Задачи по теории вероятностей 1 Классическое определение вероятности Определение: Вероятностью события А называется отношение числа благоприятных этому событию случаев к общему числу всех случаев m P ( A) n 2 Задача о шарах • В урне 5 синих и 7 красных шаров. • Изымают 1 шар. Какова вероятность вынуть • А) синий шар, • Р(А)=5/12 • Б) красный шар, • Р(А)=7/12 • С) белый шар, • Р(А)=0 • Д) синий или красный шар, • Р(А)=1 • Е) синий или белый шар, • Р(А)=5/12 • Ж) синий и красный шар? • Р(А)=0 3 Задача о шарах • В урне 5 синих и 7 красных шаров. • Изымают 2 шар. Какова вероятность вынуть • А) 2 синих шара, • B) 1 синий и 1 красный шары, • С) 1 белый шар и 1 красный, С52 10 5 P( A) 2 С12 66 33 P( B) 5 7 35 С122 66 P(C ) 0 • D) хотя бы один синий, С52 5 7 45 15 P( D) 2 С12 66 22 • Е) шары одинакового цвета, С52 С72 10 21 31 P( E ) С122 66 66 • F) не более 2 синих шаров? P ( A) 1 4 Классическая формула для подсчета вероятностей 1. Найти вероятность того, что трехзначный номер случайно встреченного автомобиля состоит из одинаковых цифр Решение: 3 3 m=10, n A10 10 1000 m 10 P ( A) 0,01 n 1000 5 2. Преступник знает, что шифр сейфа составлен из цифр 1,3,7,9, но не знает в каком порядке их набирать. 1) Какова вероятность того, что первые две цифры он набрал верно? 2) Какова вероятность того, что преступник откроет сейф с первой попытки? Решение: 1) m=1, P ( A) 4! 4! n A 3 4 12 (4 2)! 2! 2 4 1 12 2) m=1, n=P4=4!=24 P ( A) 1 24 6 3. Программа экзамена содержит 30 вопросов. Студент знает 20 из них. Каждому студенту предлагают 2 вопроса, которые выбираются случайным образом. Отличная оценка ставится, если студент правильно ответил на оба вопроса. Какова вероятность получения «5»? Решение 2 n C30 30! 30! 28!29 30 29 15 435 2!(30 2)! 2 28! 2 28! 2 m C20 20! 20! 18!19 20 19 10 190 2!(20 2)! 2 18! 2 18! 190 38 P ( A) 435 87 7 4. В студенческой группе (12 девушек и 8 юношей) разыгрываются 5 зарубежных путевок. Какова вероятность того, что путевки получат 3 девушки и 2 юноши? Решение: 20! 20! 16 17 18 19 20 nС 15504 5!(20 5)! 5!15! 1 2 3 4 5 12! 8! 3 2 m С12 С8 3!(12 3)! 2!(8 2)! 5 20 10 1112 7 8 6160 6 2 P( A) 6160 1540 15504 3876 8 5. В лотерее разыгрывается 100 билетов. Из них 15 выигрывают по 20 000 руб., 25 - по 10 000 руб., 60 - по 5 000 руб. Играющий приобрел 2 билета. Какова вероятность выиграть не менее 30 000 руб.? Решение: 2 n С100 100! 100! 99 100 4950 2!(100 2)! 2 98! 2 1 1 m С152 С15 С25 15! 15! 25! 2!(15 2)! 1!(15 1)! 1!(25 1)! 14 15 15 25 480 2 480 16 P( A) 4950 165 9 6. В течении дня из Решение: Брюково в Стуково 2 2 отправляется 8 n A8 8 64 автобусов. Разведенные 8! супруги гражданин N и 2 m A 7 8 56 8 гражданка M не хотят (8 2)! ехать в одном автобусе. Какова вероятность 56 7 того, что при случайном P ( A) 64 8 выборе автобусов они попадут в разные автобусы? 10