ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА физико-математических и естественных наук

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Кафедра теории вероятностей и математической статистики, факультет
физико-математических и естественных наук
Обязательная дисциплина, привязанная к семестру.
Трудоемкость – 3-й семестр - 3 кредита, 4-й семестр - 3 кредита, 2 часа
лекций и 2 часа лабораторных занятий в неделю
Цель курса
Основной целью курса является:
- развитие профессиональной математической культуры студента;
- подготовка студента к практическому применению методов теории
вероятностей и математической статистики к математическому
моделированию технических и экономических процессов;
- подготовка студента к продолжению образования по выбранной
специальности в магистратуре.
Содержание курса
3-й семестр
Часть I. Теория вероятностей
Лекции
Тема 1. Вероятностное пространство. Пространство элементарных
событий. События. Действия над событиями. Сигма-алгебра событий.
Определение вероятности.
Тема 2. Классическая и геометрическая вероятности. Классическое
определение вероятности. Элементы комбинаторики в теории вероятностей.
Геометрическая вероятность.
Тема 3. Условная вероятность. Определение условной вероятности.
Независимость событий. Формулы умножения вероятностей, полной
вероятности и Байеса.
Тема 4. Схема Бернулли. Формула Бернулли. Формула Пуассона.
Формулы Муавра- Лапласа. Теорема Бернулли. Полиномиальная схема.
Тема 5. Случайные величины. Определение случайной величины.
Функция распределения случайной величины. Дискретные случайные
величины. Непрерывные случайные величины. Основные распределения:
равномерное,
нормальное,
экспоненциальное,
гамма-распределение,
Вейбулла, Пуассона, Коши, Бернулли, геометрическое. Функции от
случайной величины.
Тема 6. Многомерные случайные величины. Определение
многомерной случайной величины. Совместная функция распределения.
Дискретные двумерные случайные величины. Непрерывные двумерные
случайные величины. Условные распределения. Независимые случайные
величины. Функции от многомерных случайных величин.
Тема 7. Числовые характеристики случайных величин.
Математическое ожидание случайной величины. Математическое ожидание
функции от случайной величины. Свойства математического ожидания.
1
Дисперсия. Моменты высших порядков. Ковариация и корреляция
случайных величин. Условное математическое ожидание. Регрессия. Другие
числовые характеристики случайных величин.
Тема 8. Предельные теоремы теории вероятностей. Неравенство
Чебышева. Закон больших чисел. Формулировка усиленного закона больших
чисел. Характеристические функции. Центральная предельная теорема.
Лабораторные занятия
1. Классическое определение вероятности. Элементы комбинаторики в
теории вероятностей. Геометрическая вероятность.
2. Условная вероятность. Независимость событий. Формулы полной
вероятности и Байеса.
3. Схема Бернулли. Формула Бернулли. Формулы Муавра-Лапласа.
Полиномиальная схема.
4. Дискретные
и непрерывные случайные величины.
Функции
распределения случайных величин. Биномиальное распределение,
геометрическое
распределение,
распределение
Пуассона.
Равномерное
распределение,
нормальное
распределение,
экспоненциальное распределение, гамма-распределение. Функции от
случайных величин.
5. Многомерные
случайные
величины.
Совместные
функции
распределения. Дискретные и непрерывные двумерные случайные
величины. Условные распределения. Независимость случайных
величин. Функция от многомерных случайных величин.
6. Математическое ожидание случайной величины. Свойства
математического ожидания. Условное математическое ожидание.
Математическое ожидание функции от случайной величины.
Дисперсия. Моменты высших порядков. Ковариация и корреляция
случайных величин.
7. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел. Характеристические
функции и их свойства. Центральная предельная теорема.
Темы контрольных работ
Промежуточный контроль знаний
Контрольная работа №1.
Теоретические вопросы по темам:
Классическое определение вероятности. Элементы комбинаторики в
теории вероятностей. Геометрическая вероятность.
Условная вероятность. Независимость событий. Формулы полной
вероятности и Байеса.
Схема Бернулли. Формула Бернулли. Формулы Муавра-Лапласа.
Полиномиальная схема.
Решение задач по темам:
Классическое и геометрическое определение вероятности.
Условная вероятность. Формула полной вероятности и Байеса.
Схема Бернулли. Формула Бернулли.
2
Формулы Муавра-Лапласа.
Полиномиальная схема.
Контрольная работа №2.
Теоретические вопросы по темам:
Дискретные
и непрерывные случайные величины.
Функции
распределения случайных величин. Биномиальное распределение,
геометрическое распределение, распределение Пуассона. Равномерное
распределение,
нормальное
распределение,
экспоненциальное
распределение, гамма-распределение. Функция от случайных величин.
Многомерные
случайные
величины.
Совместные
функции
распределения. Дискретные и непрерывные двумерные случайные
величины. Условные распределения. Независимость случайных величин.
Функции от многомерных случайных величин.
Математическое
ожидание
случайной
величины.
Свойства
математического ожидания. Условное математическое ожидание.
Математическое ожидание функции от случайной величины. Дисперсия.
Моменты высших порядков. Ковариация и корреляция случайных
величин.
Решение задач по темам:
Дискретные случайные величины. Закон распределения дискретной
случайной величины.
Непрерывные
случайные
величины.
Плотность
и
функция
распределения непрерывной случайной величины.
Биномиальное
распределение,
геометрическое
распределение,
распределение Пуассона.
Равномерное
распределение,
нормальное
распределение,
экспоненциальное распределение, гамма-распределение.
Функции от случайных величин.
Дискретные и непрерывные двумерные случайные величины. Условные
распределения. Функции от многомерных случайных величин.
Математическое ожидание случайной величины. Дисперсия. Ковариация
и корреляция случайных величин.
Итоговый контроль знаний
Контрольная работа №3
Теоретические вопросы по темам
Неравенство Чебышева. Закон больших чисел.
Характеристические функции и их свойства.
Центральная предельная теорема.
Решение задач по темам
Неравенство Чебышева. Закон больших чисел.
Характеристические функции и их свойства.
Центральная предельная теорема.
3
4-й семестр
Часть II. Математическая статистика
Лекции
Тема 1. Введение в математическую статистику. Задачи
математической статистики. Основные понятия математической статистики.
Простейшие статистические преобразования. Теоретическая и эмпирическая
функции распределения. Теорема Гливенко.
Тема 2. Оценки неизвестных параметров. Задача оценки неизвестных
параметров теоретической функции распределения. Свойства оценок:
несмещенность, состоятельность и эффективность. Методы получения
оценок:
моментов,
максимального
правдоподобия,
минимального
расстояния, номограмм.
Тема 3. Достаточные статистики. Полнота достаточных статистик.
Улучшение оценок неизвестных параметров с помощью достаточных
статистик.
Тема 4. Основные распределения математической статистики. χ2 –
рас-пределение, распределение Стьюдента, распределение Фишера.
Экспоненциальное семейство распределений. Вклад выборки и его свойства.
Обобщенное неравенство Рао-Крамера. Теорема о существовании
эффективной оценки.
Тема 5. Интервальные оценки. Построение симметричного интервала
по точечной оценке параметра. Примеры построения интервальных оценок
для
параметров
нормального
распределения.
Асимптотический
доверительный интервал.
Тема 6. Проверка статистических гипотез. Понятие статистической
гипотезы и статистического критерия. Задачи проверки гипотез. Ошибки
первого и второго рода. Выбор статистического критерия. Уровень
значимости и мощность критерия. Простые гипотезы. Лемма НейманаПирсона. Критерий отношения правдоподобия. Равномерно наиболее
мощные критерии. Однопараметрические гипотезы. Многопараметрические
гипотезы. Критерии согласия: критерий χ2 , критерий Колмогорова.
Тема 7. Критерий равенства дисперсий. Выборочная корреляция.
Критерий однородности двух выборок.
Тема 8. Модель линейной регрессии. Метод наименьших квадратов.
Теорема об оптимальности оценок, полученных по методу наименьших
квадратов. Оценка остаточной дисперсии. Оптимальный выбор матрицы
плана. Линейная регрессионная модель общего вида. Нормальная регрессия.
Лабораторные занятия
1. Гистограмма и полигон частот. Эмпирическая функция
распределения.
2. Свойства оценок неизвестных параметров: несмещенность,
состоятельность и эффективность.
4
3. Методы получения оценок: метод моментов, метод максимального
правдоподобия.
4. Достаточные статистики. Улучшение оценок с помощью
достаточных статистик.
5. Основные распределения математической статистики: χ2распределение, распределение Стьюдента, распределение Фишера.
6. Экспоненциальное семейство распределений.
7. Интервальные оценки. Построение интервальных оценок для
параметров
нормального
распределения.
Асимптотический
доверительный интервал.
8. Проверка простых гипотез. Критерий отношения правдоподобия.
9. Равномерно наиболее мощные критерии. Однопараметрические и
многопараметрические гипотезы.
10.Критерии согласия: критерий χ2, критерий Колмогорова.
11.Критерий равенства дисперсий. Критерий однородности двух
выборок.
12.Модель линейной регрессии. Метод наименьших квадратов.
Линейная регрессионная модель общего вида.
Темы контрольных работ
Промежуточный контроль знаний
Контрольная работа №1.
Теоретические вопросы по темам:
Основные
понятия
математической
статистики.
Простейшие
статистические преобразования. Теоретическая и эмпирическая функции
распределения. Теорема Гливенко.
Задача оценки неизвестных параметров теоретической функции
распределения. Свойства оценок: несмещенность, состоятельность и
эффективность. Методы получения оценок: моментов, максимального
правдоподобия, минимального расстояния, номограмм.
Достаточные статистики. Полнота достаточных статистик. Улучшение
оценок неизвестных параметров с помощью достаточных статистик.
Основные
распределения
математической
статистики:
χ2 –
распределение, распределение Стьюдента, распределение Фишера.
Экспоненциальное семейство распределений. Вклад выборки и его свойства.
Обобщенное неравенство Рао-Крамера. Теорема о существовании
эффективной оценки.
Решение задач по темам:
Построение гистограммы и полигона частот. График эмпирической
функции распределения.
Проверка свойств оценок неизвестных параметров: несмещенности,
состоятельности и эффективности.
Получение оценок методами моментов и максимального правдоподобия.
Проверка статистик на достаточность. Улучшение оценок с помощью
достаточных статистик.
5
Основные распределения математической статистики: χ2-распределение,
распределение Стьюдента, распределение Фишера.
Экспоненциальное семейство распределений.
Контрольная работа №2.
Теоретические вопросы по темам:
Интервальные оценки. Построение симметричного интервала по
точечной оценке параметра. Примеры построения интервальных оценок для
параметров нормального распределения. Асимптотический доверительный
интервал.
Проверка статистических гипотез. Понятие статистической гипотезы и
статистического критерия. Задачи проверки гипотез. Ошибки первого и
второго рода. Выбор статистического критерия. Уровень значимости и
мощность критерия.
Простые гипотезы. Лемма Неймана-Пирсона. Критерий отношения
правдоподобия.
Равномерно наиболее мощные критерии. Однопараметрические
гипотезы.
Многопараметрические гипотезы.
Критерии согласия: критерий χ2, критерий Колмогорова.
Решение задач по темам:
Интервальные оценки. Построение интервальных оценок для параметров
нормального распределения. Асимптотический доверительный интервал.
Проверка простых гипотез. Критерий отношения правдоподобия.
Равномерно наиболее мощные критерии. Однопараметрические и
многопараметрические гипотезы.
Критерии согласия: критерий χ2, критерий Колмогорова
Контрольная работа №3
Теоретические вопросы по темам
Критерий равенства дисперсий. Выборочная корреляция. Критерий
однородности двух выборок.
Модель линейной регрессии. Метод наименьших квадратов. Теорема об
оптимальности оценок, полученных по методу наименьших квадратов.
Оценка остаточной дисперсии. Оптимальный выбор матрицы плана.
Линейная регрессионная модель общего вида. Нормальная регрессия.
Решение задач по темам:
Критерий равенства дисперсий.
Критерий однородности двух выборок.
Модель линейной регрессии. Метод наименьших квадратов.
Литература
Обязательная
1. Бочаров П.П., Печинкин А.В. Теория вероятностей и математическая
статистика. - М.: Физматлит, 2005.
2. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. - М.: УРСС, 2005.
6
3. Печинкин А.В., Теськин О.И., Цветкова Г.М., Бочаров П.П., Козлов Н.Е.
Теория вероятностей. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1998.
4. Сборник задач по математике для ВТУЗов. Ч.3. Теория вероятностей
и математическая статистика/ Под ред. А.В. Ефимова. – М.: Наука,
1990.
5. Сборник задач по теории вероятностей, математической
статистике и теории случайных функций/ Под ред. А.А.Свешникова. –
М.: Наука, 1970.
Дополнительная
1. Башарин Г.П. Введение в теорию вероятностей. - М.: Изд-во УДН,
1990.
2. Башарин Г.П. Введение в математическую статистику. - М.: Изд-во
РУДН, 1993.
3. Климов Г.П. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Изд-во МГУ. 1983.
4. Севастьянов Б.А. Курс теории вероятностей и математической
статистики. – М.: Наука, 1982.
5. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т.1. –
М.: Мир, 1984.
6. Емельянов Г.В., Скитович В.П. Задачник по теории вероятностей и
математической статистике. – Л.: Изд-во ЛГУ, 1967.
7. Мешалкин Л.Д. Сборник задач по теории вероятностей. – М.: Изд-во
МГУ, 1963.
8. Севастьянов Б.А., Чистяков В.П., Зубков А.М. Сборник задач по
теории вероятностей. – М.: Наука, 1980.
Программу составили:
Печинкин Александр Владимирович
лауреат премии правительства РФ,
доктор физико-математических наук,
профессор кафедры теории вероятностей и математической статистики,
факультет физико-математических наук
Матюшенко Сергей Иванович
кандидат физико-математических наук,
доцент кафедры теории вероятностей и математической статистики,
факультет физико-математических наук
7