки пересечения гиперболы с осью Ох называются вершинами гиперболы, отрезок
между ними называется действительной осью гиперболы. На чертеже обозначены
буквами А1, А2 и имеют координаты А1(-a;0),А2(a;0).
 Отрезок оси ординат между точками (0; - b) и (0; b) называется мнимой осью. На
чертеже он обозначен В1В2 .
 Числа a и b называются соответственно действительной и мнимой полуосями
гиперболы.
b
 Уравнения асимптот гиперболы имеют вид y   x
a
c
 Величина  
называется эксцентриситетом гиперболы, где c – половина
a
расстояния между фокусами c>a, т.е. у гиперболы.  > 1. Эксцентриситет 
гиперболы характеризует угол между асимптотами, чем ближе  к 1, тем меньше этот
угол.
x2 y2
 Каноническое уравнение гиперболы имеет вид: 2  2  1 , где b 2  c 2  a 2 . При a=b
a
b
получаем равностороннюю гиперболу, известную из школьного курса математики, её
уравнение x 2  y 2  a 2
3. Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых равноудалена
от данной точки этой плоскости, называемой фокусом и данной прямой, лежащей в той же
плоскости, называемой директрисой параболы.
y
M
K
D
0
F
x
 Расстояние FD – расстояние между фокусом и директрисой равно p.
4
p
p
; 0), уравнение директрисы х = 2
2
 В выбранной системе координат каноническое уравнение параболы имеет вид y2=2px.
Если парабола задана каноническим уравнением, то ось симметрии совпадает с осью
Ох и ветви направлены вправо.
Тогда координаты F (
При фронтальном опросе теоретического материала преподаватель обращает внимание
студентов на следующие моменты:
1) при a<b в каноническом уравнении эллипса большая ось вместе с фокусами находиться на
оси Оy;
x2 y2
2) если уравнение гиперболы имеет вид  2  2  1 , то гипербола называется
a
b
«сопряжённой» и её действительная ось вместе с фокусами находиться на оси Оy;
3) если уравнение параболы x 2 =2py, то парабола симметрична относительно оси Oy и ветви
параболы направлены вверх; x 2 =-2py парабола симметрична относительно оси Oy и ветви
параболы направлены вверх
II. Проверка решения практических заданий.
Краткое решение задач заранее изображено на доске тремя студентами, справившимися с
домашним заданием. На уроке они выходят к доске, комментируют решение и отвечают на
вопросы студентов группы. Преподаватель по мере необходимости дополняет, задаёт
вопросы, обращает внимание на важные моменты в решении.
№1. Написать уравнение эллипса, если его фокусы находятся в точках F1(3;0), F2(-3;0),
а длина большой оси равна 12.
Решение: Так как F1(3;0), F2(-3;0), то с=3, фокусы лежат на оси Ох, большая ось 2а=12, а=6.
x2 y2
b 2  a 2  c 2 , b 2  36  9  27 . Каноническое уравнение эллипса имеет вид

 1.
a2 b2
Тогда, подставляя значения a и b, имеем
Ответ:
x2 y2

 1.
36 27
x2 y2

 1.
36 27
№2. Дано уравнение гиперболы 3х2-y2=12. Найти её действительную и мнимые полуоси,
координаты фокусов, эксцентриситет, составить уравнение асимптот.
Решение: Приводим уравнение 3х2-y2=12 к каноническому виду, разделив обе части
уравнения на 12.
3x 2 y 2
x2 y2

 1,

1
12 12
4
3
Действительная полуось а=2, мнимая полуось b= 3 . Так как асимптоты гиперболы имеют
b
c
уравнения y   x , фокусы координаты (-с; 0), (c; 0), эксцентриситет   , с  a 2  b 2 ,
a
a
то для данной гиперболы получены координаты фокусов (- 7 ; 0), ( 7 ; 0), эксцентриситет

3
7
x.
, уравнение асимптот y  
2
2
3
7
x
, y
2
2
№3. Написать уравнение параболы с вершиной в начале координат, зная, что
координаты фокуса F(3; 0).
Ответ: а=2, b= 3 ; (- 7 ; 0), ( 7 ; 0);  
5
Решение: каноническое уравнение параболы y 2 =2pх, координаты фокуса F (
условию задачи
p
; 0). По
2
p
=3, p =6. Тогда y 2  2  6  x , y 2  12 x
2
Ответ: y 2  12 x
IV. Закрепление материала при решении задач.
№ 1. Выбрать из указанных линий кривые второго порядка и определить их тип.
Студенты получают карточки-задания по вариантам, решают задачу самостоятельно в
тетрадях, записывают уравнения кривых второго порядка и определяют их тип. Затем
меняются тетрадями в парах для взаимопроверки. При дальнейшем фронтальном опросе с
комментариями преподавателя проверяется решение задачи.
I вариант
II вариант
1) x 2  2 y
x2 y2
1)

1
25 9
2) x 2  y 2  3
2) y  2 x
2
3) x 2  y 2  3
3) y  5 x  1
4) 
2
2
x
y

1
4 16
5) ( x  1)  ( y  2)  4
2
2
4)
x y
 1
9 4
5)
x2 y2

1
4 16
Решение №1 .
I вариант
x2 y2

1
25 9
1)
эллипс
II вариант
а=5,
b=3,
2)
y  2x
x2  2y
координат,
действительная ось и фокусы на оси Ох
2
1)
парабола, вершина в начале
парабола
симметрична
относительно оси Оy, ветви направлены
парабола, вершина в начале вверх.
координат,
симметрична 2) x 2  y 2  3 равносторонняя гипербола
относительно оси Ох, ветви направлены
действительная и мнимая полуоси равны 3
вправо.
3) x 2  y 2  3 окружность с центром в начале
2
2
x
y

 1 гипербола, действительная
4) 
координат, R= 3 .
4 16
ось
и
фокусы
парабола
находятся
на
оси
Оy.
Действительная полуось b=4, мнимая a= 2.
5)
( x  1) 2  ( y  2) 2  4
центром (1; -2), R=2.
окружность
5)
x2 y2

1
4 16
эллипс
а=2,
b=4,
с действительная полуось и фокусы лежат на
оси Оy, т.к. b>a
6
№ 2. Установить соответствие между уравнениями кривой и ее графическим
изображением.
Студенты получают раздаточный материал с заданием и самостоятельно на отдельном листе
с указанием фамилии записывают соответствие. Листы сдаются на проверку преподавателю.
Результаты с комментариями преподаватель оглашает после решения задачи №3 и вносит
оценки для каждого студента в оценочный лист группы.
1) 
x2 y2

 1 2) y 2  4 x
4
9
3)
x2 y2

1
9
4
4)
x2 y2

1
9
4
5)
x2 y2

1
4
9
6) x 2  4 y
б)
a)
y
3
F2
-2
2
x
F1
-3
в)
г)
y
y
x = -1
2
F2
F1
-3
F
3
x
-2
-1
0
1
x
7
д)
е)
y
1
F
0
1
-1
x
y= - 1
Решение №2 .
1–е
2–г
3–в
4–а
5–б
6–д
№3. Построить кривую. Найти фокусы и эксцентриситет для эллипса и гиперболы,
фокус и директрису для параболы.
а) x 2  4 y 2  16
б) 4 x 2  y 2  4
в) y 2  8 x
Решается у доски поочередно студентами. Преподаватель при необходимости задаёт
вопросы студенту у доски или группе.
Решение №3 .
а) x 2  4 y 2  16
x2 4y2

1
16 16
2
y
2
x
y

 1 каноническое уравнение эллипса
16 4
2
a=4, b=2
F1
F2
-4
4
c  a 2  b 2  16  4  12  2 3  3,4
x
-2
F1(- 2 3 ; 0), F2( 2 3 ; 0)
a>b действительная ось и фокусы на оси
Ох.  
c 2 3
3


1
a
4
2
8
б) 4 x  y  4
2
x2 
2
y2
 1 каноническое уравнение
4
гиперболы
a=1, b=2, действительная ось и фокусы
лежат на оси Ох.
с 2  a 2  b 2  1  4  5 , c= 5
F1(- 5 ; 0), F2( 5 ; 0)

в)
c
3

1
b
2
y 2  8 x каноническое
уравнение
y
параболы, вершина в начале координат,
симметрична относительно оси Ох, ветви
направлены вправо.
F
-2
2
y =2px
0
1
x
2p=8, p=4
p
F ( ; 0), F (2; 0)
2
Уравнение директрисы x= -
p
2
x= - 2
№4. Составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через точки
3 5
М1 (2;3), М2 (1;
).
2
Задача решается у доски.
Решение №4 .
Каноническое уравнение эллипса имеет вид:
x2 у2

 1. Так как точки М1 и М2
а2 b2
принадлежат эллипсу, то их координаты удовлетворяют уравнению эллипса. Подставляя
координаты точек М1 и М2 в уравнение эллипса, получим систему уравнений
9
4
 2  1,
2

а
b

 1  45  1.

 а 2 4b 2
(2)
4 m  9 n  1
1
1

Обозначая 2 =m 2 =n, запишем систему уравнений (2) в виде 
45n
а
b
m
1

4

Решаем систему способом сложения. Второе уравнение умножаем на (-4) и складываем с
первым.
9
1

n


12

m  45n  1

4

1
48  45
3
1
m  1  45 



48
48
48 16
2
2
a  16, b  12
 36 n  3


45n
m
1

4

x2 у2

1
16 12
Ответ:
1

n


12

m  1  45n

4

x2 у2

1
16 12
Дополнительные задачи для студентов, быстро решивших №4.
№ 5. Найти уравнение асимптот гиперболы 2 x 2  3 y 2  6 .
Решение №5 .
2 x 2  3 y 2  6 Приведем данное уравнение гиперболы к каноническому виду, разделив обе
x2 y2
части на 6, получим

 1 . Следовательно a 2  3 , a  3 , b 2  2 , b  2 . Гипербола
3
2
b
имеет две асимптоты, определяемые уравнениями y   x . Подставляя найденные
a
2
значения a и b в уравнение асимптот, получаем y  
x . Запишем общие уравнения
3
асимптот 2 х  3 у  0 и 2 х  3 у  0 .
Ответ:
2х  3у  0 ,
2х  3у  0
№6. Парабола с вершиной в начале координат проходит через точку А (2;4) и
симметрична относительно оси Ox. Найти фокус, уравнение параболы и ее директрисы.
Решение №6 .
Так как парабола проходит через точку О(0;0) и симметрична относительно оси Ох, то её
уравнение y 2 =2px. Подставляя координаты точки А в это уравнение, т.е. 42=2р*2, найдем
параметр р=4. Следовательно, уравнение параболы y 2 =8х. Уравнение её директрисы х= - 2,
фокус параболы F(2;0).
Ответ: F (2; 0), y 2 =8х, х= - 2
V. Подведение итогов урока.
Преподаватель отмечает, в какой мере достигнуты цели; называет итоговые оценки за
занятие, аргументируя их при этом; отмечает активных и хорошо подготовленных по теме
студентов, освобождая их от сдачи зачета по вопросу «Кривые второго порядка» в рамках
зачета по разделу «Элементы аналитической геометрии»; обращает внимание на вопросы,
которые студентам необходимо отработать при подготовке к контрольной работе.
VI. Домашнее задание.
1. Повторить теоретический материал по темам «Векторы на плоскости», «Уравнение
прямой на плоскости», Кривые второго порядка» по следующим вопросам:
- Понятие вектора на плоскости (основные определения); линейные операции над векторами,
их свойства; скалярное произведение векторов, его свойства; базис на плоскости.
- Прямая на плоскости (уравнение прямой с угловым коэффициентом; уравнение прямой в
отрезках; общее уравнение прямой; уравнение прямой, проходящей через точку в данном
направлении; каноническое уравнение прямой; уравнение прямой, проходящей через две
10
точки; угол между прямыми; взаимное расположение прямых на плоскости; расстояние от
точки до прямой).
- Кривые второго порядка: эллипс, парабола, гипербола (определение, уравнение в
каноническом виде, чертеж, основные понятия)
2. Решить задачи:
2.1. Составить уравнение эллипса, зная, что:
a) расстояние между фокусами 2c=10, большая ось 2a=16; б) малая полуось в=8,
эксцентриситет  =0,6; в) сумма полуосей а + в=12, а расстояние между фокусами 2с=6 2 .
2.2. Действительная полуось гиперболы равна 5, эксцентриситет  =1,4. Найти уравнение
гиперболы.
2.3. Составить уравнение параболы, зная, что её вершина находится в начале координат и
расстояние от фокуса до вершины равно 4 единицам длины, а осью симметрии служит ось
Ох.
2.4. Построить кривую. Найти фокусы и эксцентриситет для эллипса и гиперболы, фокус и
директрису для параболы.
y2
x2 y2
2
1
а) x 
б)
в) x 2  8 y

1
4
25 4
Решение 2.4.
а) x 2 
y2
 1 эллипс, действительная ось
4
y
и фокусы лежат на оси Оу.
2
F2
a=1,b=2, b>a
с  b 2  a 2  4 1  3
F1 (0; -

б)
3 ), F2 (0;
-1
3)
F1
-2
c
3

1
b
2
x2 y2

 1 гипербола,
25 4
a=5,b=2, а>b
действительная ось на оси Ох.
с  a 2  b 2  25  4  29 ,
29 =5,4
F1 ( 29 ; 0), F2 (- 29 ; 0)

c
29

1
b
5
в) x 2  8 y парабола, вершины в О (0; 0)
симметрична относительно оси Оу, ветви
направлены вверх
x 2 =2px, 2р=8,р=4
F (2; 0)
уравнение директрисы у = -2
1
x
11
y
F
0
2
1
у= -2
x
-2
Литература:
1.
Аналитическая геометрия. Кривые второго порядка: учеб. пособие/А.А. Грешилов, Т.И.
Белова. – М.: Логос, 2004.-128с.
2.
Аналитическая геометрия. Справочное пособие к решению задач./ Гусак А.А.- Минск:
ТетраСистемс.2003.-387с.
3.
Геометрия на профильном уровне обучения: кривые как геометрические места точек/ И.
Смирнова, В. Смирнов//Математика (Прилож. к газ. «Первое сентября»/. – 2006.
4.
Математика для техникумов на базе средней школы/ И.И. Валуцэ. – М.: Наука: Главная
редакция физ.-мат. Литературы, 1980. – 496с.
5.
Математический энциклопедический словарь/ Гл. ред. Ю.В. Прохоров; Ред. Кол.: С.И
Адян, Н.С Бахвалов, В.И. Битюцков, А.П. Ершов, Л.Д. Кудрявцев, А.Л. Онищук, А.П.
Юшкевич. – М.: Сов. энциклопедия, 1988. – 847с.
6.
Начала высшей математики: Пособие для вузов/ Шипачев В.С. – М.:Дрофа, 2002. -384с.
7.
Основы курса высшей математики: учебник для вузов/ В.Л. Матросов.– М.: ВЛАДОС,
2002. – 544с.
12
Приложение 1.
Оценочный лист
Тема «Кривые второго порядка»
Группа ПОВТ-21
№
Ф.И.
Проверка
п/п студента домашнего задания
теоретич.
материал
практич.
задания
Закрепление материала
№1
№2
№3
№4
Итоговая
оценка
№5
№6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Раздаточный материал для студентов.
Карточка 1. Повторение теоретического материала
1. Эллипсом называется … плоскости, для каждой из которых … расстояний до двух
данных точек той же плоскости, называемых … эллипса есть величина постоянная, равная
…
y
B2
M
A1
F1
F2
0
A2
x
B1
 Точки пересечения эллипса с его осями симметрии называются … эллипса. На чертеже
обозначены буквами … и имеют координаты …
 Отрезок между двумя вершинами, содержащий фокусы, называется … осью эллипса
(на чертеже обозначен … и равен … ), половина его длины … полуосью эллипса.
 Отрезок между вершинами на оси симметрии, не содержащий фокусов, называется …
осью эллипса (на чертеже обозначен … и равен … ), половина его длины - …
полуосью.
13
c
называется … эллипса, где c – половина расстояния между… ,
a
определяемая по формуле ...
 Каноническое уравнение эллипса имеет вид … (1)
 Уравнение (1) получено в предположении, что F1 и F2 различные точки, т.е. с>0.
Тогда b<a. При a=b (c=0) уравнение (1) имеет вид … и определяет кривую, называемую
… . Эту кривую называют так же «вырожденным» эллипсом, у которого фокусы
совпали, либо частным случаем эллипса.
 Эксцентриситет  эллипса характеризует степень … эллипса. Чем ближе
эксцентриситет к нулю, тем больше эллипс похож на … . Чем ближе эксцентриситет к
1, тем … вытянут эллипс. 0<  <1
2. Гиперболой называется … … плоскости, для каждой из которых абсолютная величина
… расстояний до двух данных точек той же плоскости, называемых … гиперболы, есть
величина постоянная, равная …
 Величина  
 Точки пересечения гиперболы с осью Ох называются … гиперболы, отрезок между
ними называется … осью гиперболы. На чертеже обозначены буквами … и имеют
координаты… .
 Отрезок оси ординат между точками (0; - b) и (0; b) называется … осью. На чертеже он
обозначен … .
 Числа a и b называются соответственно … и … полуосями гиперболы.
 Уравнения асимптот гиперболы имеют вид … .
c
 Величина  
называется … гиперболы, где c – половина расстояния между
a
фокусами c>a, т.е. у гиперболы.  > 1. Эксцентриситет  гиперболы характеризует
угол между асимптотами, чем ближе  к 1, тем меньше этот угол.
 Каноническое уравнение гиперболы имеет вид: …, где b 2  … . При a=b получаем …
гиперболу, известную из школьного курса математики, её уравнение … .
3. Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых … от данной
точки этой плоскости, называемой … и данной прямой, лежащей в той же плоскости,
называемой … параболы.
14
y
M
K
D
0
F
x
 Расстояние FD – расстояние между… и … равно … . Тогда координаты F (…;…),
уравнение директрисы ... .
 В выбранной системе координат каноническое уравнение параболы имеет вид … . Если
парабола задана каноническим уравнением, то ось симметрии совпадает с осью … и
ветви направлены… .
Закрепление материала при решении задач
Карточка 2. № 1. Выбрать из указанных линий кривые второго порядка и определить их
тип.
I вариант
II вариант
2
2
1) x 2  2 y
x
y
1)

1
25 9
2) x 2  y 2  3
2) y 2  2 x
3) x 2  y 2  3
3) y  5 x  1
x y
4)   1
2
2
x
y
9 4

1
4) 
4 16
x2 y2
5)

1
5) ( x  1) 2  ( y  2) 2  4
4 16
15
Карточка 3. № 2. Установить соответствие между уравнениями кривой и ее
графическим изображением: 1) 
x2 y2

1
9
4
x2 y2

1
4
9
5)
x2 y2

1
4
9
2) y 2  4 x
x2 y2

1
9
4
3)
4)
6) x 2  4 y
б)
a)
y
3
F2
-2
2
x
F1
-3
в)
г)
y
y
x = -1
2
F2
F1
-3
F
3
x
-1
-2
д)
е)
y
1
F
0
-1
1
x
y= - 1
0
1
x
16
Карточка 4.
№3. Построить кривую. Найти фокусы и эксцентриситет для эллипса и гиперболы, фокус и
директрису для параболы.
а) x 2  4 y 2  16
б) 4 x 2  y 2  4
в) y 2  4 x
№4. Составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через точки
3 5
М1 (2;3), М2 (1;
).
2
Карточка 5.
Дополнительные задачи.
№ 5. Найти уравнение асимптот гиперболы 2 x 2  3 y 2  6 .
№6. Парабола с вершиной в начале координат проходит через точку А (2;4) и симметрична
относительно оси Ox. Найти фокус, уравнение параболы и ее директрисы.
Карточка 6.
Домашнее задание.
1. Повторить теоретический материал по темам «Векторы на плоскости», «Уравнение
прямой на плоскости», Кривые второго порядка» по следующим вопросам:
- Понятие вектора на плоскости (основные определения); линейные операции над векторами,
их свойства; скалярное произведение векторов, его свойства; базис на плоскости.
- Прямая на плоскости (уравнение прямой с угловым коэффициентом; уравнение прямой в
отрезках; общее уравнение прямой; уравнение прямой, проходящей через точку в данном
направлении; каноническое уравнение прямой; уравнение прямой, проходящей через две
точки; угол между прямыми; взаимное расположение прямых на плоскости; расстояние от
точки до прямой).
- Кривые второго порядка: эллипс, парабола, гипербола (определение, уравнение в
каноническом виде, чертеж, основные понятия)
2. Решить задачи:
2.1. Составить уравнение эллипса, зная, что:
a) расстояние между фокусами 2c=10, большая ось 2a=16; б) малая полуось в=8,
эксцентриситет  =0,6; в) сумма полуосей а + в=12, а расстояние между фокусами 2с=6 2 .
2.2. Действительная полуось гиперболы равна 5, эксцентриситет  =1,4. Найти уравнение
гиперболы.
2.3. Составить уравнение параболы, зная, что её вершина находится в начале координат и
расстояние от фокуса до вершины равно 4 единицам длины, а осью симметрии служит ось
Ох.
2.4. Построить кривую. Найти фокусы и эксцентриситет для эллипса и гиперболы, фокус и
директрису для параболы.
y2
x2 y2
1
а) x 2 
б)
в) x 2  8 y

1
4
25 4