L_3

Атомная спектроскопия
Излучение и поглощение. Коэффициенты Эйнштейна
Ea
Вероятность переходов между состояниями
a
dWab 
wab
Eb
b
2π
Vab δ( Ea  Eb  ω)dν
2
Vab - матричный элемент возмущения, приводящего
к переходу из состояния b в состояние a
ν  ω  Ea  Eb  ω  Wab 
2π
Vab
2
Гамильтониан атома, находящегося в электромагнитном поле:

ˆp 2  e Aˆ
c
ˆ
H
2m
  pˆ
2
ˆ
e2 A2
e ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ  Hˆ '


pA

Ap

H
0
2
2m 2mc 2mc
2


Атомная спектроскопия
Излучение и поглощение. Коэффициенты Эйнштейна

e ˆˆ ˆˆ
ˆ
ˆ
V  H'
pA  Ap
2mc
Тогда:


e ˆ
ˆ
H'
pekρ aˆkρ eikr  aˆk*ρ e  ikr
mc

Отличные от нуля матричные элементы этого оператора:
e
 N kρ  1 H ' N kρ   
mc
e
 N kρ  1 H ' N kρ   
mc
2 c 2 ( N kρ  1)
ω2
2 c 2 N kρ
ω2
ekρ  b peikr a 
ekρ  a peikr b 
Атомная спектроскопия
Излучение и поглощение. Коэффициенты Эйнштейна
При переходе системы в состояние с большей энергией количество
фотонов в поле уменьшается на единицу (вынужденное поглощение фотона)
При переходе системы в состояние с меньшей энергией происходит
испускание фотона (спонатнное и вынужденное излучение)
dWab 
2
2
H 'aNkρ ,bNkρ 1 δ( Ea  Eb  ω)dω
Отношения вероятностей излучения и поглощения:
- для дифференциальных величин
- для интегральных величин
N kρ  1
dWab dWизл


dWba dWпогл
N kρ
N kρ  1
Wизл

Wпогл
N kρ
Атомная спектроскопия
Излучение и поглощение. Коэффициенты Эйнштейна
Соотношение между интенсивностью поля, взаимодействующего с системой,
и количеством фотонов в этом поле
Число фотонов в единице объема
2π
ki 
ni
L
3
V
 L 
2
n  nx n y nz    k ; dn 
dk

k
dkd 
3
(2π)
 2π 
I kρ dωd
- энергия излучения поля, которое падает на единицу
площади поверхности, имеет частоту в интервале dw,
определенную поляризацию, и волновой вектор в
телесном угле d
k 2 dkd
В этом диапазоне количество осцилляторов равно:
(2π)3
На каждый осциллятор приходится
N kρ
фотонов
Атомная спектроскопия
Излучение и поглощение. Коэффициенты Эйнштейна
k 2 dkd 
ω3
8π3c 2
Тогда c
N kρ ω  3 3 N kρ dωd ; N kρ 
I kρ
3
3
(2π)
8π c
ω
После этого получаем:
инд
dWkпогл

dW
ρ
kρ
3 2
8π
c
сп
 dWkρ 
I kρ
3
ω
В случае, если поле не поляризовано и изотропно, полученное выражение
можно проинтегрировать:
W погл  W инд
2 2
8π
c
сп
W 
I ; I  8πI kρ
3
ω
Коэффициенты Эйнштейна для спонтанного излучения, вынужденного
излучения и вынужденного поглощения
A W ; B
сп
изл
W
изл
c
погл
погл c
; B
W
I
I
Атомная спектроскопия
Излучение и поглощение. Коэффициенты Эйнштейна
Вероятность спонтанного излучения может быть записана в виде:
A   aω dω
aω dω - вероятность спонтанного излучения в частотном диапазоне dw
[ aω dω]=сек -1
Эффективное сечение поглощения
Доля поглощенной энергии
 ωпогл

погл
Поглощенная энергия
=
Падающий поток
I погл  dW погл ω
I погл
πc 2 1 2

 aω 2  λ aω ;  ωпогл   ωизл
I kρ dωd 
ω
4
Атомная спектроскопия
Взаимодействие атома с электромагнитным полем
Матричные элементы оператора взаимодейситвия с полем
H 'bn 1,an
Пусть
e

A0  b peikr a ;
mc
H 'an 1,bn
e

A0  a pe ikr b 
mc
kr  1; eikr  1
e
e
H 'an ,bn 1 
A0  a p b  A0  a r b 
mc
c
ˆf   i [ Hf
ˆ ˆ ];
f ab 
i
( Ea  Eb )
ieA0
H 'an ,bn 1  
( Ea  Eb )  a r b  ikA0  a r b    ikA0 Dab
c
Dab
- матричный элемент оператора электрического дипольного
момента системы
Атомная спектроскопия
Взаимодействие атома с электромагнитным полем
С учетом связи напряженности электрического поля и векторного
потенциала, получаем:
ˆˆ
ˆ
H '   ED; H 'an,bn1   EDab
В первом наиболее сильном приближении происходит взаимодействие
электрической составляющей поля и дипольного момента системы.
Это взаимодействие соответствует рассмотренному ранее приближению
электрического диполя и приводит к возникновению соответствующей
компоненты в интенсивности излучения
Пусть
eikr  ikr
ie
H 'an ,bn 1 
A0  a p (kr )  (kr ) p b 
2mc
[k [rp ]]  r (kp )  (kr ) p
Атомная спектроскопия
Взаимодействие атома с электромагнитным полем


ie
ie
H 'an ,bn 1  a
A0 p(kr )  r (kp) b    a
A0 [k [rp]] b 
2mc
2mc
ie
ie

 a A0 [k [rp ]] b  
 a A0 [kL ] b 
2mc
2mc
ie
e

[kA0 ]  a L b 
HLab
2mc
2mc
Lab
- матричный элемент оператора углового момента системы
Оператор магнитного момента системы:
e ˆ
ˆ
M 
L
2mc
ˆ ˆ
ˆ
H '  HM ; H 'an,bn1  HM ab
Атомная спектроскопия
Взаимодействие атома с электромагнитным полем
В следующем более слабом приближении происходит взаимодействие
напряженности магнитного поля с магнитным моментом системы, что
соответствует приближению магнитного диполя и определяет
соответствующую компоненту интенсивности излучения


ie
a
A0 p (kr )  r (kp ) b 
2mc
Это слагаемое соответствует взаимодействию с полем электрического
квадрупольного момента системы и соответствует приближению
электрического квадруполя
Приближения магнитного диполя и электрического квадруполя
получены в одном и том же порядке малости