ЕГЭ ЗАДАЧИ НА СМЕСИ И СПЛАВЫ золото серебро В 13 Способы решения задач на смеси и сплавы Арифметический Применение уравнения Применение систем уравнений В сосуд, содержащий 5 литров 12 процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? способ I способIII II способ 5 7 12( л.) Объем раствора увеличился с1V1 с2Vв 22,4 раза (было 5 л., стало 12 л. 12:5 = 2,4), с 0,6л. 12 % 0,6л + 5 0 , 12 0 , 6 ( л .) = V V содержание вещества не изменилось, поэтому 0% 1 2 процентная концентрация 12 5 0 7 получившегося 60 0,6 100 5% с 7 л. 5(%) 5 л. раствора уменьшилась в 2,4 12 л. раза. 12 57 12 12:2,4=5(%) Ответ: 5% Ответ: Ответ:5% 5% Решение Сколько литров воды нужно добавить в 2 л водного раствора, содержащего 60% кислоты, чтобы получить 20 процентный раствор кислоты? Объем чистой кислоты в растворе не меняется, процентное содержание кислоты в растворе уменьшится в 3 раза (60:20=3) Объем раствора увеличится в 3раза:2·3=6(л) 6 – 2 = 4 (л) воды нужно добавить Ответ: 4 л. Решение Смешали 4 литра 15 процентного водного раствора с 6 литрами 25 процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? 4 6 10( л.) с1V1 с2V2 0,15 4 0,6( л.) с V1 V2 0,25 6 1,5( л.) 2,1л. 25% 1,5л. 25 6 210 0,6 1,5 2,1( л.) 15%0,6л. + 15 4 = с 221 ,1(%) 46 10 100 21% 4л. Решение 6л. 10л. 4 л. Ответ: 10 Ответ : 21% Влажность сухой цементной смеси на складе составляет 18%. Во время перевозки из-за дождей влажность смеси повысилась на 2%. Найдите массу привезенной смеси, если со склада было отправлено 400 кг. Было Стало Вода 18% 72кг. Вода 20% 328кг. Цемент 80% 328кг. Цемент 400кг. ? Решение 400 0,18 72(кг.) воды 400 72 328(кг.) цем. 100 20 80(%) 328кг. 328 : 0,8 410(кг.) масса привезенной смеси Ответ : 410кг. Сколько надо взять 5 процентного и 25 процентного раствора кислоты, чтобы получить 4 л 10 процентного раствора кислоты? 5% 0,05х 10% 0,4л 25% + 0,25(4-х)л= (1-0,2х)л хл (4-х) л 4л Получим уравнение 1 - 2х = 0,4 хвтором =в3полученном 0,05х+0,25(4-х)=(10,1 ·0,05 4 ·=(4х0,4 0,2х) –л кислоты л – кислоты вв полученном растворе растворе 0,25 -( х) лл )– –кислоты кислоты во первом растворе растворе 3л – надо взять 5процентного раствора 4 – 3 = 1(л) – 25 процентного Ответ: 1л; 3л. Решение Сколько надо взять 5 процентного и 25 процентного раствора кислоты, чтобы получить 4 л 10 процентного раствора кислоты? 5% 0,05x хл + 25% 0,25y yл = 10% 0,4 л 4л y 4 x; 0,05 x 0,25(4 x) 0,4 Решение x y 4; 0,05 x 0,25 y 0,4 x 3; y 1. Ответ: 1л, 3л. В сосуд емкостью 6л налито 4л 70% раствора серной кислоты. Во второй сосуд той же емкости налито 3л 90% раствора серной кислоты. Сколько литров раствора нужно перелить из второго сосуда в первый, чтобы в нем получился 74% раствор серной кислоты? Найдите все допустимые значения процентного содержания раствора серной кислоты в 6л раствора в первом сосуде. 70% 2,8л + 90% 0,9хл 74% (2,8+0,9х)л =0,74(4+х)л 70% 2,8л + 90% 1,8л = 4,6л х3лл 4л (4+х)л 4л 2л 6л 0,742х,8((лл))кислоты кислотыввновом I сосуде Из 04,74 кислоты в первый в 2 литрах 0,9 второго 2 1,8( л) сосуда значения растворе 0,9 х( л) кислоты максимальное нужно перелить 2можно в 1 сосуде ,8 1,8Допустимые 4перелить ,6( л) кислоты Получим уравнение 4процентного ,6 2 содержания количество раствора кислоты 2л 22,,8800,9,9хх(0л,74 ) кислоты вхновом 100 76 % 1 4 х растворе Решение 6 3 Ответ: 1л; 70%;76 2 % 3 Первый сплав содержит 10% меди, второй – 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах. 0,1х кг х кг. 0,4(х+3)кг (х+3) кг. 0,3(2х+3)кг (х+(х+3)) кг. Получим Масса уравнение меди в первом сплаве 0,5 х 0,1х(кг) 0,6 х 0,9 1,2 0,1х 0,4Во х втором 3 0,3–20,4(х+3)(кг) х 3 0,1х 0,4Вх третьем 1,2 0,–6 х0,3(2х+3)(кг) 0,9 Решение Ответ: 9 кг. х3 2 3 3 9(кг ) Имеется два сплава золота и серебра: в одном массы этих металлов находятся в отношении 2:3, а в другом – в отношении 3:7. Сколько килограммов нужно взять от каждого сплава, чтобы получить 8 кг нового сплава, в котором золото и серебро находились бы в отношении 5:11? серебро серебро золото золото серебро серебро золото золото золото серебро х кг (8 – х)кг 8кг 2 3 8 х 2,5 х Получим уравнение 5 10 3 2 5 Масса Масса в первом новом куске сплаве куске 1 8 8х-от кг кгх2.,15кг 0,1хзолота 2золота ,4 2во ,5 втором кг сплава 16 10 5 8 1 7(кг )-от х 1 2 сплава Решение Ответ:1 кг. и 7 кг. Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго? х кг у кг 200 кг х 200 у; х 200 у; х у 200; 0,1х 0,3 у 50. х 3 у 500. 200 у 3 у 500. в первом сплавепервого 0,1х кг сплава. 50 кг - масса х 50никеля ; Масса Масса никеля во150 втором сплаве 0,3у кг.сплава. кг - масса второго у 150 . Масса никеля в новом 150 – 50 сплаве = 100200·0,25=50 (кг) (кг). Решение Ответ: на 100 кг. При смешивании 30 процентного раствора серной кислоты с 10 процентным раствором серной кислоты получилось 400 г 15 процентного раствора. Сколько граммов 30 процентного раствора было взято? 30%0,3х г хг + 10%0,1у г уг = 15% 60 г х у 400; 0,3 х 0,1 у 60. 400г. 400 ( гх); кислоты в новом 100; у 0 храстворе 400 , 15 60 400 х впервом 60. растворе 0,03,х3 х( г0),1кислоты у 300. 0,100 1у ( гг) – 30% кислоты раствора во втором было взято. растворе Решение Ответ: 100 г. Имеются два слитка сплава серебра и олова. Первый слиток содержит 360г серебра и 40г олова, а второй слиток – 450г серебра и 150г олова. От каждого слитка взяли по куску, сплавили их и получили 200г сплава, в котором оказалось 81% серебра. Определите массу (в граммах) куска, взятого от второго слитка. 400г олово олово серебро олово олово серебро серебро серебро олово 600г серебро хг уг 200 г х 450 у360 200; 0,9 0,9 х 0,9 у 180; х 80; 0,75у(г)серебра серебра ввпервом втором слитке слитке куске 100 100 75 90 % % 200 0 , 81 162 ( г ) 0,9х(г) серебра -серебра вво новом первом сплаве куске 0,9 х600 0,75 у 162. 400 0,9 х 0,75 у 162. у 120. Решение Ответ:120 г. Первый раствор содержит 40% кислоты, а второй - 60% кислоты. Смешав эти растворы и добавив 5 л воды, получили 20 процентный раствор. Если бы вместо воды добавили 5 л 80 процентного раствора, то получился бы 70 процентный раствор. Сколько литров 60 процентного раствора кислоты было первоначально? 80% 60% + 0% 4л 0,6у л 70% 20% 0,7(х+у+5) л 0,2(х+у+5) л 40% + = 0,4х 0,6 у 0,2х у 5; 0,4х л хл ул (х+у+5) л 0,4х 0,6 у 4 0,7 х у 5 . 5л х 0,6 у 0,2 х 0,2 у 1; 0,40,2(х+у+5) х 1; 0 , 2 х 0 , 4 у 1 ; 0,6у 0,7(х+у+5) (л) кислоты (л) (л) кислоты кислоты во втором в в новом новом растворе растворе растворе кислоты растворе 0,4х (л) 0-,8 кислоты в 5литрах 5 4( л)впервом 0,4 х 0,6 у 4 0,7 х 0,7 у 3,5. 0,3х 0,1у 0,5. у 2. Решение Ответ: 2 л Литература и интернет-ресурсы 1. Денищева Л.О., Глазков Ю.А. и др. Единый Государственный экзамен 2008. Математика. Учебно-тренировочные материалы для подготовки учащихся / ФИПИ – М.: Интеллект-Центр, 2007. 2. Шевкин А.В. Текстовые задачи в школьном курсе Математики. М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2006. 3. Открытый банк заданий ЕГЭ 2012 http://www.nado5.ru/materials/novoe-v-yege-po-matematike