Презентация "Векторы"

Вектор.
Сложение векторов.
Угол между векторами
Скалярное произведение
векторов
*
-
это направленный отрезок
Конец вектора
Начало вектора
*
b
а
c
- это векторы, лежащие на одной или на параллельных
прямых
*
- это векторы, имеющие одно направление
*
*Сложение векторов
В
А
*Правило
С
треугольника
АВ + ВС = АС
*Сложение нескольких
векторов
р
q
O
q
р
r
r
Правило многоугольника
*Вычитание векторов
q
р
−р
O
q
Правило треугольника
*Вычитание векторов
q
q
O
р
р
Правило треугольника
*Умножение вектора
на число
Коллинеарны
* Правила действий над векторами с
заданными координатами.
1. Равные векторы имеют равные координаты.
Пусть
ах1 ; у1 ; z1 
bх2 ; у2 ; z2 
a b
, тогда
х1 = х2; у1 = у2; z1 = z2
* Правила действий над векторами с
заданными координатами.
2. Каждая координата суммы двух (и более) векторов равна
сумме соответствующих координат этих векторов.
Дано:
ах1; у1; z1
bх2 ; у2 ; z2 
с ab
сх1  х2 ; у1  у2 ; z1  z2 
* Правила действий над векторами с
заданными координатами.
3. Каждая координата произведения вектора на число
равна произведению соответствующей координаты
на это число.
Дано:
ах; у; z α – произв.число   a  с
с  х;  у;  z
4. Каждая координата разности двух векторов равна
число равна разности соответствующих координат
на этих векторов.
Дано: ах1 ; у1 ; z1  bх2 ; у2 ; z2  с  a  b
сх1  х2 ; у1  у2 ; z1  z2 
• Равные векторы:
а
b
a

b
,если
a

b
;а

b
Длина вектора по координатам его начала и конца:



АВ

х

х
у

у
В
А
В
А
2
Коллинеарные векторы:
а  b или
а
b
В
2
а  b
А
x1    x2

а    b  y1    y2
z    z
2
 1
Повторение. (Устно)
Векторы в пространстве.
; 2;4 В4;3;2
1) Дано: А3
30
Найти: АВ
; 5;0 С5;0;4 D7;2;3
; 3;1 В4
2) Дано: А2
Равны ли векторы АВ и CD ?
Нет, т.к.равные векторы имеют равные
координаты.
2;2;1
АВ
2
CD
; 2;1
Угол между векторами.
b
ОА а ОВ b
ab 

а
Если а  b, то
0
Если а  b то ab180

А
0
α
О
аb 0

В
то ab90

Если а  b
0
Скалярное произведение векторов.
a
b

a
b
cos

а

b

аx1;y1;z1 bx2;y2;z2
a
b

x
x

y
y

z
z
1
2
1
2
1
2
x
x

y
y

z
z
1
2
1
2
1
2
cos

2 2 2
2 2 2
x

y

z
x

y

z
1
1
1
2
2
2
Вспомним планиметрию…
a
babcos

Если a
 b , то
cos90 0 ab0
0
abab
cos
1801 
Если
a  b
, то
Если
а  b
, то
Если

b

a

a

a
a

a
a
a  b , то a
Скалярное произведение a  a называется
0
abab
cos0 1 
0
скалярным квадратом вектора
2
2
Формула скалярного произведения
векторов в пространстве.
аx1;y1;z1
bx2;y2;z2
a
b

x
x

y
y

z
z
1
2
1
2
1
2
Скалярное произведение двух векторов равно
сумме произведений соответствующих
координат этих векторов.
Косинус угла между ненулевыми
векторами
аx1;y1;z1

bx2;y2;z2
x
x

y
y

z
z
1
2
1
2
1
2
cos

2 2 2
2 2 2
x

y

z
x

y

z
1
1
1
2
2
2
Решение задач.
Дан куб АВСDA1B1C1D1.
Найдите угол между векторами:
B1
В1 В и В1С
450
б) ВС и АС
450
а)
в) DA
и B1 D1
C1
A1
D1
B
1350
A
C
D
№ 443 (г)
Дано: куб АВСDA1B1C1D1;
АВ = а
Найти: ВА
1 ВС
1
1 способ:
C1
D1

ВА
С

правильный
A1
1
1
B1
ВА
ВС
а2
1
1
ВА
60
ВС

0
1
1
D
C
ВА

ВС

а
2

а
2

cos
60

а
1
1
0
Ответ: а2
2
A
B
№ 443 (г)
Дано: куб АВСDA1B1C1D1;
АВ = а
Найти: ВА
1 ВС
1
2 способ:
C1
D1
ВА
ВА
АА
A1
1
1
ВА
?
1ВС
1
ВС
ВС

СС
1
1




B1
ВА

ВС

ВА

АА

ВС

СС

1
1
1
1

ВА

ВС

ВА

СС

АА

ВС

D
1
1

АА

СС

1
1
A
2

0

0

0

а

а

cos
0

a
0
C
B
Ответ: а2
№ 443 (г)
Дано: куб АВСDA1B1C1D1;
АВ = а
Найти: ВА
1 ВС
1
3 способ: Введем прямоугольную
систему координат.
A1
 ;0;а
ВА
1 а
z
C1
D1
B1
;а;а
ВС
1 0
у
ВА

ВС

а

0

0

а

а

а

а
D
1
1
2
Ответ: а2
х
A
C
B