Моделирование процессов потребления.

Моделирование процессов
потребления.
Моделирование процессов потребления
1.Система предпочтений потребителя.
Повседневная жизнь человека связана с решением
целого ряда задач, в которых необходимо принимать
решения о выборе поведения.
Принятие экономических решений затрагивает ту сферу
деятельности человека, где он может быть представлен
как потребитель или производитель товаров.
Один из подходов к формализованному представлению
процесса принятия решения описывает теория
полезности.
Основы этой теории были заложены в 18 веке.
Моделирование процессов
потребления
1.Система предпочтений потребителя.
Термин «полезность» имеет два различных значения:
- качественная или сравнительная оценка предпочтения одного
объекта другому;
- количественная оценка предпочтения, выраженная в числе.
Учитывая это обстоятельство, термин «предпочтение» будем
применять для отражения качественного отношения потребителя, а
«полезность» для количественного отражения предпочтений.
Отношение предпочтений - это отношения, с помощью которых
можно сравнить индивидуальное предпочтение потребителем
товаров.
Для обозначения предпочтений вводятся следующие символы:
«>» строгое предпочтение (А>В – означает, что А строго
предпочтительней В);
«~» отношение безразличия (С~D – означает, что С и D одинаковы,
безразличны для потребителя);
«П» нестрогое безразличие ( А П В – означает, что А не хуже В).
Моделирование процессов потребления
1.Система предпочтений потребителя.
Система предпочтений потребителя – совокупность
правил выбора альтернативы конкретным
потребителем, т.е. способ указания из каждой пары
альтернатив лучшей или указание на их
равнозначность.
Поведение потребителя определяется:
- устойчивостью предпочтений;
- для каждой из альтернатив предпочтение может
быть выражено числом, которое называется
полезностью альтернативы.
- цель потребителя – сделать ожидаемую полезность
настолько большой насколько это возможно.
Моделирование процессов потребления
1.1 Свойства предпочтений:
Совершенность.
a1,a2 ,a3  A : a1  a2  a2  a3  a1  a3
Транзитивность:
a1,a2  A  a1, a2  a2  a1  a2  a1
Недостающая альтнрнатива может быть заменена:
a1 ,a2 ,a3   A : a1  a2  a3    α,β  0, α  β  1 α a1  β a3  a2 


Выполнение свойств означает, что простые альтернативы
можно расположить в порядке возрастания или убывания
предпочтений потребителя.
Полезность – количественная мера предпочтений
Моделирование процессов потребления
2. Функция полезности.
Определение. Функцией полезности индивидуума
называется вещественно определенная функция U(a),
определенная на множестве альтернатив, если для
любых альтернатив ai, aj, принадлежащих множеству
альтернатив А, для которых ai>aj, следует, что U(ai) >
U(aj).
Определение. Полезностью простой альтернативы ai
называется число U(ai), равное значению функции
полезности для этой альтернативы.
Замечание. Данное определение не является свойством
альтернативы, а лишь описывает отношение
потребителя к ней.
Функция полезности не имеет размерности.
Моделирование процесса потребления
2. Функция полезности.
Утверждение. Функция U(x), определенная на множестве
простых альтернатив, является функцией полезности,
если она обладает следующими свойствами:
1. V(x) = φ(U(x)) – есть также функция полезности того
же потребителя для любой монотонно возрастающей
функции φ(X).
2. U(x) – непрерывная и дважды дифференцируемая
функция.
Первое свойство означает, что функция полезности
потребителя определена не однозначно. Т.е. для любого
потребителя можно построить множество функций
полезности, но их графики будут «подобны».
Моделирование процессов потребления
2. Функция полезности.
Дифференцируемость U(x) означает, что прирост полезности
потребителя при переходе к близкой, но более ценной
альтернативе, пропорционален приросту ценности альтернативы
∂U/∂x.
Вторая производная характеризует отношение потребителя к риску.
При этом предполагают, что если функция полезности выпукла
вверх, то у потребителя убывает склонность к риску с ростом х, а
∂2U/∂x2<0.
Условие строгой вогнутости выполнено, если матрица Гессе Н
отрицательно определена.
Из отрицательной
определенности матрицы Гессе
следует, что она не
вырождена, т. е. ее
определитель не равен нулю.
Моделирование процессов потребления
3.Поверхности и кривые безразличия.
Определение. Поверхностью безразличия для заданного
набора товаров называется геометрическое место точек
Y, на котором потребитель находится в отношении
безразличия ко всем наборам х, принадлежащим этой
поверхности.
В случае, когда набор товаров состоит из двух единиц,
поверхность безразличия вырождается в кривую (линию).
Другими словами для всех точек на кривой безразличия
значения функции полезности U(x)=Сonst.
Множество кривых безразличия для разных констант
представляют собой карту кривых безразличия.
Моделирование процессов потребления
4. Примеры функций полезности.
Функция полезности с полным замещение благ.
U(x) = Σbixi
(4.1)
где: bi – числовая оценка полезности единицы потребления товара i.
1.
Уравнения кривых безразличия имеют вид:
x2 = -b1*x1/b2 + c/b2
Семейство кривых безразличия есть
семейство параллельных прямых,
пересекающих оси координат.
Функция (4.1) учитывает возможность
компенсации уменьшения потребления
одних товаров другими.
Моделирование процессов потребления
2.Функция полезности с полным взаимодополнением благ:
U(x) = min{xi/bi, i=1,2,…,n)
(4.2)
где: bi – количество товара вида i, приходящегося на единицу
полезности.
В случае двух переменных уравнения кривых
безразличия имеют вид:
x2=b1/b2, если x1/b1 = x2/b2
x1=b1c, если x1/b1 < x2/b2
x2=b2c, если x1/b1 = x2/b2
Т.о. видно, что карту безразличия
составляют одна линия проходящая через
начало координат и два семейства линий
параллельных осям координат.
Моделирование процессов
потребления
3. Неоклассическая функция полезности.
U(x) = aПxibi
(4.3)
где: а – фактор шкалы измерения полезности,
0<bi<1 параметры.
Уравнения кривых безразличия
для двух товаров имеют вид:
x2 = (c/a)-b2x1-b1/b2
Карта кривых безразличия
представляет собой семейство
кривых гиперболического вида.
Моделирование процессов потребления
4. Логарифмическая функция полезности (функция
Бернулли)
n
(4.4)
u  X    ai log  x i  bi 
i 1
где: ai>0, xi>bi≥0 – параметры модели.
5. Функция полезности Р.Стоуна
u X  
 x i  b i 
n
ai
(4.5)
i 1
где: bi≥0 – минимально необходимое количество товара
ai>0 – относительная «ценность» товара
6. Экспоненциальная функция полезности.
1 W  X 
UX   e
,
a
X  a1 x1  a2 x 2  ...  an x n
(4.6)
Моделирование процессов потребления
5. Предельный анализ и эластичность в теории
полезности.
Рассматриваем произвольный набор товаров
X={x1,x2,…,xn} и пусть Ui(xi) функция полезности
товара i. Тогда суммарная полезность набора товаров
X есть: U(X) = Σ Ui(xi)
5.1 Средняя полезность товаров
u X 

X
n
 u1 u 2
u 
 , ,..., 
xn 
 x1 x 2
где: ui/xi – средняя полезность товара i.
Моделирование процессов потребления
Определение. Предельными полезностями товаров
называются первые частные производные функции
полезности по каждому продукту
u  X   u  X  u  X 
u  X  

,
,...,

X
 x2
 x n 
  x1
Предельная полезность товара i характеризует
отношение потребителя к увеличению потребления этого
товара. Если ∂U/∂xi>0, то потребитель заинтересован в
увеличении потребления данного товара, т.к. общая
полезность потребления возрастает. В противном случае
увеличение потребления i-го товара приводит к
уменьшению общей полезности.
Моделирование процессов потребления
5.3 Эластичность потребления.
U xi
εxi   U
xi
Эластичность полезности по товару xi показывает на
сколько процентов изменится полезность при
изменении потребления товара xi на 1%.
5.4 Функция с полным взаимозамещением благ.
Средняя полезность:
Эластичность:
Предельная полезность
Моделирование процессов потребления
5.5 Неоклассическая функция полезности.
Средняя и предельная полезности
Эластичности
Моделирование процессов потребления
6. Предельная норма замещения.
Пусть имеем 5- ть набор x1, x2, x3, x4, x5, состоящих из 6ти товаров c одинаковой полезностью
U(x1)=U(x2)=U(x3)=U(x4)=U(x5), т.е. лежащих на одной
кривой безразличия.
Пусть для определенности товар x1продукт питания, x2-одежда. Из
рисунка видно, что замена набора
товаров x1 на набор X2 требует
отказа от 6 единиц одежды взамен
на одну единицу питания и т.д.
Моделирование процессов потребления
6. Предельная норма замещения.
Используя свойство кривой безразличия:
UX  Const;
dUx   
U
d
 xi xi
можно для двух любых товаров xi и xj получить
соотношение, которое количественно описывает
возможность эквивалентной замены одного товара
другим при постоянных значениях остальных товаров в
наборе
dUX 
Откуда получаем:
UX
UX
d xi 
d 0
 xi
 xj xj
 UX 




d
d xi   x j
UX   x j

 xi 


(6.1)
Моделирование процессов потребления
Соотношение (6.1) позволяет вычислить, каким
количеством продукта xi можно компенсировать
уменьшение потребления продукта xj на dxj ,не
изменяя полезности набора товаров.
Определение. Величина
 UX 




ij   x j UX 

 xi 


называется предельной нормой замещения j-того
товара i-ым.
Моделирование процессов потребления
7. Оптимизационная модель задачи
потребительского выбора.
Формулировка задачи: Потребителю необходимо
приобрести необходимые ему товары в таких
количествах, которые обеспечат ему максимальную
пользу. При этом ему необходимо уложится в
имеющиеся в его распоряжении средства.
Факторы: X={x1,x2,…,xn} – набор товаров;
Xi – количество товара вида i;
P={p1,p2,…,pn} – вектор цен на товары;
К – доход потребителя.
Моделирование процессов потребления
7. Оптимизационная модель задачи
потребительского выбора.
Задача потребительского выбора принимает вид:
U(X) =>max
(7.1)
(PX) ≤ K
(7.2)
Xi ≥0
Бюджетное множество В(Р,К) – множество всех товаров, доступных
потребителю при доходе К и ценах P={p1,p2,…,pn}.
Граница бюджетного
множества –
бюджетная линия.