руб.

Научно-исследовательская
работа на тему:
«Геометрическая прогрессия в
экономике»
Автор - Урявина Людмила ученица 11-А класса
Научный руководитель - Пьянзина В.И.
Цель работы:
1. Выяснить, какую роль играет
геометрическая прогрессия в
экономике.
2. Рассмотреть некоторые приложения
геометрической прогрессии.
3. Доказать, что банк, выдавая кредиты,
не обходится без геометрической
прогрессии.
План работы:
I.Введение
II. История геометрической прогрессии
III. Экономика как гуманитарная дисциплина
1. Математическая модель и математическое моделирование
IV. Понятие о банковской системе
V. Как банк «создаёт» деньги
VI. Сегодняшняя стоимость завтрашних платежей
1. Понятие о дисконтировании
2. Современная стоимость потока платежа на примере села
Большое Игнатово
VII. Как банк выдаёт кредиты
1. Выдача кредита Акционерным коммерческим банком
Российской Федерации в селе Большое Игнатово
VIII. Заключение
IX. Литература
Геометрическая прогрессия играет большую
роль при построении математических
моделей экономики. Она используется при
расчётах банка с вкладчиком, заёмщика с
банком, при определении суммарной
способности кредитования системы банков,
при вычислении завтрашней стоимости
сегодняшних денег, и во многих других
вопросах.
Немного истории
Издавна большой популярностью пользуется следующая задача
– легенда, которая, как полагается, относится к началу нашей
эры.
«Индийский царь Шерам позвал к себе изобретателя шахматной
игры, своего подданного Сету, чтобы наградить его за
остроумную выдумку. Сета, издеваясь над царём, потребовал за
первую клетку шахматной доски 1 зерно, за вторую – 2 зерна, за
третью – 4 зерна и т.д. Обрадованный царь приказал выдать
такую «скромную» награду. Однако оказалось, что царь не в
состоянии выполнить желание Сеты, так как нужно было выдать
количество зёрен, равное сумме геометрической прогрессии 1,
2, 2^2, 2^3, …, 2^63. Её сумма равна
2^64-1=8 446 744 073 709 551 615.
Такое количество зёрен пшеницы можно собрать лишь с
площади в 2000 раз большей поверхности Земли. Так, если бы
царь засеял площадь всей поверхности Земли, считая и моря, и
океаны, и горы, и пустыни, и Арктику с Антарктикой, и
получить удовлетворительный урожай, то, пожалуй, лет за 5 он
смог бы рассчитаться с просителем. Как вы считаете – стоило
ему смеяться?
Понятие о банковской системе
Слово банк происходит от латинского слова «banko» - скамья, лавка
менялы.
Современные банки аккумулируют деньги, предоставляют кредит,
осуществляют взаимные расчёты, выпускают деньги и ценные бумаги,
осуществляют операции с золотом, иностранной валютой и т.д.
Коммерческие банки обеспечивают связь между теми, кто
накапливает деньги, и теми, кто берёт их в долг, то есть банк является
посредником в любых экономических делах.
Коммерческие банки выполняют две основные функции:
1. Они накапливают бессрочные вклады, т. е. открывают текущие
счета (владелец вклада может, как снимать с него деньги, так и
увеличивать вклад, делая новые вложения), оплачивают чеки,
выписанные на имя своих вкладчиков, хранят различные срочные
вклады населения и т.д.
2. Банки предоставляют кредиты предпринимателям, фермерам,
торговцам и т.д.
Работу коммерческих банков контролирует один или несколько
Центральных банков.
Дисконтирование – процесс нахождения сегодняшней
стоимости платежа, осуществляемого через некоторое
время.
Основная проблема, связанная с дисконтированием,
состоит в том, что при осуществлении различных
проектов необходимо уметь сопоставлять величину
сегодняшних затрат с величиной будущих доходов.
Решением этой задачи я решила заняться в своей
исследовательской работе.
S=S0∙(1+p/100)^n – эта формула показывает, какой
будет через n лет цена сегодняшних S0 р. при банковской
ставке p%.
1 руб. через 10 лет при банковской ставке 20 % будет
стоить S10=1∙(1+0,2)^10 ≈ 6,19 ≈ 6 руб., а через 30 лет
S30=1∙(1+1,2)^30 ≈ 237,38 руб.
Современная стоимость патока платежа
В селе Большое Игнатово в 2007 году начали строительство
спортивного комплекса.
Допустим, что в его строительство решено было вложить 9 000 000
рублей, его эксплуатация будет в течение 15 лет приносить ежегодный
доход 810 000 рублей, выплачиваемый в конце года. Банковская ставка
p=3 %.
Выясним, выгоден ли этот проект, т. е. сравним сегодняшние затраты
– 9 000 000 р. – с завтрашними доходами по 810 000 долл. ежегодно в
течение 15 лет.
Решение. Через 15 лет мы получим 12 150 000 = 810 000∙15 (руб.)
Первые 810 000 руб. мы получим через 1 год, вторые 810 000 руб. –
через 2 года, третьи 810 000 руб. через 3 года и т.д. Последние 810 000
долл. мы получим через 15 лет.
Современная стоимость рассматриваемого потока платежей
получается сложением полученных современных стоимостей, т. е.
R=R1+R2+R3+…+R15.
В нашем примере имеем R=810 000/0,03∙(1-1/(1,03)^15)=9 669 720 (руб.).
Итак, получили мы 9 000 000 руб., а современная стоимость потока
платежей равна 9 669 720 руб., что на 669 720 руб. больше наших
начальных затрат в 9 000 000 руб. Значит, при p=3 % проект имеет
смысл осуществлять и вложение в него средств оправдано.
Вы предполагается приобрести новый автомобиль, который
станет приносить ежегодно чистый доход 2000 р. в течение 7
лет, а затем будет выброшен на свалку. Какую сумму вы будете
готовы уплатить при банковской ставке p=12 %?
Решение.
Полагая, что поступления от использования автомобиля
происходят в конце каждого года, дисконтируем платежи и
найдём современную стоимость рассматриваемого потока
платежей. По формуле R=S/r∙(1-1/(1+r)n) имеем:
R=(2000/0,12)∙(1-1/(0,12)7)=9 127,5 р.
Отсюда мы делаем вывод, что больше, чем 9 127,5 р.,
автомобиль покупать не следует.
Замечание. Если бы после 7 лет эксплуатации автомобиля
мы не выбросили её на свалку, а могли бы продать его либо как
автомобиль, либо как металлолом хотя бы за 1000 р., то к
найденной современной стоимости добавилось бы слагаемое
1000/(1,12)7=452,35 р., и теперь автомобиль можно было бы
купить за сумму, не превосходящую 9579,86
(р.)=(9127,51+452,35).
В селе Большое Игнатово существует музыкальная
школа. Родители за обучение ребёнка в музыкальной
школе платят по 40 руб. в течение 10 месяцев.
Администрация школы заинтересована в том, чтобы
получить 1 сентября 380 руб. и больше в течение года
не платить. Банковская ставка 36 % годовых.
Решение.
p=36 %, r=0,03.
R1=40, R2=49/(1,03)^2, R3=40/(1,03)^3…R10=40/(1,03)^9.
R=40∙(1+1/1,03 +1/(1,03)^2 +…+1/(1,03)^9).
R=40/0,03∙(1-1/(1,03)^10)∙1,03=352 руб.
Итак, современная стоимость рассматриваемого потока
платежей составляет 352 р. Поэтому родителям
невыгодно платить 3552 р., ибо они теряют 28 р.
Выдача кредита Акционерным коммерческим банком
Российской Федерации
Кредиты
Срок хранения
Годовых в
рублях
Годовых в
валюте
Кредит «На неотложные
нужды»
До 1,5 лет
От 1,5 до 3 лет
От 3 до 5 лет
15 %
16 %
17 %
15,5 %
16,5 %
17,5 %
«Доверительный» кредит
До 1 года
15 %
Кредит «На недвижимость»
До 30 лет
От 12 %
«Пенсионный» кредит
До 1,5 лет
От 1,5 до 3 лет
От 3 до 5 лет
15 %
16 %
17 %
Кредит «Ипотечный»
До 30 лет
От 11 %
«Образовательный» кредит
Не более 11 лет в
зависимости от
срока обучения
12 %
Экспресс-выдача кредитов
под заклад ценных бумаг
До 6 месяцев
15 %
Кредит под залог мерных
слитков
До 6 месяцев
15 %
Размер тарифа за обслуживание ссудного
счёта по кредиту «На неотложные нужды»
Сумма в тыс. руб.
До50
От 50 до 100
От 100 до 200
От 200 до 500
Свыше 500
Для клиентов,
имеющих
положительную
кредитную
историю
1500 руб.
2500 руб.
4000 руб.
5500 руб.
6500 руб.
Для прочих
категорий
заёмщиков
2000 руб.
3000 руб.
4500 руб.
6000 руб.
7000 руб.
Погашение кредита
Рассмотрим, как происходит погашение кредита
«На неотложные нужды». И как помогает при этом
геометрическая прогрессия? Например, кто-то взял
кредит на сумму 27 000 руб. с 15 % годовых на 1,5
года. Ежемесячно он платит долг 1500 руб. и
проценты, которые составляют 1,25 % ежемесячно. В
первый месяц он платит 1500 + 337,5 = 1837,5 руб.
Во второй месяц – 1500 + 318,75 = 1818,75. В третий
– 1500 + 300= 1800 руб. В 18 месяц – 1500 + 18,75 =
1518,75 руб. В конечном счёте, сумма кредита
составит 30204,45 руб.
Результат работы
Работая над данной исследовательской работой, я убедилась
в том, что действительно геометрическая прогрессия играет
важную роль в экономике. С её помощью решаются почти все
вопросы, с которыми приходится сталкиваться банку. Банки не
просто хранят деньги, они дают взаймы деньги тем, кто в них
нуждается. Мы берём кредит, вкладываем деньги в различные
проекты, храним в банке деньги. Выдавая кредит, банк
обязательно сталкивается с геометрической прогрессией.
В этой работе я увидела, каким образом приобретённые
знания по математике могут быть сразу использованы для
решения очень важных задач современной экономики.
Оказывается, что такие на первый взгляд бесполезные вопросы,
как сумма членов геометрической прогрессии, бесконечно
убывающая геометрическая прогрессия и её сумма, имеют
глубокий экономический смысл.