Математические задачи в художественной литературе

Глава 1. Роль текстовых задач в математике
Роль тестовых задач в странах различна. В этом мы можем легко убедиться.
Например, в Америке текстовые задачи (word problems, verbal problems, story problems)
считаются трудными. На них даже есть карикатура в серии Фар Сайд (Far Side) под
названием «Адская библиотека». Этот рисунок изображает библиотеку, полную
сборников текстовых задач. Милдред Джонсон, опытный педагог, начинает свою книгу,
посвящённую этим задачам, вот так: «Нет области в алгебре, вызывающей у учащихся
больше затруднений, чем решение текстовых задач».
В России же текстовые задачи всегда занимали особое место в традиционном
школьном обучении математике.
С одной стороны, практика применения таких задач в процессе обучения во всех
цивилизованных государствах идет от глиняных табличек Древнего Вавилона и других
древних письменных источников, то есть имеет родственные корни. С другой —
пристальное внимание учеников к текстовым задачам, которое было характерно для
России, — почти исключительно российский феномен.
Известно, что долгое время математические знания передавались из поколения в
поколение в виде списка задач практического содержания вместе с их решениями.
В давние времена обученным считался тот, кто умел решать задачи определенных
типов, встречавшихся на практике (в торговых расчетах и т.д.).
Я считаю, что одной из самых важных сторон решения этих задач является
практическая часть, связанная с умением выполнять математические расчёты, находить в
справочниках и применять математические формулы, измерять и осуществлять
построения, читать и обрабатывать информацию, представленную в виде таблиц,
диаграмм, графиков и др.
Для человека чрезвычайно важна не только энциклопедическая грамотность, но и
способность применять обобщённые знания и умения для разрешения конкретных
ситуаций и проблем, возникающих в реальной действительности. Что же мы узнаем из
текстовых задач? Ответить на этот вопрос я постараюсь в следующем пункте.
1.1. Чему нас учат текстовые задачи?
1. Текстовые задачи являются важным средством обучения математике. С их помощью
учащиеся получают опыт работы с величинами, постигают взаимосвязи между ними,
получают
опыт
применения
математики
к
решению
практических
(или
правдоподобных) задач.
1
2.
Использование арифметических способов решения задач развивает смекалку и
сообразительность, умение ставить вопросы, отвечать на них, то есть развивает
естественный язык, готовит школьников к дальнейшему обучению.
3.
Арифметические
способы
решения
текстовых
задач
развивают
умение
анализировать разные ситуации, строить план решения с учетом взаимосвязей между
известными и неизвестными величинами (с учетом типа задачи), истолковывать
результат каждого действия в рамках условия задачи, проверять правильность
решения с помощью составления и решения обратной задачи, то есть формировать и
развивать важные общеучебные умения.
4.
Арифметические способы решения текстовых задач приучают детей к первым
абстракциям, позволяют воспитывать логическую культуру, могут способствовать
созданию благоприятного эмоционального фона обучения, развитию у школьников
эстетического чувства применительно к решению задачи (красивое решение!) и
изучению математики, вызывая интерес сначала к процессу поиска решения задачи, а
потом и к изучаемому предмету.
5.
Использование исторических задач и разнообразных старинных (арифметических)
способов их решения не только обогащают опыт мыслительной деятельности
учащихся, но и позволяют им осваивать важное культурно-историческое наследие
человечества, связанный с поиском решения задач. Это важный внутренний
(связанный с предметом), а не внешний (связанный с отметками, поощрениями и т.п.)
стимул к поиску решений задач и изучению математики.
2
1.2. Практическая полезность математики
Практическая полезность математики обусловлена тем, что ее предметом являются
фундаментальные структуры реального мира: пространственные формы и количественные
отношения – от простейших, усваиваемых в непосредственном опыте людей, до
достаточно сложных, необходимых для развития научных и технологических идей. Без
конкретных математических знаний нам трудно понимать принципы устройства и
использования современной техники, воспринимать научные знания, воспринимать и
интерпретировать
разнообразную
социальную,
экономическую,
политическую
информацию. Каждому человеку в жизни приходится выполнять достаточно сложные
расчеты, пользоваться общеупотребительной вычислительной техникой, находить в
справочниках и применять нужные формулы, владеть практическими приемами
геометрических измерений и построений, читать информацию, представленную в виде
таблиц, диаграмм, графиков, понимать вероятностный характер случайных событий,
составлять несложные алгоритмы и др.
Все это описывает роль тестовых задач (а также их практическую сторону) не
только в математике, но и в жизни. Мы еще раз убеждаемся, что эта наука нужна
человечеству.
3
Глава 2. Верно или неверно?
Во многих художественных произведениях мы можем найти математические
задачи. Обычно на них не обращают внимание. А сами задачи воспринимаются как
дополнительные детали произведения. Но бывают случаи, когда читатель обращает
внимание на такую задачу и даже хочет ее решить. В одной книге я увидела задачу с
решением. И мне показалось интересным: правильно ли автор решил ее? Именно это и
стало целью моей исследовательской работы. Все ли задачи с данным решением будут
верными? Или найдутся примеры, которые будут неправильно решены? На эти вопросы
мне предстоит ответить в ходе работы.
2.1. Аршинные уши
Читая сказку Петра Ершова (рис. 1) «Конек-Горбунок» (рис. 2) своей сестре, я
увидела следующие строчки [5, с. 12]:
Петр Павлович Ершов
(рис. 1)
«Конек-Горбунок»
(рис. 2)
Задача
«Прекрасивых двух коней золотогривых
Да игрушечку-конька
Ростом только в три вершка,
На спине с двумя горбами
Да с аршинными ушами…»
Если мы попробуем перевести все старые меры длины в современные, то
получится следующее:
Решение
4
,
следовательно
Получается, что конек-горбунок был ростом 13,2 см, а его уши были 71 см! Это
явное несоответствие (рис. 3)! Только представьте, уши конька-горбунка в 5 раз больше
его роста! Имея аршинные уши, он не смог бы, не то чтобы летать, но и передвигаться. Их
масса перевешивала бы самого конька-горбунка! Это задача неверная.
Конек-Горбунок на самом
деле (рис. 3)
(рис. 3)
5
2.2. Каково точное
расстояние от Земли до
ее спутника?
Жюль Габриэль Верн
(рис. 4)
Жюль Габриэль Верн (рис. 4) родился 8
февраля 1828 года в городе Нанте, на одном из
«С Земли на Луну за 97 часов 20
минут» (рис.5)
многочисленных островков в русле Луары. Нант
находится в нескольких десятках километров от устья Луары, но в нем посещаемый
множеством торговых парусников. Осенью 1865 года в фельетонах газеты «Журналь де
Деба» напечатан роман «С Земли на Луну прямым путем за 97 часов 20 минут»,
вызвавший живой интерес читателей и многочисленные печатные отзывы (отдельное
издание поступило в продажу 25 октября).
В романе Жюль Верна «С Земли на Луну» (рис. 5) мы можем увидеть следующие
расчеты [2, с. 22]:
Задача
«Луна описывает вокруг Земли не круг, а эллипс, в одном из фокусов которого
находится наша планета; вследствие этого Луна в разное время находится в различных
расстояниях от Земли; наибольшее расстояние называется апогеем, а наименьшее перигеем. Как известно, разность между наибольшим и наименьшим расстоянием
довольно велика, так что ею нельзя пренебрегать. В самом деле, в своем апогее Луна
отстоит от Земли на 247552 мили, а в перигее ─ всего на 218657 миль; разница между
двумя расстояниями достигает 28895 миль...»
6
Если мы посмотрим на расстояние,
отделяющее Землю от ее спутника, то
увидим, что оно различно. Правильно ли
Жюль Верн сосчитал разницу между апогеем
и перигеем (рис. 6) Луны?
Апогей и перигей Луны (рис. 6)
Решение
Следовательно,
так
как
расчет,
сделанный Жюль Верном верен, эта задача – правильная. Тогда рассмотрим следующую
задачу, которую я нашла в другой книге этого великого писателя.
2.3. Ошибка Филеаса Фогга
В конце 1872 года в фельетонах газеты «Ле
тан» печатается роман «Вокруг света в восемьдесят
дней» (рис. 7). Тираж газеты возрастает от главы к
главе. Американские корреспонденты ежедневно
сообщают по телеграфу в Нью-Йорк последние
новости о путешествии Филеаса Фогга. Американская
судоходная компания просит Жюля Верна за крупное
вознаграждение выбрать для героя романа один из ее
лучших пароходов, но Филеас Фогг «предпочитает»
приобрести пароход «Генриетту» на собственные
средства… А 30 января 1873 года роман «Вокруг
«Вокруг света в восемьдесят
дней» (рис. 7)
света в восемьдесят дней» выходит отдельным
изданием. Но перейдем к ошибке главного героя этого романа [1, с. 174]:
Задача
«Филеас Фогг, сам того не подозревая, выиграл целые сутки по сравнению со
своими записями, ибо, совершая свое путешествие вокруг света, он двигался на восток
(рис. 8), и, напротив, он потерял бы целые сутки, если бы двигался в противоположном
направлении, то есть на запад.
Действительно, продвигаясь на восток, Филеас Фогг шел навстречу солнцу, и,
следовательно, дни для него столько раз уменьшались на четыре минуты, сколько
градусов он проезжал в этом направлении. Так как окружность земного шара делится на
триста шестьдесят градусов, то эти триста шестьдесят градусов, умноженные на
7
четыре минуты, дают ровно двадцать четыре часа, то есть сутки, которые и выиграл
Филеас Фогг».
Карта пути Филеаса Фогга (из первого издания романа
«Вокруг света за 80 дней», рис. 8)
Рис. 9
Давайте проверим, исходя из условия, действительно ли главный герой выиграл 24
часа при движении на восток? (рис. 9)
8
360° - окружность земного шара; так как в одном часе 60 минут, то получается
;
Исходя из проделанных вычислений, получается, что эта задача тоже верная. Эти
две задачи я взяла из книг Жюль Верна, великого писателя научно-фантастических книг, в
которых
приключенческая
оболочка
искусно
сочетается
с
географической
или
исторической начинкой, к которой он иногда добавлял элементы фантастики. По
убеждению Этцеля, книги Верна предназначались прежде всего для образования и
развлечения читателя школьного возраста. К счастью, волшебный талант великого
писателя позволял ему избегать создания скучных и малоинтересных научно-популярных
лекций на естественнонаучные или исторические темы. Мастерски построенный
увлекательный авантюрный сюжет завораживал читателя, незаметно увлекал его в мир, в
котором искусно сочетались наука и фантастика, приключение и литература, тайна и
математический расчет.
Так объясняет секрет бессмертия книг Жюля Верна, их популярность даже в наши
дни, когда большинство технических предсказаний писателя оказалось реализованным, а
во многом и превзойденным, французский критик Жак Шено: «Если Жюль Верн и его
необыкновенные путешествия не умирают, так это только потому, что они – а вместе с
ними и столь привлекательный ХIХ век – поставили проблемы, от которых не удалось и
не удастся уйти веку ХХ».
2.4. Путешествие на санях
Не только в книгах Жюль Верна, но и в книгах
Джека Лондона мы встречаем математические задачи.
Американский писатель Джек Лондон (рис. 10) родился
12 января 1876 в Сан-Франциско. Весной 1897 года Джек
Лондон поддался "золотой лихорадке" (Gold Rush) и
уехал на Аляску. В Сан-Франциско вернулся в 1898,
испытав на себе все прелести северной зимы. Вместо
золота судьба одарила Джека Лондона встречами с
будущими героями его произведений.
Джек Лондон (рис. 10)
9
Упряжка из 5 собак
(рис. 11)
Упряжка из 3 собак
(рис. 12)
Задача
В одном из своих рассказов писатель повествует о том, как он спешил из Скагвея
в лагерь к заболевшему другу. В сани было запряжено пять собак (рис.11). Первые сутки
Джек Лондон передвигался с заранее намеченной скоростью. На второй день две собаки
оборвали постромки и убежали со стаей волков (рис. 12). Дальше пришлось продолжать
путь на трех собаках, которые тянули сани со скоростью, равной 3/5 первоначальной.
Поэтому путешественник прибыл к месту назначения на двое суток позже, чем
предполагал. Автор пишет: «Если бы две убежавшие собаки пробежали в упряжке еще
пятьдесят миль, я опоздал бы только на один день против намеченного срока».
Решение
Пусть t – количество дней в пути, тогда S – расстояние за первый день
Мы можем найти S, если в упряжке было 5 собак:
10
Исходя из решения, мы видим, что задача у Джека Лондона верная.
2.5. Ошибка Джека Лондона
В своем романе «Маленькая хозяйка большого
дома» (рис. 13) Джек Лондон дает материал для
геометрического расчета [6]:
Задача
«Посреди поля возвышался стальной шест, врытый
глубоко в землю. С верхушки шеста к краю поля тянулся
трос, прикрепленный к трактору. Механики нажали на
рычаг – и мотор заработал.
Машина
сама
двинулась
вперед,
описывая
окружность вокруг шеста, служившего его центром.
«Маленькая хозяйка
большого дома» (рис. 13)
−
Чтобы
окончательно
усовершенствовать
машину, − сказал Грэхем, − вам остается превратить
окружность, которую она описывает, в квадрат.
− Да, на квадратном поле пропадет при такой системе очень много земли.
Грэхем произвел некоторые вычисления, затем заметил:
− Теряется примерно три акра из каждых десяти.
− Не меньше».
Давайте проверим этот расчет.
Решение
Расчет неверен: теряется меньше чем 0,3 всей земли. Пусть в самом деле сторона
квадрата a. Площадь такого квадрата −
площадь −
. Диаметр вписанного круга равен также a, а его
. Пропадающая часть квадратного участка составляет:
11
Мы видим, что необработанная часть квадратного поля составляет не 30%, как
полагали герои американского романиста, а только около 22%, т.е. расчет неверен.
2.6. Загадка обряда дома Месгрейвов
Совершенно у другого автора в его произведении
мы можем встретить математические задачи. Это Конан
Дойл (рис. 14) и его «Записки о Шерлоке Холмсе» (рис.
15). Шерлок Холмс - литературный персонаж, известный
практически каждому, включая даже тех, кто ничего
не читал
о его
приключениях.
Шерлок
Холмс
-
своеобразный герой, он в корне отличается от других,
которые были ранее. Он профессионал своего дела. Его
Артур Конан Дойл
(рис.14)
талант и его «дедуктивным метод» заставляет восхищаться
гениальным сыщиком. Все это помогает распутать еще одну
загадку, а именно таинственный «Обряд дома Мейсгревов». Если вы читали этот рассказ,
то вспомните, что этот обряд не что иное, как поиск клада. Каждый мужчина из рода
Месгрейвов,
достигнув
совершеннолетия,
выполнял
определенный
ритуал,
заключавшийся в ответах на ряд вопросов. Именно благодаря этому Шерлок Холмс
догадался о месте, где спрятано сокровище. Немаловажную
роль в его поиске сыграла тень от вяза, росшего когда-то
рядом
с
домом
Мейсгревов.
Сыщику нужно
было
определить, куда падал конец этой тени в тот момент, когда
солнце оказывалось прямо над деревом. Это было нелегким
делом, ведь вяза уже не существовало. Но Шерлок Холмс
нашел выход из этой ситуации [4, с. 239]:
Задача
«Я пошел вместе с Мейсгревом в его кабинет и
вырезал вот этот колышек, к которому привязал длинную
веревку, сделав на ней узелки, отмечающие каждый ярд.
Затем я связал вместе два удилища, что дало мне шесть
футов, и мы с моим клиентом отправились обратно к
«Записки о Шерлоке
Холмсе»
(рис.15)
тому месту, где когда-то рос вяз. Солнце как раз касалось в эту минуту вершины дерева.
12
Я воткнул свой шест в землю, отметил направление тени и измерил ее. В ней было
девять футов длины (рис. 16). Дальнейшие мои вычисления были совсем уж несложны.
Если палка в шесть футов отбрасывает тень в девять футов, то дерево высотой в
шестьдесят четыре (рис. 17) фута отбросит тень в девяносто шесть футов и
направление той и другой, разумеется, будет совпадать...».
Тень и шест (рис. 16)
Подобие (рис. 17)
Решение
Если мы попробуем решить эту задачу сами, то получим следующую пропорцию:
(фут)
Мы видим, что вычисления Шерлока Холмса были верны.
2.7. «Гордый холм»
Одна из задач - старинная легенда восточных народов, рассказанная Пушкиным
(рис. 18) в «Скупом рыцаре», произведении из «Маленьких трагедий» (рис. 19) [3, с. 10]:
13
Александр Сергеевич Пушкин
(рис. 18)
«Маленькие трагедии»
(рис. 19)
Задача
Читал я где-то,
Что царь однажды воинам своим
Велел снести земли по горсти в кучу, ─
И гордый холм возвысился,
И царь мог с высоты с весельем озирать
И дол, покрытый белыми шатрами,
И море, где бежали корабли.
Это одно из тех поэтических преданий, где почти все сказанное вымысел. Можно
доказать геометрическим расчетом, что, проведя такое мероприятие на самом деле (снести
земли по горсти в кучу), царь очень бы удивился мизерности результата.
Решение
Сделаем примерный расчет. Сколько воинов могло быть у древнего царя?
Старинные армии были не так многочисленны, как в наше время. Предположим, что у
этого царя было 100000 воинов, т.е. холм состоял бы из 100000 горстей. Захватите самую
большую горсть земли и насыпьте ее в стакан: вы не наполните его полностью.
Представим, что горсть древнего воина равнялась по объему
л (
). Следовательно,
Значит, холм представлял собой конус объемом не более 20
. Такой скромный
объем холма равен:
объем уже разочаровывает. Представим, что угол, составляющий образующие конуса с
14
его основанием, равен 45°, т.е. равный углу естественного откоса. Высота такого конуса
равна радиусу его основания, следовательно,
, откуда
Надо обладать богатым воображением, чтобы земляную кучу в 2,4 м назвать
«гордым холмом» (рис. 20). Как и многие другие предания, эта легенда оказалась
преувеличенной. С такого небольшого возвышения легко было видеть «дол, покрытый
белыми шатрами», но обозревать море можно было, если только холм находился недалеко
от берега. Человек, стоящий на этой куче, мог увидеть лишь небольшое расстояние перед
ним.
2,4 м
Сравнение «гордого холма» с одним из зданий (рис. 20)
15
Заключение
Я считаю, что эта исследовательская работа не только расширяет кругозор
учащихся, но и также пополняет новыми знаниями о художественной литературе.
В ходе работы над темой «Математические задачи в художественной литературе»
мы:
 изучили и проанализировали художественную литературу, в которой встречаются
текстовые задачи,
 выбрали математические задачи,
 проанализировали решение предложенных задач,
 провели их систематизацию по правильности решения.
Мое предположение
о том,
что
все
решения математических
задач в
художественной литературе верны, оказалось лишь на 57% правильным. Я нашла такие
задачи, решение которых оказалось неверным.
Художественная литература – это огромный кладезь знаний. Следовательно, там остается
еще много математических задач, требующих к себе внимания и проверки решения. В
перспективе я бы хотела сделать подборку сюжетных задач из художественной
литературы для решения на уроках математики 5-9 классов, а также продолжить поиск
математических задач.
16
Библиографический список
Один автор
1.
Верн, Ж. Вокруг света в восемьдесят дней [Текст]: роман/Пер. с фр. Н. С.
Габинского, З. А. Бобырь − Горький: Волго-Вятское кн. изд-во, 1984. − 271 с.
2.
Верн, Ж. С Земли на Луну прямым путем за 97 часов 20 минут [Текст]: роман/Пер.
с фр. Марко Вовчок. – Горький: Волго-Вятское кн. изд-во, 1987. – 304 с.
3.
Пушкин, А. С. Маленькие трагедии [Текст]: драматические сцены - М.: Сов.
Россия, 1980. – 64 с.− (Школьная б-ка).
4.
Конан Дойл, А. Записки о Шерлоке Холмсе [Текст]: повесть и рассказы/Пер. с англ.
под ред. К. Чуковского; Илл. Н. Цейтлина. − М.: Машиностроение, 1981. – 576 с.,
ил.−(Б-ка приключений; Т.5).
5.
6.
Ершов, П. Конек-горбунок [Текст]: изд-во «Самовар», 2007. – 112 с.
Лондон, Д. Маленькая хозяйка большого дома [Текст]: драма/ издательство АСТ,
2001. – 496 с.
Информация из сети Интернет
1.
Тоом А. Л. // Наблюдения математика над математическим образованием. –
Режим доступа: http://www.shevkin.ru/, свободный
2.
Шевкин А. // Текстовые задачи в школьном курсе математики. – Режим доступа:
http://www.shevkin.ru/, свободный
3.
Информации о Жюль Верне – Режим доступа: http://jules-verne.ru/, свободный
4.
Информация о Джеке Лондоне – Режим доступа: http://www.jlondon.ru/, свободный
17