10Tema11_Urok2

Класс 10. Модуль 11. Углы в пространстве
Урок 2. Двугранные углы
План урока
1. Понятие двугранного угла. Ребро, грани, внутренность двугранного угла
2. Линейный угол двугранного угла
3. Другое определение линейного угла
4. Построение линейного угла с использованием перпендикуляра к одной из граней
5. Угол между перпендикулярами к граням
6. Двугранные углы, образуемые при пересечении двух плоскостей
7. Угол между плоскостями
8. Угол между перпендикулярными плоскостями
9. Эквивалентность двух определений перпендикулярности плоскостей
10. Произвольность угла между прямыми, лежащими на перпендикулярных
плоскостях
1. Понятие двугранного угла. Ребро, грани, внутренность двугранного угла
Выбирая в многограннике две соседние грани, имеющие общее ребро, мы получаем
пространственную фигуру — часть двугранного угла. Например, в кубе ABCDA1B1C1D1
грани ABB1 A1 и ABCD с общим ребром AB образуют часть прямого двугранного угла
(рис. 1).
В общем случае двугранный угол определяется следующим образом.
Фигура, образованная двумя полуплоскостями  и  с общей границей a
называется двугранным углом.
В этом определении прямая a называется ребром двугранного угла, полуплоскости  и
 называются гранями двугранного угла.
Двугранный угол можно обозначить, указав сначала точку в одной грани, затем две точки
на ребре и после этого точку во второй грани. Например, двугранный угол, изображенный
на рис. 6, можно обозначить как A1 ABC .
Две различные полуплоскости с общей границей разбивают пространство на две части.
Иногда к двугранному углу добавляют одну из этих частей и называют ее внутренностью
двугранного угла. Например, удобно считать, что двугранный угол пирамиды целиком
содержит эту пирамиду (рис 2).
Плоскость с проведенной на ней прямой a можно считать развернутым двугранным
углом с ребром a .
В отдельных случаях одну полуплоскость также удобно считать "нулевым" двугранным
углом с совпадающими гранями.
Вопрос. Сколько можно указать двугранных углов, имея две различные пересекающиеся
плоскости?
Двугранный угол можно определить также как пересечение двух полупространств,
границы которых не параллельны. При таком определении внутренними точками
являются те точки двугранного угла, которые не лежат на его гранях.
Вопрос. Как доказать, что при определении из данного пункта двугранный угол —
выпуклая фигура?
2. Линейный угол двугранного угла
Для измерения двугранного угла используют его линейный угол.
Пусть  и  — грани двугранного угла с ребром a . Для построения его линейного угла
выберем на ребре a точку C и проведем перпендикулярно прямой a в полуплоскости 
луч CA и в полуплоскости  луч CB (рис. 3). Построенный угол ACB и называется
линейным углом данного двугранного угла.
Выбрать на ребре точку и провести из нее в гранях лучи перпендикулярно ребру можно
по-разному (рис. 4). Однако в дальнейшем будет доказано, что величина линейного угла
не зависит от выбора его вершины на ребре. Поэтому величина двугранного угла
определяется как величина его произвольного линейного угла.
Пример 1. Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD с ребром основания
AB  2 см и высотой SH  3 см. Найти величину двугранного угла между гранями SAB и
ABCD .
Решение. Проведем из точки H перпендикуляр HM к ребру AB (рис. 5). Тогда по
теореме о трех перпендикулярах SM  AB . Следовательно, SMH — линейный угол
двугранного угла пирамиды с ребром AB . Из прямоугольного треугольника SMH
SH 3
  3 . Отсюда   arctg 3 .
находим tg  tg SMH 
MH 1
Вопрос. Какую величину в рассмотренном примере имеет угол между гранями SAB и
SCD?
3. Другое определение линейного угла
Рассмотрим двугранный угол с ребром a , отличный от развернутого. Пусть  MNK - его
линейный угол (рис.6). Тогда MN  a, NK  a, а поэтому плоскость MNK
перпендикулярна прямой a.
С другой стороны, возьмем двугранный угол и проведем перпендикулярно его
ребру плоскость  . В пересечении плоскости  с гранями двугранного угла получим
лучи, перпендикулярные ребру. Следовательно, плоскость, перпендикулярная ребру
двугранного угла, пересекает двугранный угол по его линейному углу.
Таким образом, линейный угол двугранного угла можно определить как угол,
образованный при пересечении двугранного угла с плоскостью, перпендикулярной его
ребру. Такое определение линейного угла эквивалентно определению из предыдущего
пункта.
Вопрос. Как определить прямой двугранный угол?
4. Построение линейного угла с использованием перпендикуляра к одной из граней
Наличие перпендикуляра к одной из граней часто упрощает построение линейного угла.
Пусть задан двугранный угол с гранями  и  и ребром a . Допустим, что прямая m
перпендикулярна плоскости  и пересекает плоскости  и  в различных точках M и
K (рис. 7). Проведем из точки M перпендикуляр MH к прямой a . Прямая MH является
ортогональной проекцией прямой MK на плоскость  . И так как MH   , то KH   .
Следовательно, угол KHM - линейный для данного двугранного угла.
Пример 2. В кубе ABCDA1B1C1D1 с ребром a точка M середина ребра CD . Найдем
величину двугранного угла C1 AMB .
Решение. Ребром искомого двугранного угла является прямая AM , а гранями —
полуплоскости   AMC1 и   AMB с границей AM (рис. 8). Заметим, что ребро C1C
перпендикулярно грани  , причем прямая CC1 пересекает  в точке C1 и  в точке C .
Проведем CH  AM и, соединив точки C1 и H , получим линейный угол C1 HC искомого
двугранного угла.
Для вычислений рассмотрим плоскость ABCD (рис. 9). Так как CH  AH , то
CMH
AMD , причем
  MCH  MAD . Поэтому
tg  tg (MAD) 
MD 1
 ,
AD 2
1
откуда   arctg   .
2
Вопрос. Как доказать, что на рисунке 8 угол C1MC не равен углу C1 HC ?
5. Угол между перпендикулярами к граням
Величину двугранного угла можно определить, имея перпендикуляры к его граням. Для
простоты рассмотрим случай, когда перпендикуляры к граням проводятся из точки ребра
двугранного угла.
Пусть точка M лежит на ребре a двугранного угла с гранями  и  (рис. 10).
Построим луч MA , перпендикулярно  и луч MB перпендикулярно  таким образом,
что MA и  расположены по разные стороны относительно  , а MB и  расположены
по разные стороны относительно  . Так как MA   , а MB   , то MA   и MB   .
Поэтому MAB   . Отсюда следует, что плоскость MAB пересекает грани  и  по
LMK
MA  MK ,
MB  ML . Значит,
линейному углу
(рис.11), причем
AMB  KML  180 . Следовательно, вычислив угол AMB , мы сможем найти и
линейный угол двугранного угла.
Вопрос. Как провести перпендикуляры к граням двугранного угла, чтобы угол между
перпендикулярами был равен линейному углу?
6. Двугранные углы, образуемые при пересечении двух плоскостей
Две различные плоскости  и  , пересекающиеся по прямой a , разбивают
пространство на четыре части. Поэтому можно говорить о четырех двугранных углах,
соответствующих этим частям. Проведя плоскость  перпендикулярно прямой a , в
пересечении с плоскостями  и  мы получим пересекающиеся прямые m и n ,
перпендикулярные прямой a (рис.12).
Лучи прямых m и n с началом A образуют линейные углы четырех двугранных
углов, получившихся при пересечении плоскостей  и  . При пересечении прямых m и
n можно говорить о смежных и вертикальных углах. Поэтому двугранные углы называют
смежными, если соответственные линейные углы с общей вершиной являются смежными;
двугранные углы называют вертикальными, если соответственные линейные углы
вертикальны.
Вопрос. Чему равна сумма величин двух смежных двугранных углов?
7. Угол между плоскостями
В пространстве между любыми двумя плоскостями определяют угол, который
может принимать значение из промежутка [0  90 ] в градусной мере или из промежутка

[0 ] в радианной мере.
2
По определению угол между двумя параллельными плоскостями считают равным
нулю. Напомним, что две совпадающие плоскости иногда также удобно считать
параллельными.
В остальных случаях угол между двумя плоскостями определяется следующим образом.
Углом между двумя различными пересекающимися плоскостями называется
величина наименьшего из четырех образовавшихся при пересечении двугранных
углов.
Угол между плоскостями a и b обозначают через (a b) .
Пример 3. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 заданы ребра AB  4 ,
AD  5 и AA1  1 (см). Найдем угол между плоскостями A1BD и C1BD .
Решение. Заметим, что двугранные углы ABDA1 , A1 BDC1 , C1BDC вместе составляют
развернутый угол, поэтому их сумма равна 180 .
Для вычисления величины угла ABDA1 проведем AH  BD (рис.13). Тогда по теореме о
трех перпендикулярах A1H  BD. Следовательно, угол AHA1~-- линейный для
AB 4
1
25
 , cos 2  
двугранного угла ABDA1. Пусть ADB=. Тогда tg 
,

2
AD 5
1  tg  41
5
4
4
20
. Отсюда AH =AD  sin = 5
После этого из
cos  
, sin  
=
41
41
41
41
AA
41
прямоугольного треугольника AA1H находим tg AHA1  tg  1 
.
AH
20
Аналогично получается, что величина двугранного угла C1BDC также равна  .
Поэтому угол  между плоскостями A1BD и C1 BD равен либо   2 , если   2

меньше , либо 2 . Так как
2
tg (2 )
4110
40 41
tg (2 ) 


 0
2
1  tg  1  41 400
359
то   2 .
Из приведенного решения следует, что ответ можно записать либо как   2arctg (
41
),
20
40 41
).
359
Вопрос. Как в рассмотренном примере изобразить линейный угол двугранного угла
A1 BDC1 ?
либо как arctg (
8. Угол между перпендикулярными плоскостями
Изучая перпендикулярность плоскостей, мы определили, что плоскость 
перпендикулярна плоскости  , если  проходит через прямую a , перпендикулярную
плоскости  .
С помощью углов между плоскостями можно дать другое определение
перпендикулярности плоскостей.
Две плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 .
Вопрос. Пусть плоскость  проходит через прямую a , перпендикулярную плоскости  ,
и пересекает  по прямой m . Как построить линейные углы образующихся двугранных
углов?
9. Эквивалентность двух определений перпендикулярности плоскостей
Докажем, что определения перпендикулярности плоскостей из пункта 4.1 главы 6 и из
пункта 2.9 данной главы эквивалентны.
I часть. Пусть плоскость  пересекает плоскость  по прямой m и проходит через
прямую a , перпендикулярную  . Проведем в плоскости  прямую b перпендикулярно
прямой m (рис. 14). Так как a   , то a  b и a  m . Следовательно, a  m , b  m , а
поэтому прямые a и b определяют линейные углы образующихся при пересечении
плоскостей  и  двугранных углов. Из перпендикулярности прямых a и b следует, что
угол между плоскостями  и  равен 90 .
II часть. Пусть угол между плоскостями  и  равен 90 . Тогда в плоскостях  и 
можно провести прямые p и q перпендикулярно линии m пересечения  и  . При этом
p  q (рис. 15). Так как p  m и p  q , то p   . Следовательно, плоскость  проходит
через прямую p , перпендикулярную плоскости  .
Вопрос. В каком случае через две данные точки можно провести единственную
плоскость, перпендикулярную заданной плоскости?
10. Произвольность угла между прямыми, лежащими на перпендикулярных
плоскостях
Когда прямая m перпендикулярна плоскости  , то a перпендикулярна каждой прямой
плоскости  . Иное наблюдается, если рассмотреть две взаимно перпендикулярные
плоскости.
Пусть плоскости  и  перпендикулярны и пересекаются по прямой m . Тогда из точки
M прямой m можно так провести лучи соответственно в плоскостях  и  , что угол
между ними принимает произвольное значение от 0 до 180 . Например, на рис. 16
изображен угол AMB , величина которого мало отличается от 0 , а на рис. 17 изображен
угол CMD , величина которого мало отличается от 180 .
Таким образом, две произвольно выбранные прямые двух перпендикулярных плоскостей
не обязаны быть перпендикулярными.
Вопрос. Пусть прямая a лежит в плоскости  , прямая b лежит в плоскости  и    .
Как доказать, что если a  b , то либо a   , либо b   ?
Тесты. Проверь себя. Выбери правильные ответы.
Найти величину двугранного угла между соседними гранями правильного тетраэдра.
2 2
1. arcsin
3
2 2
2. arcsin
3
3. 60
2 2
4. arcsin
3
Ответ: 2.
Найти величину двугранного угла между основанием и боковой гранью правильной
четырехугольной пирамиды, у которой все ребра равны.
2 2
1. arcsin
3
2 2
2. arcsin
3
3. 60
2 2
4. arcsin
3
Ответ: 4.
Найти величину двугранного угла между соседними боковыми гранями правильной
четырехугольной пирамиды, у которой все ребра равны.
2 2
3
2 2
2. arcsin
3
3. 60
2 2
4. arcsin
3
Ответ: 1.
1. arcsin
Сколько всего плоскостей, составляющих угол 30 с данной плоскостью, можно провести
через две точки, лежащие на этой плоскости
1. 1
2. 2
3. 3
4. более 3
Ответ: 2.
Какую фигуру представляет собой множество биссектрис линейных углов двугранного
угла?
1. Полуплоскость
2. Плоскость
3. Конус
4. Две перпендикулярные плоскости
Тесты. Проверь себя. Выбери все правильные ответы.
Дана плоскость и две точки вне ее. Каким (в зависимости от их взаимного расположения)
может быть общее число плоскостей, составляющих угол 30 с данной плоскостью и
проходящих через данные точки
1. 0
2. 1
3. 2
4. более 2
Ответ: 1, 2, 3.
Две плоскости пересекаются под углом 30. Угол между двумя прямыми, лежащими в
этих плоскостях, может быть равным
1. 15
2. 30
3. 60
4. 120
Ответ: 1, 2, 3.
Угол между гранями двугранного угла
1. равен углу между любыми лучами, параллельными граням угла
2. равен углу между некоторыми лучами, параллельными граням угла
3. равен углу между любыми лучами, перпендикулярными граням угла
4. равен углу между некоторыми лучами, перпендикулярными граням угла
Ответ: 2, 4.
Угол между плоскостями
1. равен углу между любыми прямыми, параллельными этим плоскостям
2. равен углу между некоторыми прямыми, параллельными этим плоскостям
3. равен углу между любыми прямыми, перпендикулярными этим плоскостям
4. равен углу между некоторыми прямыми, перпендикулярными этим плоскостям
Ответ: 2, 3, 4.
Миниисследование
Как вычислить величины двугранных углов массивной треугольной призмы, если замеры
можно делать только на ее поверхности?
Всегда ли форма и порядок расположения граней многогранника позволяют однозначно
определить углы между его гранями?
Домашнее задание
1. SABCD — правильная четырехугольная пирамида, у которой высота SH  6 , ребро
основания AB  4 . Найти величину двугранного угла BSAC .
2. В правильной треугольной пирамиде угол между боковой гранью и плоскостью
основания равен  , ребро основания равно m . Найти: а) расстояние от вершины
пирамиды до основания; б) расстояние от вершины основания до боковой грани.
3. В кубе ABCDA1B1C1D1 через вершину B и середины ребер CC1 и A1 D проведена
плоскость  . Найти угол между плоскостями  и ABCD .
4. Основание правильной треугольной призмы ABCA1 B1C1 –треугольник ABC со
стороной 6 , боковые ребра равны 4 . Точка E лежит на ребре AA1 и AE  1 , точка F
лежит на ребре BB1 и BF  2 , точка G лежит на ребре CC1 и CG  3 . Найти угол между
плоскостями ABC и EFG .
5. Основание правильной четырехугольной пирамиды SABCD – квадрат ABCD со
стороной 2 , высота пирамиды равна 4 . Точки M и K — середины ребер BS и CD .
Найти угол между плоскостями AMK и ABCD .
6. Пусть A и B — точки на ребре двугранного угла величиной в 120 , AC и BD —
перпендикуляры к ребру, лежащие в разных гранях. Определите длину CD , если AB  6 ,
AC  3 , BD  2 .
7. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки M и K — середины ребер CC1 и A1D1 . Найти угол между
плоскостями BMK и ABCD .
8. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания ABCD равна 1,
высота пирамиды равна 2. Точки M и N — середины ребер SB и SD . Определите угол
между плоскостями AMN и ABCD .
9. В основании треугольной пирамиды ABCD лежит правильный треугольник ABC со
стороной 1. Ребро AD перпендикулярно плоскости основания, AD  1 . Точка M —
середина ребра BD . Через прямую MC параллельно высоте AH треугольника ABC
проведена плоскость  . Определите угол между плоскостями  и ABD .
10. Основанием прямой треугольной призмы ABCA1 B1C1 служит треугольник ABC, в
котором AB  a , AC  2a , BAC  120 . Высота призмы равна a . Найти площадь
сечения призмы плоскостью, которая делит пополам двугранный угол с ребром AB .
11. В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит равнобедренная трапеция с
острым углом 60 и основаниями AB  2a и CD  a . Грань SCD перпендикулярна
плоскости основания и является правильным треугольником. Через вершины A и C
проведена плоскость  , параллельная SD . Определите угол между  и ABCD .
Рисунки
Рис. 1 - 11-06.EPS
Рис. 2 - 11-07.EPS
Рис. 3 - 11-08.EPS
Рис. 4 - 11-09.EPS
Рис. 5 - 11-10.EPS
Рис. 6 - 11-11.EPS
Рис. 7 - 11-12.EPS
Рис. 8 - 11-13.EPS
Рис. 9 - 11-14.EPS
Рис. 10 - 11-15.EPS
Рис. 11 - 11-16.EPS
Рис. 12 - 11-17.EPS
Рис. 13 - 11-18.EPS
Рис. 14 - 11-19.EPS
Рис. 15 - 11-20.EPS
Рис. 16 - 11-21.EPS
Рис. 17 - 11-22.EPS