Кривые 2-го порядка

Кривые 2-го порядка
Общее уравнение прямой на плоскости – есть уравнение линейное
относительно переменных x и y Ax  By  C  0
Уравнение кривой 2-го порядка
Ax 2  2 Bxy  Cy 2  Dx  Ey  F  0
Ax 2  2 Bxy  Cy 2  квадратичная часть
линейная часть
Dx  Ey  F  0 
В дальнейшем
будем рассматривать уравнения кривых, в которых
.
xy
отсутствует произведение
Ax2  Cy 2  Dx  Ey  F  0
К кривым 2-го порядка относятся :
окружность, эллипс, гипербола и парабола.
Основная задача состоит в умении по уравнению определить
тип кривой, привести само уравнение к каноническому
виду и построить кривую в системе координат.
1. Окружность
Определение. Окружностью называется множество точек на плоскости,
равноудаленных от одной точки, называемой центром
Уравнение окружности с центром в начале координат
Y
x2  y2  R2
O
X
'
O
Уравнение окружности со смещенным центром ( x0 ; y0 )
Y
( x  x0 ) 2  ( y  y 0 ) 2  R 2
y0
O'
O
x0
X
Построение окружностей
1. Построить окружность
2. Построить окружность
x2  y2  9
3
( x  1) 2  ( y  2) 2  9
Y
O
Y
R3
3 X
2
O'
1
3. Построить окружность
y   1 x2
Y
y 2  ( 1  x 2 ) 2
y2  1 x2
y2  x2  1
O
y0
1
1 X
O
X
2
2
Построить окружность x  6 x  y  4 y  12
( x  x0 ) 2  ( y  y 0 ) 2  R 2
Каноническое уравнение
Формула квадрата суммы и разности двух чисел
( a  b) 2  a 2  2  a  b  b 2
1. ( x  6 x)  ( y  4 y )  12
2
2
2
2
2
2
2. ( x  2 x  3  3  3 )  ( y  2 y  2  2  2 )  12
2
2
Y
3. [( x  3)  9]  [( y  2)  4]  12
2
4.
2
( x  3) 2  ( y  2) 2  9  4  12
2
2
(
x

3
)

(
y

2
)
 25
5.
2
2
2
(
x

3
)

(
y

2
)

5
6.
O (3;2)  центр окружности,
'
R  5  радиус окружности
O'
3
2
O
X
2. Эллипс
Определение. Эллипсом называется множество точек плоскости,
сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых
фокусами , есть величина постоянная, равная длине большой оси 2 a .
Y
b B1 M ( x; y)
A2
a
F2
c
F1
c
O
B2
A1
a
X
b
A1 (a;0) A2 ( a;0)
- вершины эллипса
B
(
0
;

b
)
2
B1 (0; b)
A1 A2  2a
- большая ось эллипса
B1 B2  2b
- малая ось эллипса
F1 (c;0)
F2 (c;0)
- фокусы эллипса
F1 F2  2c
Каноническое уравнение
эллипса
x2 y2
 2  1,
2
a
b
причем
a 2  b2  c2
- фокусное расстояние
Построение эллипса
1. Построить эллипс
x2 y2

1
4
2
Для построения эллипса нужно знать координаты центра и
размеры полуосей a и b
Y
Центр эллипса O(0;0)
2
Полуоси a  4  a  2,
b2  2  b  2
2
.
Расстояние между фокусами
2  2
c 2  a 2  b 2  4  2  2,
 c  2 , т.е. 2c  2 2
O
.
2
X
2
 2
Можно найти площадь фигуры, ограниченной эллипсом по формуле
S    a b
Для данного примера получим
S    2  2  2 2 
2. Построить эллипс
9 x 2  5 y 2  45
Для получения канонического уравнения делаем некоторые
преобразования:
1) Делим все члены уравнения на 45, так чтобы получит единицу
в правой части уравнения
9x2 5 y 2

1
45 45
2) Убираем в знаменатель коэффициенты из числителей
x2
y2

1
45 / 9 45 / 5

x2 y2

1
5
9
Получили уравнение эллипса, из которого определяем положение
Y
центра и размеры полуосей
3
O(0;0) - центр эллипса
a 2  5  a  5,
- полуоси
b2  9  b  3
ba
3) Строим эллипс
 5
O
5
3
X
3. Построить кривую
x  1  9  4 y 2
Y
2
2
1. ( x  1)  4 y  9
2. x  1 
9  4 y2
3. ( x  1)  9  4 y
2
2
a
b
1
O'
O
X
2
2
(
x

1
)

4
y
9
4.
2
2
(
x

1
)
y
( x  1) 2 4 y 2

1

1 
5.
9
9/4
9
9
Таким образом, центр эллипса имеет координаты O ' (1;0)
Полуоси эллипса
a 2  9  a  3,
b 2  9 / 4  b  3 / 2 , т.е. a  b
При построении необходимо учесть, что уравнение определяет
Только правую половинку эллипса, так как по условию имеем x
 1
3x 2  6 x  2 y 2  2 y  0
4. Построить кривую
Данное уравнение определяет эллипс, так как есть квадраты
переменных, знаки при которых одинаковые, а коэффициенты
различные. Кроме того, наличие линейной части уравнения
означает, что центр эллипса смещен от начала координат.
Приводим уравнение к каноническому виду
( x  x0 ) 2 ( y  y0 ) 2

1
2
2
a
b
Используем прием выделения полного квадрата согласно формуле
( a  b) 2  a 2  2  a  b  b 2
2
2
1. 3( x  2 x)  2( y  y )  0
2. 3( x  2 x 1  1  1 )  2( y  2 y 1 / 2  (1 / 2)  (1 / 2) )  0
3. 3[( x  1) 2  1]  2[( y  1 / 2) 2  1 / 4]  0
2
2
2
2
2
4. 3( x  1)  2( y  1 / 2)  3  1 / 2  0
5. 3( x  1) 2  2( y  1 / 2) 2  7 / 2
2
2
( x  1) 2 ( y  1/ 2) 2
6. 3( x  1)  2( y  1 / 2)  1

1

7/2
7/2
7/6
7/4
7
O ' (1;1/ 2)  центр , a  7 / 6 , b 
 полуоси
2
2
2
Y
2
O'
1/ 2
1
O
X
3. Гипербола
Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости,
модуль разности расстояний которых до двух данных точек,
называемых фокусами ,есть величина постоянная, равная длине
действительной оси 2 a .
Каноническое уравнение гиперболы с центром в начале координат
x2 y2
 2 1
2
a b
a  действительная полуось
b  мнимая полуось
Фокусы гиперболы всегда лежат на действительной оси.
Связь между параметрами гиперболы определяется соотношением
В этом случае
c 2  a 2  b2
x2 y2
 2 1
2
a b
Построение гиперболы
Для построения гиперболы:
1. В системе координат строим прямоугольник с размерами 2a  2b
на осях OX и OY соответственно.
2. Проводим диагонали этого прямоугольника.
Уравнения диагоналей – это уравнения асимптот гиперболы
b
y  x
a
3. На действительной оси отмечаем вершины гиперболы и от них
ведем ветви гиперболы к асимптотам.
Y
Y
b
b
a
a
b
X
a
Y
b
a
b
X
c a
a c
b
X
Виды гипербол
Y
1.Сопряженная гипербола

2
x
y

1
2
2
a b
b
a X
b  действительная полуось
a  мнимая полуось
'
2.Гипербола со смещенным центром O ( x0 ; y0 )
( x  x0 ) 2 ( y  y0 ) 2

1
2
2
a
b
3.Гипербола, приведенная к своим асимптотам
xy   a
или
a
y
x
c
2
c
Y
b
X
a
O'
Y
X
Рассмотрим примеры построения гипербол
1. Построить гиперболу 4 x 2  3 y 2  12
2
Y
2
4x 3y

1
12 12
2
x2
y2

1
12 / 4 12 / 3
X
 3
x2 y2

1
3
4
2
O(0;0)  центр гиперболы
a2  3
3
 a  3  действительная полуось
b2  4  b  2 
мнимая полуось
c 2  a 2  b 2  3  4  7,
c 7
 2c  2 7 
расстояние между фокусами
2. Построить кривую
y   x2  4
Возведем в квадрат обе части уравнения
y2  x2  4
Собираем квадраты переменных в левую часть уравнения
 x2  y2  4
Данное уравнение определяет гиперболу, так как знаки при квадратах
переменных разные. Кроме того, данная гипербола
является сопряженной и равнобочной
x2 y2
Можно записать уравнение в виде 

1
4
4
a 2  4  a  2  мнимая полуось
b 2  4  b  2  действительная
полуось
Оставляем только нижнюю ветвь
гиперболы, так как по условию
y0
Y
2
2
2
2
X
3. Построить кривую
4 x 2  3 y 2  12  8 x  12 y
Данное уравнение определяет гиперболу (знаки при квадратах
переменных различные) со смещенным центром (есть линейная часть)
Приведем уравнение к каноническому виду
( x  x0 ) 2 ( y  y0 ) 2

 1
a2
b2

4( x 2  2 x)  3( y 2  4 y )  12
4 x 2  8 x  3 y 2  12 y  12
Y
4( x 2  2 x 1  12  12 )  3( y 2  2 y  2  2 2  2 2 )  12
4[( x  1) 2  1]  3[( y  2) 2  4]  12
4( x  1) 2  4  3( y  2) 2  12  12
1
4( x  1) 2  3( y  2) 2  4
X
2
4( x  1) 2 3( y  2) 2

1 
4
4
O'
( x  1) 2 ( y  2) 2

1
1
4/3
O ' (1;2)  центр гиперболы
a  1  действительная полуось
b
4
2

 мнимая полуось
3
3
4. Парабола
Определение. Параболой называется множество точек плоскости,
равноудаленных от одной точки, называемой фокусом, и от данной
прямой, называемой директрисой.
Виды парабол
Парабола с осью симметрии OX
x 2  2 py
y  2 px
2
Y
Y
y  2 px
2
Парабола c осью симметрии OY
y 2  2 px
X
x 2  2 py
X
x 2  2 py
Парабола со смещенной вершиной O' ( x0 ; y0 )
Парабола с осью симметрии OX
Парабола c осью симметрии OY
( x  x0 ) 2  2 p ( y  y0 )
( y  y0 ) 2  2 p ( x  x0 )
Y
y0
Y
O'
x0
x0
!
X
y0
Отличительные признаки уравнения параболы:
отсутствует квадрат одной переменной.
O'
X
2
(
y

2
)
 4( x  1)
1. Построить параболу
Данное уравнение является каноническим уравнением параболы,
так как отсутствует квадрат переменной x . Поэтому осью
симметрии параболы будет ось OX.
Вершина параболы в точке O' (1;2)
Ветви параболы направлены в положительном направлении оси OX,
так как в правой части уравнения знак “плюс”.
2 p  4  ширина параболы
p  2  параметр параболы
p
1
2
Y
p
2
O' p p
2
1
X
2. Построить кривую
y  3  2 1 x
Y
y  3  2 1 x
( y  3) 2  4(1  x)
( y  3) 2  4( x  1)
y3
3
O'
X
O
1
O' (1;3)  вершина параболы
Ось симметрии параболы OX, так как отсутствует квадрат
переменной x
Ветви параболы направлены влево, так как в правой части уравнения
получился знак “минус”
p  2  параметр параболы
Так как по условию y  3 , то уравнение определяет только
верхнюю ветвь параболы
3. Построить кривую
y  2  x2
Преобразуем уравнение
x2  2  y
x 2  ( y  2)
Уравнение определяет параболу. Сравнивая с уравнением
( x  x0 ) 2  2 p ( y  y0 ) , определяем координаты вершины
O' (0;2) . Ось симметрии OY. Ветви направлены вниз.
1 параметр параболы
p 
2
Y
O' 2
p
1
2
1 1
O
X
4. Построить параболу
4x2  6x  3 y  2  0
В уравнении отсутствует квадрат переменной y, поэтому оно
определяет параболу с осью симметрии OY.
Проведем преобразования уравнения, чтобы привести его к
каноническому виду ( x  x0 ) 2  2 p ( y  y0 )
6 

4 x 2  x   3 y  2  0
4 

3
 2

4 x  2  x   (3 / 4) 2  (3 / 4) 2   3 y  2  0
4


2

3 9
3
9

4 x     3 y  2  0
4 x      3 y  2  0
4 4
4  16 

Y

2
3
1
O ' y0


4 x     3 y
4
4

X
x0 O
2
3
1


4 x    3 y   или
4
12 


2
3
3 
1

x      y  
4
4 
12 

3
 3 1
O '   ;   вершина параболы p   параметр параболы
8
 4 12 
Ветви параболы направлены вниз
2