ПРЕЗЕНТАЦИЯ РАЗДЕЛА "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА"

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
• Понятие вектора. Линейные
операции над векторами.
• Проекция вектора на ось.
• Скалярное, векторное и смешанное
произведения.
• Базис линейного векторного
пространства.
• Разложение вектора по базису.
• Координаты вектора и точки.
•Операции над векторами в
координатной форме.
Понятие вектора
• Определение. Вектор − это множество
сонаправленных отрезков одной длины.
• Любой элемент этого множества есть
направленный отрезок. Этот отрезок
можно начертить в выбранном
масштабе, откладывая его от любой
точки плоскости или пространства.
• В математике вектор свободен.
Обозначения
• Векторы обозначают одной или двумя
буквами: a , AB
• Свободный вектор можно перемещать
параллельно себе в любую точку
пространства.
Векторные величины
• Сила F , скорость V , ускорение a и др.
• Векторные величины характеризуются
величиной (модулем) и направлением.
• Модуль вектора есть длина отрезка,
изображающего вектор в соответствующем
масштабе.
a , AB , . F
• Обозначение модуля:
• Направление вектора характеризуется
углом.
Угол между вектором и осью
• Положительный угол отсчитывается от
оси к вектору против часовой стрелки:
о
о

a
0    2
х
Угол между векторами
• Угол между лучами, на которых лежат
векторы, называется углом между
векторами.
0 
Замечание
Для векторных физических величин
важны:
• точка приложения вектора;
• «линия действия вектора»  прямая, на
которой лежит вектор.
Классификация векторов
• Нуль-вектор − это вектор, модуль которого
равен нулю. Обозначение: o .
• Единичный вектор − это вектор, модуль
которого равен единице.
• Равные векторы – это векторы одинаковой
длины и одинакового направления.
• Противоположные векторы − это векторы
одинаковой длины и противоположно
направленные:
AB   BA
• Коллинеарные векторы – это векторы,
параллельные некоторой прямой: a || b
• Сонаправленные векторы – это
коллинеарные векторы одного направления:
a  b
• Противонаправленные векторы – это
коллинеарные векторы, противоположно
направленные:
a  b
• Компланарные векторы – это векторы,
параллельные некоторой плоскости.
• На рисунке все векторы компланарны, так как
лежат в одной плоскости x0y.
y
x
• Два вектора всегда компланарны, так как
лежат в одной плоскости
• На рисунке векторы компланарны, так как
лежат в параллельных плоскостях:
Z
a
b
х
у
Линейные операции над векторами
• 1. Сложение векторов
• Три правила сложения векторов:
1) Треугольник
2) Параллелограмм
3) многоугольник
Пояснения правил сложения.
• По правилу треугольника: из любой точки
плоскости откладываем в выбранном масштабе два
заданных вектора друг за другом в любой
последовательности. Направляем вектор суммы из
начала первого вектора в конец второго.
• По правилу параллелограмма: откладываем в
выбранном масштабе заданные векторы и из общего
начала, затем строим на этих векторах, как на
сторонах, параллелограмм и вдоль его диагонали из
общего начала направляем вектор, равный сумме
двух векторов.
• По правилу многоугольника: из любой точки
плоскости выстраиваем все векторы друг за другом в
выбранном масштабе. Вектор суммы направляем из
начала первого вектора в конец последнего.
Свойства суммы
• 1)
a b b a
• 2)
a  (b  c )  (b  a )  c
• 3)
a  0  a;
• 4)
a  ( a )  0
;
.
;
• 2. Умножение вектора на скаляр
• Произведением вектора a на вещественное
число  называется вектор b    a .
• При этом:
b    a , b || a .
•
Если

a  b
>0 , то a  b , если

< 0, то
• Замечание:
•
b  a
− условие коллинеарности.
.
Свойства операции умножения
• Для любых ( , k ) 
R:
• 1)
k ( a )  ( k  )a ;
• 2)
( k   )a  ka   a ;
• 3)
 (a  b )   a  b
.
Линейное векторное пространство
• Непустое множество векторов, на
котором заданы линейные операции
«сложение векторов» и «умножение
вектора на скаляр», называется
линейным векторным пространством,
если выполняются перечисленные
выше свойства этих операций.
Проекция вектора на ось
• Обозначение:
- проекция вектора a
l
• на ось l . Единичный вектор i
задает
• положительное направление оси и масштаб.
a
al
Определение.
• Проекцией вектора a на ось l
называется число al , равное
произведению модуля этого вектора на
косинус угла  между вектором и осью:
al  a  cos
• Проекция вектора на ось равна длине
отрезка, расположенного на оси между
двумя перпендикулярами, опущенными
на ось из начала и конца вектора.
Свойства проекций
1) Проекция суммы равна сумме
проекций
(a  b )l  al  bl
2) Проекция вектора, умноженного на
скаляр, равна произведению скаляра на
проекцию вектора
( a )l   al
Пример
• Заданы векторы a , b , c своими модулями
• a = 2, b = 3, c = 4 и направлениями.
Углы отсчитываются
от оси 0х к векторам
против часовой стрелки:
  30 ,   120 ,   240
• Найти проекции заданных
векторов на ось 0х:
a x , bx , cx .
Решение
• Проекция вектора
a
на ось 0х:
3
a x  a cos   2  cos 30  2 
 3  1,73
2
• Проекция вектора
b на ось 0х:
1
bx  b cos   3  cos120  3    sin 30   3   1,5
2
c на ось 0х:
• Проекция вектора
1
cx  c cos   4  cos 240  4   cos 60   4   2
2
• Проекции можно найти иначе: как катеты
прямоугольных треугольников.
Оси координат
следует совместить
с началом векторов.
Знак проекции: «плюс», если катет попадает
на положительную часть оси и «минус» − если
на отрицательную.
Из рисунка видно:
3
a x  a cos 30  2 

2
3  1, 73
1
bx   b sin 30  3  sin 30  3   1,5
2
1
cx   c cos 60  4  cos 60  4   2
2
Проекции на ось 0у определяют аналогично.
Скалярное произведение двух векторов.
• Скалярным произведением двух векторов
называется число равное произведению их
модулей на косинус угла между ними.
a  b  a  b  cos 
b

a
Свойства скалярного произведения.
• 1)
a b  b a
;
• 2)
(a  b )  c  a  c  b  c ;
• 3)
(k  a )  b  k (a  b ) ;
• 4) условие ортогональности двух векторов:
a b

a b  0
Векторное произведение двух векторов.
• Заданы модули векторов | a |, | b | и угол
между векторами φ.
• Векторным произведением вектора a на
вектор b называется вектор: c .
• Модуль вектора определяется по формуле:
c  a  b  sin 
Направление вектора векторного произведения
• Направление вектора определяется по
правилу «правой тройки векторов». Три
упорядоченных вектора {a , b , c } образуют
«правую тройку», если:
• поворот от первого вектора ко второму
виден против часовой стрелки; при этом
смотреть надо с конца третьего вектора.
z
c
x
b

a
y
Свойства векторного произведения
• 1)
 a  b    b  a 
• 2)
 a  b   c    a  c   b  c  ;


;
• 3) a  b   S - площадь параллелограмма,
построенного на векторах, как на сторонах;
• 4) условие коллинеарности двух векторов:
a || b   a  b   0
Смешанное произведение трех векторов
• Смешанным произведением трёх ненулевых
векторов называется число:

•
•
•
•
•
A  a  b   c
Обозначение: A  abc

Свойства смешанного произведения:
1) abc  0  условие компланарности
2) abc  ba c
3) A  V
V- объем параллелепипеда,
построенного на векторах , как на рёбрах.
Базис линейного векторного пространства
• Определение. Упорядоченная система
линейно независимых векторов, через
которую можно единственным образом
выразить любой вектор пространства
называется базисом.
• Линейно зависимые и независимые
векторы. Система векторов линейно
зависима, если любой её вектор можно
выразить через остальные с помощью
линейной комбинации, иначе система
векторов линейно независима.
•
•
•
•
Примеры
Линейная комбинация векторов:
1a1  2a2  ...  n an  0
Два коллинеарных вектора a и b линейно
зависимы, так как для них a   b
(вектор a выражается через вектор b
из линейной комбинации:  b  a  0 ).
Два неколлинеарных ненулевых вектора
линейно независимы.
Три компланарных вектора a , b , c - линейно
зависимы, так как любой из них можно
выразить через остальные: c  1a  2b
• Три некомпланарных вектора линейно
независимы.
• Правая и левая упорядоченная тройка
некомпланарных линейно независимых
векторов:
k
i
k
j
правая тройка
векторов
j
i
левая тройка
векторов
Размерность векторного пространства.
Разложение вектора по базису.
1
• Одномерное векторное пространство V .
• Система коллинеарных векторов образует
одномерное пространство: любой его вектор
можно выразить через один, выбранный за
базис, например, единичный вектор i
.
a
i
a  2 i
x
b
b  i
a  a x i , b  bx i
• Двумерное векторное пространство
V
2
.
В двумерном пространстве любой вектор
можно выразить через пару компланарных
векторов, например, единичных векторов i
и j , воспользовавшись правилом
параллелограмма.
y
a
j
i
a  3i  j
x
Векторы i и j можно принять за базис
двумерного векторного пространства V 2.
• Из рисунка видно что проекция вектора на
ось 0х a x = 3, проекция на ось 0у a y = 1 .
• Формула разложения вектора по базису в
двумерном векторном пространстве:
a  ax i  a y j
• Трехмерное векторное пространство
V
• В трёхмерном пространстве любой вектор a
можно выразить через три некомпланарных
вектора, например, i , j , k .
• Разложение вектора
a  ax i  a y j  az k
• по базису
z
az
a
k
ax
x
i
j
ay
y
3
Координаты вектора и координаты точки.
• Проекции вектора на координатные оси
называют его координатами.
• Обозначение вектора, заданного
координатами: a  a x , a y , a z .
• Проекции радиуса-вектора OM точки M
z
на координатные оси
M ( xM , y M , z M )
есть её координаты.
zM
• Обозначение:
0
y
xM
M ( xM , y M , z M )
x
yM


Операции над векторами заданными своими
координатами
1) Линейные операции:
a  b  (ax  bx , a y  by )  a  ( a x ,  a y )
2) Скалярное произведение:
 a  b   (a b
 a y by  a z bz )
i
3) Векторное произведение:  a  b   a x
bx
x x
ax
4) Смешанное произведение:  a , b , c   bx
cx
j
ay
by
ay
by
cy
k
az
bz
az
bz
cz