Модели и алгоритмы аппарата нечеткой логики

Федеральное агентство по образованию РФ
Владивостокский государственный университет экономики и сервиса
МОДЕЛИ И
АЛГОРИТМЫ
АППАРАТА
НЕЧЕТКОЙ ЛОГИКИ
Для студентов направления «Радиотехника»
Номоконова Н.Н., профессор каф. электроники
Владивосток 2010
ВВЕДЕНИЕ.
Анализ видов
неопределенности
информации, характерных
для процесса управления
сложными системами
В общем случае осложненные
условия эксплуатации современных
радиоэлектронных систем приводят
к необходимости учета в процессе
контроля и управления следующих
видов неопределенности:
1. Низкая точность оперативной информации,
получаемой с объектов управления,
возникающая ввиду большой погрешности
в обрабатываемой информации (как
цифровой, так и аналоговой), невысокая
надежность, отказы каналов связи,
большое запаздывание при передаче
информации. Наличие такого вида
неопределенности вызывает неточность в
задании переменных величин в моделях,
начальных и граничных условий.
2. Неточность моделей контроля и управления,
вызванная неэквивалентностью решений
системных многоуровневых иерархических
моделей и используемых на практике
отдельных локальных задач.
Неточность моделей может возникать изза неверно проведенной декомпозиции
общей задачи управления, излишней
идеализации модели сложного процесса,
разрыва существенных связей в
технической системе, линеаризации,
дискретизации, замены фактических
характеристик оборудования паспортными,
нарушения пороговых значений. Ввиду
большой сложности объекта, существенной
нелинейности, трудностей формализации,
наличия различных субъективных
критериев и ограничений могут
применяться нечеткие модели.
3. Нечеткость в процессе принятия
решений в многоуровневых
иерархических системах,
обусловленная тем, что наличие
четких (точных) целей и
координирующих решений на каждом
уровне контроля и управления, и для
каждого локального устройства или
блока затрудняет процесс
координации и предопределяет
длительный итеративный характер
принятия решений.
4. В системе реального времени
необходимо учитывать трудности
представления знаний в виде
алгоритмов и согласованность
полученного ЭВМ решения с его
оценкой
- ненадежность исходной
информации, неточность оценок,
недоопределенность понятий и
терминов, неверность выводов:
-нечеткость (неоднозначность)
естественного языка
(лингвистическая неопределенность)
и языка представления правил в
системах экспертного типа;
-процедура принятия решения
базируется на неполной информации,
т.е. нечетких посылках;
-неопределенность проявляется при
агрегации правил и моделей,
исходящих от разных источников
знаний или различных уровней
управления (эти правила и модели
могут быть противоречивыми,
избыточными и т.п.).
Неопределенность можно
проклассифицировать по степени
неопределенности (полная
определенность, вероятностная,
лингвистическая, интервальная,
полная неопределенность), по
характеру неопределенности
(параметрическая, структурная,
ситуационная) и по использованию
получаемой информации (устранимая
и неустранимая)
Методы, учитывающие
неопределенность
исходных данных
Все эти методы можно разделить на
две основные группы:
1. Подавление влияния неточной
информации с дальнейшим
использованием обычных
детерминированных алгоритмов.
2. Переход при наличии неточной
информации на специальные
алгоритмы (стохастические,
нечеткие, интервальные).
Свойство робастности
Предварительная фильтрация
данных, их редактирование с
отсечением выбросов и
сглаживанием с последующим
применением классических процедур
контроля и оптимизации не дают
должных результатов ввиду
следующих сложностей:
1. трудно разграничить применение
процедур сглаживания и отсечения
выбросов не используя модели
системы в целом;
2. упомянутые выше алгоритмы
могут быть намного сложнее
алгоритмов робастного оценивания;
3. робастные процедуры, как
показывает практика, дают лучшие
результаты.
Методы устойчивого
приближенного решения
Методы основываются на
использовании дополнительной
априорной информации об искомом
решении. Примерами такой
дополнительной информации
являются:
1. информация о монотонном,
незначительном изменении во
времени некоторых параметров
(например, в виду инерционности
объекта);
2. априорная информация о
принадлежности решения некоторому
компактному множеству
корректности.
Отличительные черты теории нечетких
множеств
Подход на основе теории нечетких множеств
является альтернативой общепринятым
количественным методам анализа систем. Он
имеет три основные отличительные черты:
1.
2.
3.
вместо или в дополнение к числовым переменным
используются нечеткие величины и так называемые
"лингвистические" переменные;
простые отношения между переменными
описываются с помощью нечетких высказываний;
сложные отношения описываются нечеткими
алгоритмами.
Понятие нечеткого
множества
В классической теории множеств непустое
подмножество А из универсального множества Х
однозначно определяется характеристическим
функционалом
(1)
т.е. подмножество А определяется как совокупность
объектов, имеющих некоторое общее свойство, наличие
или отсутствие которого у любого элемента х задается
характеристическим функционалом. Причем
относительно природы объекта не делается никаких
предположений.
Задание некоторого множества в этом случае
эквивалентно заданию его характеристического
функционала, поэтому все операции над множествами
можно выразить через действия над их
характеристическими функционалами.
Основные операции объединения,
пересечения и разности двух
подмножеств А и В из Х с
характеристическими функционалами
соответственно определяются
следующим образом для каждого х Х:
(2)
Операции объединения и пересечения могут
быть записаны также в несколько ином виде:
(3)
Однако такие понятия, как множество
“больших" или "малых величин”, уже не являются
множествами в классическом смысле, так как не
определены границы их степеней малости,
которые позволили бы провести
классификационную процедуру (1) и четко
отнести каждый объект к определенному классу.
Большинство классов реальных объектов и
процессов относятся именно к такому нечетко
определенному типу. Поэтому возникает
необходимость введения понятия о нечетком
подмножестве как о классе с непрерывной
градацией степеней принадлежности.
Для нечеткого подмножества, являющегося
расширением понятия множества в
классическом смысле, на пространстве объектов
Х={x} вводится уже не функционал вида (1), а
характеристическая функция, задающая для
всех элементов степень наличия у них
некоторого свойства, по которому они относятся
к подмножеству А. Эта характеристическая
функция для нечеткого множества традиционно
носит название функции принадлежности.
Нечеткое подмножество А множества Х
характеризуется функцией принадлежности,
которая ставит в соответствие
каждому элементу х Х число
из
интервала [0, 1], характеризующее степень
принадлежности элемента х подмножеству А.
Причем 0 и 1 представляют собой
соответственно низшую и высшую степень
принадлежности элемента к определенному
подмножеству.
Точкой перехода А называется элемент х
множества Х, для которого
.
Если в классической теории множеств
понятие характеристического функционала
играет второстепенную роль, то для нечетких
множеств функция принадлежности становится
единственно возможным средством их описания.
С формальной точки зрения нет необходимости
различать нечеткое множество и его функцию
принадлежности. В этом смысле ТНМ можно
рассматривать как теорию функций специального
вида - обобщенных характеристических
функций.
Численное значение функции
принадлежности характеризует степень
принадлежности элемента некоторому нечеткому
множеству, являющемуся в выражении
естественного языка некоторой, как правило,
элементарной характеристикой явления (степень
надежности микросхем, степень присутствия
объекта в определенной области и т.д.)
ЗАДЕ ввел понятие лингвистической
переменной, значениями которой
являются слова и или предложения
естественного языка, которые
описываются нечеткими значениями.
Например, лингвистическая переменная
ВОЗРАСТ принимает нечеткие значения
молодой, не молодой, старый, не очень
старый и т.д.
Пример 1. Нечеткое подмножество, обозначаемое
термином старый, можно определить функцией
принадлежности
Рис. 1 Функция принадлежности для значений термина старый
В этом примере носителем нечеткого множества
старый является интервал, а точкой перехода значение
x=55.
Таким образом, основное предположение состоит в том,
что нечеткое множество, несмотря на расплывчатость его
границ, может быть точно определено путем сопоставления
каждому элементу х числа, лежащего между 0 и 1, которое
представляет степень его принадлежности к А.
Носителем нечеткого подмножества А называется четкое
подмножество из Х, на котором
>0
Для практических приложений носители нечетких
множеств всегда ограничены. Так, носителем нечеткого
множества допустимых режимов для системы может служить
четкое подмножество (интервал), для которого степень
допустимости не равна нулю (рис. 2).
Рис. 2 Понятие носителя нечеткого множества (выделен жирной чертой)
Высотой d нечеткого множества А называется
максимальное значение функции принадлежности этого
множества
.
Если d = 1, то нечеткое множество называется
нормальным.
Одноточечным нечетким множеством называется
множество, носитель которого состоит из единственной
точки. Нечеткое множество А иногда рассматривают как
объединение составляющих его одноточечных множеств:
, где знак + обозначает операцию объединения; mi степень принадлежности х i множеству А.
F- множествами называют совокупность всех
нечетких подмножеств F(X) произвольного (базового)
множества Х, а их функции принадлежности F -функциями.
Как правило, под
понимают сужение функции
принадлежности со всего Х на
.
Для обозначения F-множеств используют запись
вида:
Например,
Кроме того, при необходимости данная форма
обозначения может применяться и для обычных (четких)
подмножеств из Х.
Возможности применения
теории нечетких множеств и
интервального анализа для
описания различных видов
неопределенности
Подмножество эффективных значений
параметра х является нечетким для реальных систем,
так как нельзя сказать, что лишь одно значение,
например х2 =4, является эффективным, а все
остальные значения х неэффективны (рис. 3),
т.е.
и
для
.
Рис. 3 Функции принадлежности для четких и нечетких целей и ограничений.
Операции над F-множествами
Все приводимые операции над Fмножествами определяются через
действия над их F-функциями.
Множества А и В из F(X) равны (А=В)
тогда и только тогда, когда для всех x
X.
Для А, В F(X) множество А является
подмножеством В (A B) тогда и только
тогда, когда для всех x X.
Рис. 4. Функция принадлежности для нечеткого подмножества А
Замечание. Если A и B четкие
множества и
, то
, что для Fмножеств не обязательно.
Например, если
, то
, но
.
Объединением множеств А и В из F(X)
называется множество
, F-функция
которого определяется следующим
образом:
Объединение соответствует союзу
или и более компактно записывается
как
, где символ
обозначает операцию взятия max.
Следствие 1. Множество С является
наименьшим из множеств, содержащих
одновременно Аи В.
Доказательство. Пусть F -множество
и содержит A и В, т.е.
и
, т.е.
Следовательно, D=C .
Пример 1. Если
т.е.
Пересечением множеств А и В из
F(X) называется множество
, Fфункция которого, определяется
следующим образом:
Пересечение соответствует союзу
и, более компактно записывается
как
где символ
взятия min.
обозначает операцию
Пример 2. Если
т.е.
Следствие 2. Множество С является
наибольшим из множеств, содержащихся
одновременно в А и в В .
Доказательство. Пусть F-множество
и принадлежит A и В. Тогда
и одновременно
т.е.
Следовательно, D=C .
Операции объединения и
пересечения четких множеств являются
коммутативными, ассоциативными и
обладают свойствами дистрибутивности
по отношению друг к другу. Выявление
аналогичных свойств для F-множеств
сводится к анализу функций
где
Графически эти функции на
плоскости при некотором фиксированном
изображены на рис. 5, где сплошной
линией показан график функции g, а
пунктиром - f.
Таким образом, f и g являются
кусочно-линейными и монотонно
возрастающими функциями по каждому из
своих аргументов.
Рис. 5. Графики функций
Следующие соотношения являются
следствием довольно очевидных свойств
функций f и g .
Здесь
Заметим, что если А и В четкие множества с
характеристическими функциями
,
то
можно представить в виде (2),
что эквивалентно определению через функции
min и max.
Для F- множеств это уже не верно, так
как
В этом случае следствия 1 и 2 не
выполняются.
Существует несколько способов
определения операций объединения и
пересечения. Например, для операции
пересечения используют иногда
алгебраическое произведение функций
принадлежности
Правомерность определения операций
объединения и пересечения F-множеств в
форме отличной от (1.3) с точки зрения
принятия решений в некоторых
случаях
можно задавать в виде среднего
геометрического
и, следовательно,
можно описывать с помощью Fфункции
и
, соответственно, в виде
.
Все отмеченные альтернативные
варианты объединения и пересечения F множеств только с определенной
степенью точности соответствуют
описанию посредством функций min и
max. Поэтому выбор того или иного
подхода зависит от конкретной задачи,
когда использование операций min и max
приводит к неадекватности модели
реальной ситуации.
В принятых обозначениях следующие
функции определяют четыре типа операций
пересечения и объединения F-множеств:
При некотором фиксированном
графики функций
показаны на
рис. 6. Они могут дать некоторое наглядное
представление о свойствах отмеченных типов
операций пересечения F-множеств.
Рис. 6. Графики функций
Аксиоматический подход к
определению операций объединения и
пересечения F-множеств.
Очевидно, что если объединить
определение объединения со следствием
1, а определение пересечения со
следствием 2, то получим функции (5) и
(6).
В соответствии с принятой выше
индексацией функций f и g основное внимание
в дальнейшем будем уделять операциям
первого типа над F -множествами.
Разностью множеств А и В из F(X)
называется множество C=A\B, с F-функцией
вида:
Разность X\A называется дополнением
F-множества A и обозначается A'.
Следовательно:
, т.к.
.
Эта операция удобна, например, для перехода
от нечеткого множества допустимых значений к
множеству недопустимых значений.
Замечание. Если для четких множеств А
и В из X всегда
то для F-множеств, вообще говоря, это не
верно.
Для А и В из F(X), справедливы
следующие соотношения:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Равенства 6 и 7 называются законами де
Моргана и следуют, соответственно из
тождеств:
Нечеткие отношения
Для практических задач большое
значение имеет понятие нечеткого Fотношения.
Пусть X1,X2, ..., Xn - некоторые множества.
Тогда нечеткое n-арное отношение Q
определяется как нечеткое подмножество их
декартового произведения X= X1*X2 *...*Xn,
т.е.
Декартовым произведением Fмножеств
, называется Fмножество
A= A 1*A 2*...*An из F(X) = F(X1* X2 *...*Xn )
c функцией принадлежности вида
.