Математика для экономистов 1 - Российская экономическая школа

МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ (2005-2006 учебный год)
Д. э. н. В. М. Полтерович, д. ф.-м. н. Е. Г. Гольштейн, д. э. н. М. И. Левин,
д. ф. - м. н. А. А. Шананин, д. ф. - м. н. А. В. Дмитрук, д. ф. - м. н. В. А. Булавский
Цель курса - ознакомить студентов с математическим инструментарием, который
находит особенно важные применения в экономической теории и, в частности, используется в
лекциях по микро- и макроэкономике.
Курс “Математика для экономистов” читается на первом году обучения для двух
потоков в Модулях 1 и 2 и является обязательным.
Курс включает 28 лекций и 13 семинарских занятий. В первом потоке каждую из семи
тем курса читает профессор, имеющий опыт научной работы в соответствующей области
математики или ее приложениях в экономике: Е.Г. Гольштейн, А. В. Дмитрук, М.И. Левин,
А.А. Шананин. Во втором потоке курс читает проф., д.ф.-м.н. В.А.Булавский. Координирует
программу курса проф.В.М. Полтерович.
Курс предусматривает сдачу двух экзаменов: в конце первого модуля по Темам 1-3 и в
конце второго модуля - по Темам 4-7. В документ об окончании школы проставляется
средняя из двух оценок. Оценки по результатам семинарских занятий имеют вес 0,3, а
результаты экзаменов - 0,7 в общей оценке по курсу.
Ниже приводится план курса. В скобках после названия темы указаны фамилия
лектора, читающего в первом потоке, и число читаемых по данной теме лекций. Ссылки на
литературу даны по общему списку, помещенному в конце программы.
Введение
(В.М. Полтерович, 1 лекция - для двух потоков)
Математика в экономической теории: история и роль.
Литература: 1.
ТЕМА 1.Дифференциальные уравнения и теория устойчивости
(А.А.Шананин, 6 лекций)
Обыкновенные дифференциальные уравнения. Существование и единственность
решений. Лемма Грануолла. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными
коэффициентами. Непрерывная зависимость решений дифференциального уравнения от
параметров. Уравнение в вариациях.
Теорема устойчивости. Устойчивость по Ляпунову, асимптотическая устойчивость.
Первый метод Ляпунова. Теорема о неустойчивости.
Признаки устойчивости. Устойчивые полиномы. Необходимые условия устойчивости.
Критерий Рауса-Гурвича.
Второй метод Ляпунова. Устойчивость процессов регулирования цен.
Предельные циклы. Орбитальная устойчивость. Бифуркация Хопфа.
Литература: 11-14,22,26.
ТЕМА 2. Элементы выпуклого анализа
(Е.Г.Гольштейн, 3 лекции)
Выпуклые множества, внутренность и относительная внутренность выпуклых
множеств, размерность выпуклых множеств.
Теоремы отделимости. Крайние точки выпуклых множеств, выпуклые многогранники
и многогранные множества. Два эквивалентных определения выпуклых (вогнутых) функций,
квазивыпуклые (квазивогнутые) функции. Свойства выпуклых и квазивыпуклых функций.
Понятие субдифференциала (супердифференциала). Непрерывность, дифференцируемость и
субдифференцируемость выпуклых функций.
Основы субдифференциального исчисления, сопряженные функции и их свойства.
Литература: 1, 4, 6, 9, 10, 15.
ТЕМА 3. Элементы нелинейного программирования
(Е.Г.Гольштейн, 4 лекции)
Задача выпуклого программирования, функция Лагранжа, двойственная задача.
Седловые точки функции Лагранжа и пара взаимодвойственных задач выпуклого
программирования.
Условия Слейтера и его варианты. Теоремы Куна-Таккера для задач выпуклого
программирования. Необходимые и достаточные условия оптимальности для задачи
выпуклого программирования в дифференциальной форме.
Оптимизационные задачи, порождаемые квазивыпуклыми функциями, необходимые и
достаточные условия оптимальности в дифференциальной форме. Примеры использования
условий оптимальности для отыскания решения задачи (задача эффективного использования
ресурсов, задачи максимизации полезности при бюджетном ограничении).
Функции возмущения задач выпуклого программирования, связь между
субдифференциалом функции возмущения и множеством решений двойственной задачи,
теоремы о маргинальных значениях для задач выпуклого программирования и их
экономический смысл.
Общие задачи нелинейного программирования, локальный и глобальный оптимум,
строгий локальный оптимум, условия регулярности ограничений задачи, теорема КунаТаккера для гладких задач нелинейного программирования (необходимые условия
оптимальности 1-го порядка).
Необходимые условия оптимальности второго порядка, достаточные условия
оптимальности второго порядка
Дифференцируемость решений и множителей Лагранжа гладких задач нелинейного
программирования по параметрам, связь с маргинальными значениями.
Экономические приложения: теория спроса (функции полезности и функции спроса,
уравнения Слуцкого), децентрализация решений; модели экономической динамики.
Литература: 3, 4, 6, 8, 9, 15, 19, 27, 28.
ТЕМА 4. Парето-оптимальность
(М.И.Левин, 2 лекции)
Парето-оптимальность в сильном и слабом смысле. Теорема о свертке критериев.
Необходимые и достаточные условия Парето-оптимальности. Парето- оптимальные и
равновесные состояния.
Литература: 5,7, 10, 19.
ТЕМА5. Теоремы о неподвижной точке
(М.И.Левин, 3 лекции)
Принцип сжимающих отображений. Приложение: существование решений
дифференциальных уравнений.
Теоремы Брауэра и Какутани. Лемма Гейла-Никайдо. Приложения: существование
равновесия по Нэшу; существование конкурентного равновесия.
Теорема Бирхгофа-Тарского и ее приложения.
Литература: 5-7,20.
2
ТЕМА 6. Принцип максимума
(А. В. Дмитрук, 6 лекций)
Различные постановки задач оптимального управления. Задачи в дискретном и
непрерывном времени, конечный и бесконечный горизонты, различные виды краевых
условий. Примеры: модель планирования с конечным горизонтом (с терминальным и
интегральным функционалами), модели оптимального экономического роста, модель Рамсея.
Принцип максимума как необходимое условие оптимальности для задачи на конечном
интервале со свободным правым концом. Случаи непрерывного и дискретного времени.
Интерпретация двойственных переменных. Случаи, когда условия принципа максимума
являются и достаточными.
Классическая задача вариационного исчисления в непрерывном времени. Уравнение
Эйлера как условие экстремальности первого порядка. Связь между принципом максимума и
теоремой Куна-Таккера в дискретном случае.
Принцип максимума в других задачах оптимального управления. Условия
трансверсальности).
Оптимизация на бесконечном временном интервале.
Литература: 18, 29, 2,13,15,16,21,23,24,25.
ТЕМА 7. Динамическое программирование
(А. В. Дмитрук, 3 лекции)
Метод динамического программирования для задачи оптимального управления в
дискретном и непрерывном времени. Функция выигрыша Беллмана и принцип
оптимальности. Рекуррентные соотношения.
Автономные модели. Терминальный функционал и "проблема хвоста" в задаче
динамического планирования.
Уравнение Беллмана. Синтез оптимального управления.
Связь между производными динамическим программированием и двойственными
принципом максимума.
Принцип оптимальности в стохастическом случае.
Литература: 18, 29, 2,10,13,16-17.
ЛИТЕРАТУРА
1. K.J. Arrow and M.D. Intriligator. Historical introduction. In: Handbook of Mathematical
Economics. V.1. Eds: K.J. Arrow, M.D.Intriligator. North-Holland, 1981, p.1-14.
2. Carl P.Simon, Lawrence Blume. Mathematics for Economists. W.W. Norton & Company,
Inc., New York, 1994
3. Е.Г. Гольштейн, Н.В. Третьяков. Модифицированные функции Лагранжа. Москва,
Наука, 1989
4. Р. Рокафеллар. Выпуклый анализ. Мир, Москва, 1973.
5. Х. Никайдо. Выпуклые структуры и математическая экономика. Мир, Москва, 1972
6. Ж.-П. Обен. Нелинейный анализ и его экономические приложения. Мир, Москва,
1988
7. И. Экланд. Элементы математической экономики. Мир, Москва, 1983
8. С.А. Ашманов. Введение в математическую экономику. Наука, Москва, 1984
9. Б.Т. Поляк. Введение в оптимизацию. Наука, Москва, 1983
3
10. М.Д. Интрилигатор. Математические методы оптимизации и экономическая
теория. Прогресс, Москва, 1975
11. E.A. Coddington, N. Levinson. Theory of ordinary differential equation. N.Y., Toronto,
London, 1955
12. В.И. Арнольд. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных
уравнений. Москва, 1978
13. Л.С. Понтрягин, и др. Математическая теория оптимальных процессов. Физматгиз,
Москва, 1961
14. Б.П. Демидович. Лекции по математической теории устойчивости. Москва, 1967
15. В.М. Алексеев, Э.М. Галеев, В.М. Тихомиров. Сборник задач по оптимизации. М.,
Наука, 1984
16. Daniel Leonard and Ngo Van Long. Optimal Control Theory and Static optimization in
Economics. Cambridge University Press, 1992
17. Р. Беллман. Динамическое программирование. М., Мир, 1960
18. Беленький В.З. Оптимальное управление: принцип максимума и динамическое
программирование: Учеб. пособие / РЭШ # Кл/2001/002. – М., 2001.
19. С. Карлин. Математические методы в теории игр, программировании, и
экономике. Мир, Москва, 1964
20. Дж. Ортега, В. Рейнболдт. Итерационные методы решения нелинейных систем
уравнений со многими неизвестными. Мир, Москва, 1975
21. В.М. Алексеев, В.М. Тихомиров, С.В. Фомин. Теория оптимального управления.
М., Наука, 1979
22. Л.С. Понтрягин. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Москва, 1970
23. В.Г. Болтянский. Оптимальное управление дискретными системами. М., Наука,
1973
24. В.Г. Болтянский. Математические методы оптимального управления. М., Наука,
1969
25. O.J. Blanchard, S. Fisher. Lectures on Macroeconomics. The MIT Press, Cambridge,
Mass. 1992
26. J.E. Marsden, M.McCracken. The Horf bifurcation and its applications. N.Y., 1976
27. А. Фиакко, Г. Мак-Кормик. Нелинейное программирование. Методы
последовательной безусловной минимизации. М., Мир, 1972
28. D.G. Luenberger. Introduction to Linear Programming and Nonlinear Programming.
Addison-Wesley Publishing Company, 1973
29. Сотсков А. И., Колесник Г.В. Оптимальное управление в примерах и задачах.
РЭШ, 2002.
4