ТЧx - alenn.ru

10-11 класс. Раз ТыЧинка, два ТыЧинка, будет весело
10-11 класс. Раз ТыЧинка, два ТыЧинка, будет весело
1. a и b – различные натуральные числа такие, что ab(a+b) делится
3
на a2+ab+b2 . Докажите, что |𝑎 − 𝑏| > √𝑎𝑏.
1. a и b – различные натуральные числа такие, что ab(a+b) делится
3
на a2+ab+b2 . Докажите, что |𝑎 − 𝑏| > √𝑎𝑏.
2. Имеется натуральное число n > 1970. Возьмём остатки от деления числа
2n на 2, 3, 4, ..., n. Доказать, что сумма этих остатков больше 2n.
2. Имеется натуральное число n > 1970. Возьмём остатки от деления числа
2n на 2, 3, 4, ..., n. Доказать, что сумма этих остатков больше 2n.
3. Дано конечное множество простых чисел P . Докажите, что найдется
натуральное число x такое, что оно представляется в виде x=ap+bp (с
натуральными a , b ) при всех p P и не представляется в таком виде для
любого простого p P .
3. Дано конечное множество простых чисел P . Докажите, что найдется
натуральное число x такое, что оно представляется в виде x=ap+bp (с
натуральными a , b ) при всех p P и не представляется в таком виде для
любого простого p P .
4. a1, …, an – такая арифметическая прогрессия из целых чисел, что ai кратно
i для всех i = 2, 3, …, n – 1, но an не кратно n. Докажите, что n – степень
простого числа.
4. a1, …, an – такая арифметическая прогрессия из целых чисел, что ai кратно
i для всех i = 2, 3, …, n – 1, но an не кратно n. Докажите, что n – степень
простого числа.
5. Многоугольник можно разбить на 100 прямоугольников, но нельзя – на
99. Докажите, что его нельзя разбить на 100 треугольников.
5. Многоугольник можно разбить на 100 прямоугольников, но нельзя – на
99. Докажите, что его нельзя разбить на 100 треугольников.
6. Найдите все такие конечные множества натуральных чисел, содержащие
не менее двух элементов, что для любых элементов a>b из этого
множества число b2\(a-b) также принадлежит этому множеству.
6. Найдите все такие конечные множества натуральных чисел, содержащие
не менее двух элементов, что для любых элементов a>b из этого
множества число b2\(a-b) также принадлежит этому множеству.
7. Рассмотрим множество A натуральных чисел, наименьший элемент
которого равен 1001, а произведение всех его элементов – точный
квадрат. Какое наименьшее значение может принимать наибольший
элемент множества A?
7. Рассмотрим множество A натуральных чисел, наименьший элемент
которого равен 1001, а произведение всех его элементов – точный
квадрат. Какое наименьшее значение может принимать наибольший
элемент множества A?
8. Натуральные числа a и b удовлетворяют соотношению ab–ba=1008.
Докажите, что a≡b (mod 1008).
8. Натуральные числа a и b удовлетворяют соотношению ab–ba=1008.
Докажите, что a≡b (mod 1008).
9. В множестве {1, 2, …, 169 } выбрано подмножество A из 84 элементов.
Никакие два его элемента не дают в сумме 169. Докажите, что хотя бы
один из элементов множества A является точным квадратом.
9. В множестве {1, 2, …, 169 } выбрано подмножество A из 84 элементов.
Никакие два его элемента не дают в сумме 169. Докажите, что хотя бы
один из элементов множества A является точным квадратом.
10.Найти все натуральные числа n, для которых существует множество S со
следующими свойствами:
10.Найти все натуральные числа n, для которых существует множество S со
следующими свойствами:
а) S состоит из n натуральных чисел, меньших 2n–1;
а) S состоит из n натуральных чисел, меньших 2n–1;
б) для любых двух различных подмножеств A и B в S сумма элементов A
не равна сумме элементов B.
б) для любых двух различных подмножеств A и B в S сумма элементов A
не равна сумме элементов B.