Презентация - Математико-механический факультет СПбГУ

Кафедра
параллельных алгоритмов
Математико-Механический факультет
Санкт-Петербургский Государственный Университет
Параллельные алгоритмы
для симплициального подразделения области
с итерационным измельчением вблизи
границы
Дипломная работа студента 543 группы
Хрусталева Дмитрия Максимовича
Научный руководитель: д. ф.-м. н., проф. Юрий Казимирович Демьянович
Введение

Основные концепции:

Симплициальное подразделение области
 Применения:
 Решение
задач аппроксимации
Рис.1:Триангуляция области.
 Вейвлетная обработка сигналов
 Численное решение задач математической физики

Аппроксимация функции на области



Курантовская аппроксимация функции
Уточнение аппроксимации функции
на границе области
Измельчение симплициального
подразделения области
при приближении к границе
Рис. 2:Неравномерное разбиение.
Постановка задачи



Создание параллельной версии алгоритмов измельчения
симплициального подразделения при приближении к одному из
оснований заданного прямоугольного параллелепипеда.
Построение модели курантовской аппроксимации функции на
полученном симплициальном подразделении.
Разработка пакета программ, реализующих предложенные
алгоритмы для реальных вычислительных систем.
Формализация условий
• Входные данные:
• параллелепипед
П = { (x,y,z) | -S<x<S, 0<y<y*, 0<z<z* }
S,y*,z* - положительные числа
• Задача алгоритма:
• построение симплициального подразделения параллелепипеда П с
измельчением вдоль оси z;
• полученное разбиение должно быть топологически правильным
• среди симплексов подразделения не должно оказаться
вырожденных
Последовательная версия алгоритма
- “Алгоритмы невырожденного симплициального
подразделения с измельчением вблизи границы”,
Е.П. Арсентьева, Ю.К. Демьянович.
- Основная идея: разделить параллелепипед на
горизонтальные полосы, и строить отдельное
симплициальное подразделение для полос по очереди.
- Полученный симплициальный комплекс бесконечен;
критерий остановки алгоритма – достижение требуемой
точности
Последовательная версия алгоритма:
Симплициальное подразделение полосы
Рис. 3:Алгоритм симплициального подразделения полосы.
Последовательная версия алгоритма:
Симплициальное подразделение полосы
Рис. 4:Симплициальное подразделение вертикальной треугольной призмы.
Распараллеливание алгоритма
Рис. 5:Схемы разбиений последовательных горизонтальных слоев.
• Количество треугольников растет
экспоненциально
• Для вычислений, связанных с
вершиной, требуются данные
только о соседних вершинах
• Разбив слой на области, можно
выполнять расчеты независимо
Рис. 6:Разбиение текущего слоя на области.
Реализация

Позволяет задавать алгоритмы





Выбора точки при разбиении ребра
Оценки достигнутой точности аппроксимации
Разбиения текущего слоя на области
Не зависит от платформы
Может использоваться как отдельное
приложение и как библиотека
Полученные данные
Рис. 7:Перспективные проекции полученной адаптивной сетки.
Число шагов
1 поток
2 потока
3 потока
4 потока
5
0
0
1
1
6
16
12
11
11
7
78
41
30
22
8
281
145
101
76
9
1125
568
390
301
10
4609
2324
1578
1189
11
18844
9510
6342
4782
Таблица: время работы программы в различных условиях.
Результаты




В данной работе создан параллельный алгоритм,
выполняющий построение симплициального
подразделения области с итерационным измельчением
вблизи границы.
Результатом работы полученного алгоритма является
топологически правильное симплициальное
подразделение заданного прямоугольного
параллелепипеда, измельчающееся при приближении к
его нижнему основанию.
Разработан программный пакет, реализующий
предложенный алгоритм
Предложены направления для дальнейшего улучшения
полученного алгоритма.