Элементы статистики, комбинаторики и теории вероятностей

Подготовка К ГИА
«Элементы статистики,
комбинаторики и теории
вероятностей»
1. Элементы статистики
Теория
Задачи
2. Элементы комбинаторики
Теория
Задачи
3. Элементы теории вероятностей
Теория
Задачи
Выход
08.05.2016
2
Статистические характеристики:
Средним арифметическим ряда чисел называется частное
от деления суммы этих чисел на их количество.
n
X 
x
i 1
i
n
Модой обычно называют число ряда, которое встречается в
этом ряду наиболее частоМо  .
Размах – это разность наибольшего и наименьшего значений
ряда данных.
A  x max  x min
08.05.2016
3
Статистические характеристики:
Медиана – это срединное в вариационном ряду значение
варианты.
Если число членов ряда n нечётное, то Me  x  n  , где
 2  1
n
n
 
.
 2  - целая часть
 
2
Если число членов ряда n чётное, то Me 
08.05.2016
xn  xn
2
2
1
2
4
Например:
Проведя учёт числа животноводческих ферм в 15 хозяйствах
района, получили следующий ряд данных:
1, 2, 2, 3, 4, 2, 3, 1, 4, 5, 3, 3, 2, 1, 2.
Найдите для этого ряда среднее арифметическое, размах,
моду и медиану.
1  2  2  3  4  2  3  1  4  5  3  3  2  1  2 38
сред. арифм.
X
  2,53
15
15
Мо  2 мода
A  5 1  4
размах
Упорядочим данные:
1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5
Me  2
08.05.2016
5
Правило произведения (правило умножения):
Если элемент А может быть выбран 𝑘₁ способами, и после
каждого из таких выборов элемент В может быть
выбран 𝑘₂ способами, то выбор «А и В» может быть
осуществлён 𝑘₁ · 𝑘₂ способами.
Формула:
Из 𝑚 различных элементов можно составить
Р𝑚 = 1 · 2 · 3 · …(𝑚 – 1)·𝑚 = 𝑚! различных перестановок
(без повторения элементов).
08.05.2016
6
Пример:
На почте продаётся 40 разных конвертов и 25 разных
марок. Сколько есть вариантов покупки конверта с
маркой?
Решение: 40 · 25 = 1000 вариантов
Пример:
В математической олимпиаде участвуют 12 школьников.
Сколькими способами могут быть распределены места
между ними?
12 · 11 · 10 · … · 3 · 2 · 1 = 12! = 479012160
08.05.2016
7
Если опыт, в котором появляется событие А,
имеет конечное число 𝑛 равновозможных
исходов, то вероятность события А равна
m
P ( A) 
, где 𝑚 – количество исходов, при
n
которых событие А появляется.
Пример:
По статистике, на каждые 1000 лампочек
приходится 3 бракованные. Какова вероятность
купить исправную лампочку?
1000  3
Решение: P ( A)  1000  0,997 или 99,7%
08.05.2016
8
+
Вопрос 1
-
+
Вопрос 2
-
+
Вопрос 3
-
+
Вопрос 4
-
+
Вопрос 5
-
+
Вопрос 6
-
Стоимость творожных сырков в магазинах
У 25 девятиклассников спросили, сколько в
Каждые
полчаса
гидролог
темперарайона:
16,
27,в 33,
14, восьми
20
( взамеряет
рублях).
Найдите
Педагогический
стаж
учителей,
Три
человека
классе
выполнили
все
среднем
часов
в деньЮра
ониполучил
смотрят следующие
телевизор.
В
течении
четверти
туру
воды
в
водоеме
и
получает
следующий
установите
соответствие
между
статистическими
На
соревнованиях
по
фигурному
катанию
работающих
в(восновной
школе,
4Вот
задания
контрольной
работы,
8следующий:
человек
Записан
рост
сантиметрах)
пяти
учащихся:
что
получилось:
отметки
по
математике:
две
«двойки»,
пять
Курс
доллара
в
течение
недели:
30,48;
30,33;
ряд
значений:
12,8;
13,1;
12,7;
13,2;
12,7;
характеристиками
этого
ряда
и
их
значениями.
судьи
поставили
спортсмену
следующие
5выполнили
лет,
8 лет,
лет,арифметическое
12 0лет,
17
лет,
14
лет,
315задания,
4Найдите
человека
–и13медиану
задание
Найдите
среднее
149,
136,
163,
152,
145.
разность
ТВ
в
день
(ч)
1
2
4
Костик
Инна
Станиславовна
«троек»,
четыре
«четвёрки»
и
девять
оценки:
5,2
5,4
5,5
5,4
5,1
5,1
5,4
5,4
5,2
30,45;
30,28;
30,37;
30,29;
30,34.
Найдите
13,3;
12,6;
12,9;
12,7;
13;
12,7.
Статистические
харак-ки
18
лет,
9 лет.
Найдите
среднее
иЗначения
медиану
этой
и
5
человек
не
выполнили
ни
одного
задания.
ряда
чисел:
27,
29,
23,
31,
21,
34.
среднего
арифметического
этого
набора
Число
школьников
1
9
10
4
1
Для
полученного
ряда
чисел
найдите
среднее
«пятёрок».
Найдите
среднее
арифметическое
медиану
этого
ряда.
Найдите
медиану
этого
ряда.результат
А)
Среднее
арифметическое
1) 33 по
выборки.
Определите
моду
и
средний
чисел
и
его
медианы?
Определите:
а)размах
размах;
б) моду;
арифметическое,
и моду
и
моду
его оценок.
Б)
Медиана
2) 22
контрольной
работе.
в) среднее арифметическое выборки
В) Размах
3) 20
4) 19
+
Вопрос 7
-
А
А
+
Вопрос 8
-
+
Вопрос 9
-
+
Вопрос 10
-
В
а)5,4;
4;9,8;
А2;
28;
0,7;
3;
30,28
б)
0,2;
14
13,3
Б1;
2;23
220,5
5 в)
В4
5,11,8
а) 4;
5,3;
12,25;
А1;
28;
4;
б)
4;12,7
0,4;
Б2;
10;
0,2
4 2,5
27
5 В3
в)
13
5,40,4
Б
Г
а)5,3;
9;12,5;
А3;
27,5;
4,3;
8;
30,34
12,9
б)
0,1;
Б1;
04;528
913
В4
5,1
в) 2,5
а)5,2;
4;А2;
13;
27;2;
30,36
4;
12,8
0,4;
б)
27
Б3;
2;439,5
28В4
5,4
в) 5/9
+
Вопрос 1
-
+
Вопрос 2
-
+
Вопрос 3
-
+
Вопрос 4
-
+
Вопрос 5
-
+
Вопрос 6
-
+
Вопрос 7
-
+
Вопрос 8
-
+
Вопрос 9
-
+
Вопрос 10
-
Из класса, в котором учится 15 девочек и
В соревнованиях
коробке лежат
четыре
шара:
белый,
В
по
футболу
участвовало
12и
В
расписании
уроков
на
среду
для
первого
10
мальчиков,
нужно
выбрать
одну
девочку
Семеро
друзей
разъехались
нанеё
новогодние
красный
,
синий,
зелёный.
Из
вынимают
В
шахматном
турнире
участвуют
9
человек.
команд.
Каждая
команда
провела
с
каждой
Сколько
гардеробе
различных
выпускника
трёхзначных
5
разных
чисел
рубашек,
без из
В
чемпионате
города
по
футболу
играет
класса
должно
быть
четыре
урока:
два
урока
одного
мальчика
для
введения
школьного
Сколько
трёхзначных
чисел
можно
записать,
каникулы.
Перед
Новым
годом
каждый
изпо
два
шара.
Сколько
существует
способов
Каждый
из
них
сыграл
с
каждым
по
одной
остальных
по
одной
игре
на
своём
поле
и
Костик
Инна
Станиславовна
4повторения
галстука
и
цифр
2
костюма.
можно
Сколько
составить
способов
из
цифр
Костик
Инна
Станиславовна
десять
команд.
Сколькими
могут
математики,
урок
чтения
и0,способами
урок
физкультуры.
вечера.
Сколькими
способами
это
можно
Костик
Инна
Станиславовна
Костик
Инна
Станиславовна
используя
только
цифры
2,
4,
6?
них
послал
всем
остальным
SMS-сообщений.
сделать
это?
партии.
всего
партий
было
сыграно?
одной
на
поле
соперника.
Сколько
всего
1,
одеться
2, 3, игре
4,Сколько
на
5,выпускной
6?
вечер
у составить
него
имеется?
распределиться
три
призовых
места?
Сколькими
способами
можно
сделать?
Сколько
всего
сообщений было отправлено?
игр
было
сыграно?
расписание на этот день?
А
В
ББ
132
120
360
72
20
64
49
12
75
6
300
216
690
8
36
10
12
42
66
Г
150
720
64
60
40
27
24
7
2
144
12,5
108
32
48
36
72
8
4
12
+
Вопрос 1
-
+
Вопрос 2
-
+
Вопрос 3
-
+
Вопрос 4
-
+
Вопрос 5
-
+
Вопрос 6
-
+
Вопрос 7
-
+
Вопрос 8
-
+
Вопрос 9
-
+
Вопрос 10
-
В
мешке содержится
24 шара. Среди
них
В соревнованиях
по художественной
гимнастике
Для
экзамена
подготовили
билеты
сненомерами
Вадим
при
подготовке
кРоссии,
экзамену
успел
Доля
брака
при
производстве
процессоров
участвуют
три
гимнастки
из
три
гимнастки
из
Чемодан
можно
открыть,
если
правильно
красных
шаров
в
два
раза
больше,
чем
белых,
Из
ящика,
где
хранятся
17
жёлтых
и
14
красСаша
забыл
две
последние
цифры
номера
класса,
в
котором
учатся
8
мальчиков
и
от
1слова
до 25.
Какова
вероятность
того,
что будут
пять
из
техсиние.
25
билетов,
которые
Украины
ишифр
четыре
гимнастки
из
Белоруссии.
Из
ЭКЗАМЕН
случайным
образом
составляет
0,05%.
С
какой
вероятностью
набрать
131266.
Какова
вероятность
авыучить
остальные
шары
Вероятность
того,
ных
шаров,
продавец,
не
глядя,
вынимает
телефона
приятеля
и
набрал
их
наугад.
С 1
12
девочек,
выбирают
по
жребию
одного
Костик
Инна
Станиславовна
взятый
наугад
учеником
билет
имеет:
Порядок
выступлений
определяется
жеребьёвкой.
предложены
на
экзамене.
Какова
вероятность
выбирается
одна
буква.
Какова
вероятность
процессор
только
что
купленного
компьютера
Ушакова
Наталья
Валерьевна
Костик
Инна
Станиславовна
Ушакова
Наталья
Валерьевна
того,
что
человек
набрав
произвольно
номер
что
вынутый
наугад
шар
окажется
белым
шар.
Какова
вероятность
того,
что
этот
шар
какой
вероятностью
этот
звонок
попадёт
кэто
дежурного.
Какова
вероятность
того,
что
Найдите
вероятность
того,
что
первой
будет
выступать
1)
однозначный
номер;
того,
что
Вадиму
достанется
на
экзамене
что
она
окажется
гласной?
окажется
исправным?
из
шести
цифр,
сможет
открыть чемодан?
равна
¹/₈.
Найдите
вероятность
того, что
окажется
жёлтого
цвета?
приятелю?
гимнастка
из
России.
будет
мальчик?
2)
двузначный
номер?
выученный
билет?
вынутый шар окажется синим.
А
В
10/0,131266
14
84
7
5/
15
;0,1
0,8
/10
2599,95
12
831 /25
7
1/0,000001
17
12
32
16
;0,2
/2/10
/20
109,995
87 /10
31
Б
Г
9/
10,99
6
3
2
1
0,25
;/3/31
/35716/25
25999,5
24
10
1/10,9995
12
30,7
9
/14
0,01
;1//717
25
131266
887 /25
Литература
1. В. Н. Студенецкая. Решение задач по статистике,
комбинаторике и теории вероятностей.
Издательство «Учитель», 2006 г.
2. А.В. Семёнов, А. С. Трепалин и др.
Государственная итоговая аттестация
выпускников 9 классов в новой форме 2012.
Математика. М. «Интеллект-Центр», 2012 г.
3. Под ред. Лысенко Ф. Ф. Математика 9 класс.
Тематические тесты для подготовки к ГИА-2012.
«Легион-М»,2011.
08.05.2016
12