L_1

Атомная спектроскопия
Электромагнитное мультипольное излучение
Произвольное электромагнитное поле можно описывать с помощью
вектор-потенциала:
A( r , t )
Вектор-потенциал удовлетворяет условию:
divA  0
Напряженности электрической и магнитной составляющей электромагнитного поля связаны с вектор-потенциалом
Из уравнений Максвелла в свободном пространстве следуют волновые
уравнения для напряженностей поля и вектор-потенциала
Электромагнитное поле в конечном объеме может быть разложено
в ряд по бегущим плоским волнам
Атомная спектроскопия
Электромагнитное мультипольное излучение
Волновые уравнения
Для векторного потенциала:
2 A
A  2  0
t
Для напряженностей полей:
E  k 2 E  0
H  k 2 H  0,
k  ω/ c
- волновое число
E   A, H  rotA
Разложение поля в ряд по бегущим плоским волнам
A(r , t )   ekρ (akρ eikr  ak*ρ e ikr )
k
ekρ
ρ
- единичный вектор поляризации
akρ ~ e
 iω t
Атомная спектроскопия
Электромагнитное мультипольное излучение
Суммирование в полученном выражении производится по бесконечному
набору значений волнового вектора и по двум поляризациям
Переменные а и а* можно рассматривать как полный набор полевых
переменных, задающих конфигурацию поля
Можно аналогичные разложения написать и для напряженностей поля:
E (r , t )   ikekρ (akρ eikr  ak*ρ eikr )
k
ρ
C учетом уравнений Максвелла:
1 E ( H )
 ikE ( H )
c t
Атомная спектроскопия
Электромагнитное мультипольное излучение
Решение волнового уравнения ищется в виде:
L  i[r , grad]
G  L
- оператор углового момента, Ф – скалярная функция
  k 2  0
L  k 2 L  L(  k 2)
Решение для скалярной функции:
Rl (r ) - радиальная функция
lm (r ,θ, )  Rl (r )Ylm (θ, )
Ylm (θ, )
l =0, 1, 2 …, m = -l, -l+1, …0, …l-1, l
- сферическая функция
Атомная спектроскопия
Электромагнитное мультипольное излучение
l
Радиальная функция:
l
ikr
r
1
d
e




Rl (r )  ( 1)l   

k
r
d
r
  
 r
Асимптотические выражения
ikr
e
(2l  1)!! 1
l
Rl (r )  (1)
, kr  1; Rl (r )  l 1 l l 1 , kr  1
r
2 k r
Векторная функция:
Условие ортогональности
LYlm (θ, )  Ylm (θ, )
*
Y
Y
 lm l 'm 'd  l (l  1)δll'δmm'
Решение волнового уравнения имеет вид:
Glm  Rl (r )Ylm (θ, )
Атомная спектроскопия
Электромагнитное мультипольное излучение
Решения волнового уравнения для напряженностей полей
Случай поля электрического типа
i
H lm  a Glm ; Elm  a
rotGlm
k
E
lm
Всегда имеет место
Поэтому
er Hlm  0
er Elm  0
E
lm
er Glm  ier [r ,grad]lm  0
- вектор напряженности магнитного поля
перпендикулярен направлению распространения
излучения
Elm
1
~
r
l2
при
kr  1
Такой тип поля соответствует полю излучения эдектрического диполя
Атомная спектроскопия
Электромагнитное мультипольное излучение
Решения волнового уравнения для напряженностей полей
Случай поля магнитного типа
i
Elm  a Glm ; H lm  a
rotGlm
k
M
lm
Поэтому
er Elm  0
er Hlm  0
M
lm
- вектор напряженности электрического поля
перпендикулярен направлению распространения
излучения
H lm
1
~
r
l2
при
kr  1
Такой тип поля соответствует полю излучения магнитного диполя
Общее поле является суперпозицией двух частных случаев
Атомная спектроскопия
Электромагнитное мультипольное излучение
E
M
E   ( Elm
 Elm
);
lm
E
M
H   ( H lm
 H lm
)
lm
Выражения для коэффициентов
E
alm
k l 1
4π *

Qlm (t );
l (2l  1)!! 2l +1
Qlm (t )  e
 iωt
M lm (t )  e
M
alm
k l 1
4π
*

M lm
(t )
l (2l  1)!! 2l +1
4π
e r l Ylm (θ,  )ρ(r )dr -электрический мультипольный
2l +1
момент
 iωt
1
4π
e  r l Ylm (θ,  )div[r , j ]dr -магнитный
c(l  1) 2l +1
мультипольный
момент
Атомная спектроскопия
Электромагнитное мультипольное излучение
4π
3
Q10 
e r
cosθρ(r )dr  e zρ(r )dr  Dz , M10   [r , j ]z dr  M z ,
3
4π
Dz и Mz – проекции на ось z электрического и магнитного дипольных
моментов
Q11 
1
( Dx  iDy );
2
Полная энергия поля
Момент импульса поля
1

4

M11 
1
( M x  iM y )
2

EE *  HH * dr


1
*
*
K
[
r
[
EH
]]

[
r
[
E
H ]] dr .

4πc
Атомная спектроскопия
Электромагнитное мультипольное излучение
Четность поля
Четность поля совпадает с четностью мультипольных моментов
Четность
H  (1)
E
lm
l
Четность
H
M
lm
 (1)
l
Для того, чтобы четность поля соответствовала четности мультипольных
моментов необходимо, чтобы она совпадала с четностью напряженности
магнитного поля. Тогда
для четной волны
H (r )  H (r ), E (r )   E (r )
для нечетной волны
H (r )   H (r ), E (r )  E (r )
Поле излучения четно, если при операции инверсии напряженность
магнитного поля не меняет знак, а напряженность электрического поля
знак меняет