Помехоустойчивое кодирование Свойства линейных кодов Расстояние и вес Хэмминга Пусть заданы двоичные слова a1 b1 a b 2 2 , an bn n Расстояние Хэмминга d ( , ) (ai bi ) i 1 n Вес Хэмминга w( ) ai i 1 Расстояние Хэмминга Пусть С - линейный код и Тогда и их поразрядная сумма Обозначим Получим , C C (с1 ,...cn ) C T n n i 1 i 1 d ( , ) (ai bi ) ci w( ) Минимальное расстояние Хэмминга минимальный вес кода d min min d ( , ) , C min w( ) wmin C , Модель ошибки • Замена 0 1 или 1 0 • В линейном пространстве n-разрядных двоичных столбцов это равносильно преобразованию кодового слова: • - вектор ошибки Модель ошибки • Если в кодовом слове произошло t ошибок, то ошибочное слово находится на расстоянии t от кодового. Или вес вектора ошибки равен t: w( ) w( ) d ( , ) Синдромное декодирование линейного кода 2 1 1 1 1 2 2 1 2 2 2nk 1 1 2nk 1 2 s ( ) s ( ) s ( ) 1 2 2 nk 1 2 n k 1 2 2k 1 2k 2 2k 2 nk 1 2k Корректирующая способность линейного кода – геометрическая иллюстрация • Шар с центром в кодовом слове – кодовое слово + ошибочные слова из столбца при синдромном декодировании Модель ошибки – геометрическая интерпретация • Центры шара – кодовые слова • Шар – кодовое слово и всевозможные ошибочные слова, полученные из кодового слова 1 2 Корректирующая способность линейного кода • Случай 1. Распознаваемая и исправляемая ошибка( ( ошибочное слово находится ошибка внутри «своей» сферы) 2 1 2 Корректирующая способность линейного кода • Случай 2. Распознаваемая ошибка (ошибочное слово – вне «своей» сферы) 2 1 2 Корректирующая способность линейного кода • Случай 3. Необнаруженная ошибка (ошибочное слово совпадает с некоторым кодовым словом) 1 2 2 Корректирующая способность линейного кода • Случай 4. Отказ от декодирования(ошибочное слово не принадлежит ни однму из шаров) 2 1 2 Модель ошибки – геометрическая интерпретация • Ошибка распознается и исправляется, если шары не пересекаются и ошибочные слова - внутри сферы. d min 1 wmin 1 t 2 2 Пример – систематический (7,4)-код Хэмминга - проверочная матрица с0 с 1 1 0 1 1 1 0 0 с2 1 1 1 0 0 1 0 с3 0 0 1 1 1 0 0 1 с 4 с5 с 6 Пример – систематический (7,4)-код Хэмминга Кодовые слова: 1010001, 0101110, 1111111,…….. d=3, t=1 Модель ошибки 2 1 Совершенный код 1 2 Совершенные коды • Коды, в которых непересекающиеся сферические области декодирования покрывают все пространство двоичных слов, называются совершенными или плотноупакованными. • Пусть дан (n,k)–код, исправляющий t ошибок. • Тогда каждый шар содержит ровно 1 n Cn2 ... Cnt слов (объем шара) • Всего кодовых слов (всего шаров) - 2 k Совершенный код • Отсюда (1 n C ... C )2 2 2 n t n • Или 2 nk t C i 1 i n k n Граница Хэмминга • Отсюда (1 n C ... C )2 2 2 n • Или 2 nk t n k t C i 1 • Для совершенных кодов i n 2 nk t C i 1 i n n