Связь предела и предельной точки

Дистанционный курс высшей математики
НИЯУ МИФИ
Математический анализ
1 семестр
Лекция 3
Предел числовой последовательности.
25 сентября 2014 года
Лектор: Доцент НИЯУ МИФИ, к.ф.-м.н.
Гришин Сергей Анатольевич
Основные определения, примеры
Def Последовательностью
a n 
называют числовую функцию,
заданную на множестве N натуральных чисел:
f
n  N 

a n  f (n)
Способы задания:
an 
an 
3n  2
(1)
n 1
n
n cos
3
n 1
(2)
a n  n (3)
an1  an  d
a n  (1) n n (4)
an1  qan (6)
an  f a1 , a2 ,..., an1 
(7)
(5)
m  an , n  N
Основные определения, примеры
Def.
Последовательность
a n 
называют ограниченной
сверху (снизу), если существует константа M ( m), для которой
an  M n  N
m  an , n  N
Если последовательность ограничена сверху и снизу, то она
называется ограниченной.
Def.
Последовательность
a n 
называют монотонно
возрастающей ( убывающей), если
a n  a n1
a n  a n1
n N
Если неравенства строгие, то монотонность строгая.
Основные определения, примеры
3n  2
(1)
Пример 1 a n 
n 1
3n  1  1
1
an 
 3
 - строго возрастает и ограничена
n 1
n 1
n
n cos
3 (2)
Пример 2 a n 
n 1
a6k 
6k

6k  1
a6 k  4  
a6 k 1 
6k  4

2(6k  5)
Пример 3
6k  1

2(6k  2)
a 6 k 5 
6k  5

2(6k  6)
a6 k  2  
6k  2

2(6k  3)
a6 k 3  
6k  3

(6k  4)
- ограниченная, не монотонная
a n  n (3) - ограниченная снизу, монотонная
Основные определения, примеры
n
a

(
1
)
n (4) - неограниченная ни сверху,
Пример 4
n
ни снизу, не монотонная
a  2k  a  2k  1 
2k
Пример 5
2 k 1
an1  an  d
(5) - арифметическая прогрессия
a n  a1  d n  1 При d>0 монотонно растет, ограничена снизу
При d<0 монотонно убывает, ограничена сверху.
Пример 6
an1  qan (6)
a n  a1 q n 1
При q<0 не монотонная, ограниченная при
q 1
Основные определения, примеры
def Окрестностью точки x 0 радиуса  называют множество
U  ( x0 )  x  R; x  x0   
Выколотая окрестность точки: U  ( x0 )  U  ( x0 ) \ x0 
0
def Число B называется предельной точкой
a n  , если для любого
  0 окрестность U  (B) содержит бесконечное число членов
последовательности.
def Число A называется пределом a n , если для любого   0
окрестность U  (A) содержит все члены последовательности,
кроме конечного их числа.
А  lim a n    0  n : n  n  an  A  
n 
Теорема о существовании предельной точки
Т.1. Всякая ограниченная последовательность имеет предельную
точку.
Док.  отрезок an  c1 ; b1 , n Алгоритм деления пополам:
  0 N  N  : n  N  cn ; bn  U  B 
Связь предела и предельной точки
Т.2. Любая предельная точка последовательности является
пределом для ее подпоследовательности.
Док.
1
   ank  U  B   lim ank  B
k 
k
Т.3. Если последовательность имеет предел, то он единственный.
Док.
Пусть пределов два.
В одной из окрестностей конечное число членов
последовательности.
Связь предела и предельной точки
Вопрос 1. Может ли сходящаяся последовательность иметь две
предельные точки? .
Ответ: нет
Если предельных точек две a и b, то   0, N m  N , n  N :
am  a 
Вопрос 2.


2
, an  b 

2
 am  an  a  b   
a b
2
Всякая ли последовательность, имеющая
одну предельную точку, сходится?

an  1   1  n
n
a  0  предельная точка, последовательность неограниченная
Сходящиеся последовательности
Т.4. Всякая сходящаяся последовательность ограничена.
Док. Все члены последовательности, кроме конечного их числа,
принадлежат окрестности предела – ограниченному множеству.
Т.5. Всякая возрастающая, ограниченная сверху последовательность
имеет предел.
Док. Всякая возрастающая, ограниченная сверху последовательность
ограничена, поэтому имеет предельную точку A.
Если A предельная точка, то an  A n
и   0  N  N  : A    a N  A
Тогда
n  N  A    a N  an  A  an  A  
Фундаментальные последовательности
Def Последовательность a n  называется фундаментальной, если
  0  N  N  : n, m  N  an  am  
Свойство 1. Фундаментальная последовательность ограничена.
Пусть m0  N . Тогда множество членов последовательности a n
с номерами n  N ограничено, поскольку am0    an  am0   .
Свойство 2.
Предельная точка фундаментальной
последовательности является пределом.

Пусть A – предельная точка:   0  m0  N : a m  A 
0
2
Последовательность фундаментальная: n  N  a n  a m 

0
Объединение:
a n  A  a n  a m0  a m0  A  a n  a m0  a m0  A 

2


2
2

Фундаментальные последовательности
Свойство 3. Фундаментальная последовательность сходится.
Свойство 1
 ограниченная  имеет предельную точку
 Свойство 2  имеет предел
Свойство 4. Сходящаяся последовательность фундаментальна.
сходимость 
  0 N  N  : n, m  N  a n  A 

2
, am  A 
Объединение:
an  am  an  A  A  am  an  A  am  A 

фундаментальность

2


2


2
Справочник 1
~ называется точной верхней гранью числового
Def Число M
~ 2)   0 x  X : x  M
~ 
множества X, если 1) x  X  x  M

~
Обозначение M  sup X
~ называется точной нижней гранью числового
Def Число m
~ 
~ 2)   0 x  X : x  m
множества X, если 1) x  X  x  m
~  inf X
Обозначение m
Факт 1 Любое ограниченное числовое множество X имеет
sup X и inf X
Пусть B – множество предельных точек последовательности
Def
Верхним пределом
a n  , обозначение
называют число, равное sup B
___
lim a n
n 
a n 
Справочник 2
Def
Нижним пределом
a n  , обозначение
lim an
___
n
называют число, равное inf B
Факт 2 Всякая ограниченная сверху последовательность
___
имеет lim a n
n 
Всякая ограниченная снизу последовательность
an
имеет lim
___
n
Факт 3 Верхний и нижний пределы последовательности
являются ее предельными точками.
___
Факт 4 Условие lim a n  lim an необходимое и достаточное для
n 
___
n
сходимости последовательности
a n 
Теоретические упражнения
Упражнение 1
Придумайте расходящуюся последовательность с
единственной предельной точкой.
Пример.
1
, b2 n 1  n
n
B  0  предельная точка, последовательность bk неограничена,
b2 n 
расходится
Упражнение 2 Придумайте пример последовательности с тремя
предельными точками.
Теоретические упражнения
1
1
1
c3k  1  , c3k 1  2  , c3k  2  3 
k
k
k
Упражнение 3
Множество рациональных чисел счетное, поэтому всех их
можно объединить в одну последовательность. Какое
множество предельных точек такой последовательности?
Любое действительное число a - предельная точка последовательности
рациональных чисел:
1
k  N   k  Q : a   k   lim  k  a
k 
k
Вопросы к экзамену
1) Последовательности и способы их задания, примеры.
Ограниченные, монотонные последовательности.
Предельные точки последовательности. Теорема о
существовании предельных точек.
2) Предел последовательности. Теорема о единственности
предела. Теорема об ограниченности сходящейся
последовательности.
3) Подпоследовательности. Предельная точка как предел
сходящейся подпоследовательности
4) Теорема о существовании предела монотонной,
ограниченной последовательности.
Дистанционный курс общей физики НИЯУ МИФИ
Математический анализ.
Предел числовой последовательности.
Лекция 3
Завершена.
Спасибо за внимание!
Тема следующей лекции:
Раскрытие неопределенности для последовательности.
Лекция состоится в четверг 2 октября
в 10:00 по Московскому времени.