Определение матрицы перехода. Пусть в линейном пространстве Ln заданы два базиса: e = (e1, e2, …, en) (назовём его старым базисом) и е = (e1', e2', …, en') (назовём его новым базисом). Разложим векторы базиса e' по базису e: e t e t e ... t e n1 n 1 11 1 21 2 e t e t e ... t e 12 1 22 2 n2 n (1) 2 ... en t1n e1 t 2 n e2 ... t nnen t11 t12 ... t1n t 21 t 22 ... t 2 n Матрицу Т= называют матрицей перехода от базиса e к базису е . ... ... ... ... t t ... t nn n1 n 2 Равенства (1) в матричном виде удобно записывать так: е =е·Т (2). Правило построения матрицы перехода Для построения матрицы перехода от базиса e к базису е нужно для всех векторов еi нового базиса е найти их координатные столбцы в старом базисе е и записать их в качестве соответствующих столбцов матрицы Т. Теорема. Матрица перехода от одного базиса n-мерного линейного пространства Ln над полем Р к другому его базису является невырожденной матрицей n-го порядка с элементами из поля Р. Теорема. Любая невырожденная квадратная матрица n-го порядка с элементами из поля Р служит матрицей перехода от одного базиса n-мерного линейного пространства Ln над полем Р к некоторому другому базису пространства Ln . Связь координат вектора в разных базисах. Пусть в линейном пространстве Ln заданы базисы e=(e1,e2,…,en) и е =(e1',e2', …,en') с матрицей перехода Т от базиса е к базису e', т.е. верно е =еТ (2). Вектор а имеет в базисах е и е координаты 1 1 ae = 2 ae = 2 ... ... n n 1 1 2 . ... n Тогда с одной стороны, а=е∙ a e , а с другой стороны а= е a e =(еТ) a e . Из этих равенств получаем: а=e a e =е(Т a e ). Отсюда в силу единственности разложения вектора по базису е вытекает равенство a e = Т a e (3), или 1 а=е∙ a e =(e1,e2,…,en) 2 и а= е a e =(e1',e2', …,en') ... n 1 2 (4) ... n Соотношения (3) и (4) называют формулами преобразования координат при изменении базиса линейного пространства. Они выражают старые координаты вектора через новые. Эти формулы можно разрешить относительно новых координат вектора, умножив (4) слева на Т-1 (такая матрица существует, т.к. Т – невырожденная матрица). Тогда получим a e =Т-1 a e . По этой формуле, зная координаты вектора в старом базисе е линейного пространства Ln , можно найти его координаты в новом базисе, е . Часто векторы базисов е и е сами бывают заданы координатами в некотором базисе е0. Тогда матрица перехода от базиса е к базису е находится по формуле 1 2 ... =Т n e e0 Te0 e , отсюда получаем формулу e0 eTe e 1 . 0 e e0 Te0 e = eTe e 1 · Te0 e = e(Te e 1 · Te0 e ) , получаем формулу 0 0 Te e Te 0 e 1 Te 0 е (5) 2 1 Пример 1. Найти матрицу перехода к базису e1'= , e2'= , векторы заданы своими 3 2 координатами в базисе e=(e1,e2). Решение. Векторы нового базиса e'=(e1',e2') заданы своими координатами в старом базисе e=(e1,e2), т.е. е =е·Т 2 1 e1'=(e1,e2)· =2 e1+3 e2 e2'=(e1,e2)· =1 e1+2 e2 3 2 По определению матрицы перехода получаем 2 1 . Tee 3 2 Пример 2. Найти матрицу перехода от базиса e=(e1,e2) к базису е =(e1',e2'), если векторы 1 1 этих базисов заданы своими координатами в некотором базисе е0: e1= , e2= , 1 е0 0 е0 2 1 e1'= , e2'= . 1 е0 2 е0 Решение. 2 1 1 2 1 T T 0 0 1 способ. e e , e e 1 2 . 1 0 1 1 1 2 1 0 1 2 1 0 1 2 1 1 2 Tee 1 0 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 способ. 1 e1=(e10,e20)· =1 e10+1 e20 (1) 1 1 e2=(e10,e20)· =1 e10+0 e20 (2) 0 2 e1'=(e10,e20)· =2 e10+1 e20 (3) 1 1 e2'=(e10,e20)· =1 e10+2 e20 (4) 2 Из равенства (2) имеем e2 = e10 Из равенства (1) имеем e1 = e2+e20, значит e1–e2=e20 Из равенства (3) имеем e1'=2 e10+1 e20=2·e2+e1–e2= e1+e2 Из равенства (4) имеем e2'=1 e10+2 e20= e2+2(e1–e2)=2 e1–e2. Из последних двух равенств имеем e1'=e1+e2 e2'=2 e1–e2 1 2 . По определению матрицы перехода получаем Te e 1 1 Пример 3. В линейном пространстве многочленов не выше второй степени с действительными коэффициентами даны 2 базиса: e = (e1, e2, e3): e1=1, e2=x, e3=x2. е = (e1', e2', e3'): e1'=1, e2'=x–1, e3'=(x–1)2. Найти матрицу перехода от базиса e к базису e'. Решение. e1'=1=1·e1+0·e2+0·e3, e2'=x–1=–1·e1+1·e2+0·e3, e3'=(x–1)2=x2–2x+1=1·e1–2·e2+1·e3. 1 1 1 Tee 0 1 2 . 0 0 1 Пример 4. В пространстве Х3 задан вектор х и векторы e1', e2', e3' столбцами координат в базисе e = (e1, e2, e3): 1 5 2 2 1 xe 4 e1 1 e2 3 e3 1 и вектор y у е 2 = – столбцом координат в 3 1 2 0 1 е e e e e базисе е =(e1',e2',e3'). Найти координаты вектора х в базисе е =(e1',e2',e3') и координаты вектора y в базисе e = (e1, e2, e3). Решение. e1'=5·e1–1·e2+2·e3, e2'=2·e1+3·e2+0·e3, 3 e3'=–2·e1+1·e2+1·e3. По определению матрицы перехода получаем 5 2 2 Te e 1 3 1 . 2 0 1 Используем формулу связи координат одного и того же вектора в разных базисах: х 1 1 4 = Te e х 2 , 1 е х3 е х 1 1 1 отсюда получаем: х 2 = Te e · 4 1 е х3 е 5 2 2 9 2 2 9 2 9 2 Te e 1 3 1 3 3 1 3 3(9 2) 33 3 3 1 1 2 0 1 0 0 1 Te e 1 3 2 8 1 = 3 9 3 33 6 4 17 х 13 1 3 2 8 1 33 1 = х 3 9 3 · 4 = 42 2 33 33 6 4 17 1 е 7 х3 е 33 y1 y 2 = Te e y 3 е 5 2 2 1 3 1 2 = 1 3 1 2 = 8 3 е 2 0 1 3 е 5 Пример 5. Матрица перехода от базиса e=(e1, e2) к базису f=(f1, f2) имеет вид 3 2 . Найти координаты векторов e1, e2 и вектора с=2∙e1+3·e2 в базисе f = Te f 3 4 (f1, f2). Решение. 1 способ. По определению матрицы перехода получаем: f1=2·e1–3·e2 f2=3·e1–4·e2 Из этих равенств выразим векторы e1, e2: e1=–4·f1+3·f2=(–4,3)f e2=–3·f1+2·f2=(–3,2)f с=2·e1+3·e2=2·(–4,3)+3·(–3,2)=(–17,12). 4 2 способ. c1 T = e f c2 e c1 , c2 f выразим 3 c1 с 2 Т е f 1 1 с2 е 3 4 c2 f 1 1 4 2 4 3 2 17 T e f = 2 3 е 12 3 3 е 3 3 = T f e 2 e1=–4·f1+3·f2 e2=–3·f1+2·f2 Пример 6. Убедиться, что векторы а1 1,2,3 , а2 4,2,8 , а3 1,4,1 образуют базис линейного пространства А3. Найти координаты вектора b 1,0,5 в базисе a=(a1, a2, a3). Решение. Составим из координат векторов a1, a2, a3 матрицу и найдём её определитель: 1 4 1 1 4 1 1 3 1 3 1 3 1 2 2 4 2 1 1 2 2 1 0 0 2 10 20 0 5 5 1 1 3 8 1 3 8 1 3 5 5 Следовательно, векторы а1 1,2,3 , а2 4,2,8 , а3 1,4,1 образуют базис линейного пространства А3. а1 1,2,3 =1·e1+2·e2–3·e3 а2 4,2,8 =4·e1+2·e2–8·e3 а3 1,4,1 =1·e1+4·e2–1·e3 b 1,0,5 =–1·e1+0·e2+5·e3 4 1 1 Te a 2 2 4 3 8 1 1 0 = Te a 5 е b1 b2 . b 3 a 1 4 1 1 b1 1 1 1 2 4 0 = b2 = Te a · 0 = 2 b 5 3 8 1 5 е е 3 a 30 4 14 1 2 1 = 10 2 2 0 = 0 . 20 10 4 6 5 е 1 Задачи для самостоятельного решения (в аудитории) 1 Пусть е1, е2 – базис пространства R2 и е1′=5е1–е2, е2′=2е1+3е2. Показать, что е1′, е2′ – базис пространства R2. Найти матрицу перехода от первого базиса ко второму и от второго к первому. Найти координаты вектора а=е1+4е2 в базисе е1′, е2′. 2 Показать, что системы векторов е1, е2, … , еn и f1, f2, … , fn являются базисами пространства Rn. Найти матрицу перехода от первого базиса ко второму и от второго к первому в следующих случаях: a) е1=(1, –1, 0), е2=(1, 2, 3), е3=(0, 1, –1), f1=(3, –1, 4), f2=(1, –2, –5), f3=(3, –2, –1) при n=3. b) е1=(1,2,–1,0), е2=(1,–1,1,1), е3=(–1,2,1,1), е4=(–1,-1,0,1), f1=(2, 1, 0, 1), f2=(0, 1, 2, 2), f3=(–2, 1, 1, 2), f4=(1,3, 1, 2) при n=4. 5 3 Пусть е1, е2, е3 – базис пространства R3 и е1′=е1+2е2+2е3, е2′=2е1–е2, е3′=–е1+е2+е3. Показать, что е1′, е2′, е3′ – базис пространства R3. Найти матрицу перехода от первого базиса ко второму и от второго к первому. Найти координаты векторов х=е1+4е2–е3, у=2е1′–е2′+е3′ и z=2x+3y в обоих базисах. 1 0 0 3 4 Пусть а1, а2, а3 и b1, b2, b3 – два базиса пространства R и Т= 0 2 1 – матрица 1 1 1 перехода от первого базиса ко второму. Найти координаты векторов х=2а1–3а2+а3 и у=3b1+b2–b3 в первом и во втором базисах. 5 Записать матрицу перехода от базиса е1, е2, е3, е4 к базису: a) е2, е3, е4, е1 b) е2, е1, е3, е4 c) е1, е1+е2, е2+е3, е3+е4. 6 Как изменится матрица перехода от одного базиса к другому, если: a) Поменять местами два вектора первого базиса; b) Поменять местами два вектора второго базиса; c) Записать векторы первого базиса в обратном порядке; d) Записать векторы второго базиса в обратном порядке; e) Записать векторы обоих базисов в обратном порядке? 7 Найти матрицу перехода от базиса 1, х, х2, х3 пространства многочленов степени ≤ 3 к базису 1, (х–а), (х–а)2, (х–а)3. 6