Операции с числами

операции с числами
Вася задумал целое число. Коля умножил его не то на 5, не то на 6. Женя прибавил к
результату Коли не то 5, не то 6. Саша отнял от результата Жени не то 5, не то 6. В итоге
получилось 71. Какое число задумал Вася?
(?)
Ответ: 12 или 14.
Решение:
Саша отнял от результата Жени либо столько же, сколько Женя прибавил к результату
Коли, либо на единицу больше, либо на единицу меньше. Поэтому результат Коли равен
либо 70, либо 71, либо 72. Из этих трех чисел на 5 делится только число 70, а на 6 – только
число 72. Поэтому Вася задумал либо число 70 : 5 = 14, либо число 72 : 6 = 12.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Двузначное число увеличили на 2. Сумма цифр полученного числа в два раза меньше
суммы цифр исходного числа. Какое число могло быть исходным? (Найти все возможные
варианты).(?)
Ответ. 59, 68.
Решение.
Искомое число должно оканчиваться на 8 или 9, иначе при увеличении его на 2 сумма
цифр не уменьшиться. Числа 98 и 99 не подходят, поэтому при увеличении на два
получается двузначное число. При этом число единиц уменьшается на 8, а число десятков
увеличивается на 1. Т.е. сумма цифр уменьшается на 7. При этом она по условию
уменьшается в два раза, следовательно, она равна 14. Т.е. искомые числа: 59 и 68.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Найдите все двузначные натуральные числа, которые в 4 раза больше суммы своих цифр.
(Московские регаты)
Ответ. 12, 24, 36, 48.
Решение.
Пусть ab - искомое число. Из условия следует, что 10a  b  4a  b или b  2a .
Поскольку b - цифра, то a может принимать значения 1, 2, 3 и 4.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Натуральное число будем считать замечательным, если при увеличении его на 2 сумма
цифр полученного числа будет в два раза меньше суммы цифр исходного числа. Сколько
замечательных трехзначных чисел?(?)
Ответ. 11.
Решение. Замечательное число должно оканчиваться на 8 или 9, иначе при увеличении
его на 2 сумма цифр не уменьшится.
Пусть при увеличении числа на 2 перенос происходит только в разряде единиц. Тогда
число единиц уменьшается на 8, а число десятков увеличивается на 1. Т.е. сумма цифр
уменьшается на 7. Так как при этом она уменьшается в два раза, то она равна 14.
Следовательно, исходные трехзначные числа только двух видов: ab8 , где a  b  6 , и
cd 9 , где c  d  5 . Чисел первого вида ровно 6, а второго – ровно 5.
Рассмотрим случай, когда при увеличении числа на 2 перенос разряда был также в
разряде десятков. Числа 998 и 999 замечательными не являются. В иных случаях сумма
двух последних цифр уменьшилась на 17, а первая увеличилась на 1. Общая сумма цифр
уменьшилась на 16, т.е. первоначально должна была равняться 32, а это невозможно.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------К первому числу прибавили второе и получили третье. Ко второму числу прибавили
третье и получили четвертое. К третьему числу прибавили четвертое и получили пятое. К
четвертому числу прибавили пятое и получили шестое. Чему равна сумма всех шести
чисел, если пятое число равно 7? (ПГТЮМ)
Ответ. 28.
Решение.
операции с числами
Пусть первое число a , второе - b . Тогда третье число: a  b , четвертое:
b  a  b  a  2b , пятое: a  b  a  2b  2a  3b , шестое: a  2b  2a  3b  3a  5b .
Найдем сумму всех шести чисел:
a  b  a  b  a  2b  2a  3b  3a  5b  8a  12b  4  2a  3b  4  7  28 .
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------После того, как в двузначном натуральном числе зачеркнули одну из цифр, число
уменьшилось в 31 раз. Какую цифру и в каком числе зачеркнули? (укажите все
возможные варианты) (Городская олимпиада)
Ответ. В числах 31, 62, 93 зачеркнули цифру десятков.
Решение.
Если в числе ab зачеркнуть цифру единиц, то по условию получаем: 10a  b  31a ,
т.е. b  21a , т.е. b  21, что невозможно, т.к. b - цифра.
Если в числе ab зачеркнуть цифру десятков, то получим уравнение 10a  b  31b , т.е.
10a  30b , a  3b . Если b  1 , то a  3 ; если b  2 , то a  6 ; если b  3 , то a  9 . Больше 3
b быть не может, т.к. тогда a будет больше 9.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------К некоторому двузначному числу прибавили удвоенную цифру его десятков и утроенную
цифру его единиц. Получили новое число, вдвое большее первоначального. Найти
первоначальное число.(?)
Ответ. 14, 28.
Решение.
Пусть исходное число ab . Тогда по условию задачи:
ab  2a  3b  2  ab .
Или
10a  b  2a  3b  2  10a  b ,
2b  18a ,
b  4a .
Если a  1 , то b  4 , исходное число 14.
Если a  2 , то b  8 , исходное число 28.
Если a  2 , то b  4  3  12 , чего не может быть, так как b - это цифра.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------У трехзначного числа поменяли местами две последние цифры и сложили получившееся
число с исходным. В результате получилось число 1187. Найдите все такие числа.
(Московская олимпиада)
Ответ. 589, 598.
Решение.
Заметим, что первая цифра искомых чисел – 5, т.к. если она меньше 5, то сумма чисел
меньше 1000, а если она больше 5, то их сумма больше или равна 1200. Сумма последних
цифр искомых чисел может равняться 7 или 17. В первом случае сумма чисел
оканчивается на 77, что неверно. Семнадцать в сумме могут дать только цифры 8 и 9.
Отсюда получаем два возможных ответа.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Найдите все натуральные числа, которые уменьшаются в одно и тоже целое число раз, как
при удалении первой, так и при удалении последней цифры.
Ответ. 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99.
Решение. Пусть n – искомое k-значное число. Тогда по условию
операции с числами
10  a1a2 ...ak 1
ak

a1a2 ...ak 1
a1a2 ...ak 1
- целое число. Отсюда следует, что число a1a2 ...ak 1
однозначное, т.е. k-1=1 и k=2. Имеем:
-
10a1  a2 10a1  a2

, после преобразований
a1
a2
получаем, что a1=a2.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Назовем «издевательством» над числом следующую операцию. Между некоторыми
цифрами числа вставляют знаки «+», выполняют все арифметические действия и
заменяют исходное число на полученный результат. Можно ли из числа
2001200220032004 в результате нескольких последовательных «издевательств» получить
число 2004?(ИркутскТЮМ)
Ответ. Нет.
Решение.
Число 2001200220032004 делится на 9. В результате одного «издевательства» не меняется
остаток от деления числа на 9, т.е. полученное число также должно делится на 9, но 2004
на 9 не делится.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Найдите все натуральные двузначные числа, равные квадрату суммы своих цифр
(Например, квадрат суммы цифр числа 24 равен (2+4)2=62=36).
Ответ. 81.
Решение.
Ясно, что искомые числа должны быть полными квадратами. Перебирая числа 16, 25, 36,
49, 64 и 81, убеждаемся, что подходит только число 81.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------При сложении двух целых чисел Люся поставила лишний ноль на конце первого
слагаемого и получила в сумме 6235 вместо 2005. Какие числа она складывала?
(ПермьТЮМ)
Ответ. 470 и 1535.
Решение.
Добавление нуля в конец увеличивает число в 10 раз. Тогда сумма десяти первых чисел и
одного второго равна 6235, а сумма первого и второго – 2005. Отсюда сумма девяти
первых чисел равна 4230, т.е. первое число равно 470, а второе – 1535.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Числитель дроби увеличили на 3, а знаменатель – на 8. Могла ли получиться дробь, равная
исходной?(Московская олимпиада)
3
Ответ. Да, например .
8
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Число состоит из нулей и единиц. С ним можно делать такую операцию: любой блок ``01"
можно заменить на блок ``1000". Докажите, что такую операцию можно проводить лишь
конечное число раз.
(?)
Доказательство.
В какой-то момент самая левая единица перестанет двигаться. После этого момента
отбросим эту единицу и все, что левее нее. Теперь есть новая ``самая левая" единица когда-нибудь и она перестанет двигаться и т.д. Значит, когда-нибудь все единицы
перестанут двигаться, т.е. мы больше не сможем проводить операцию.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Найдите все трехзначные числа, которые уменьшаются в 5 раз после вычеркивания
первой цифры.(Московская олимпиада)
Ответ. 125, 250, 375.
операции с числами
Решение.
Пусть n  abc - искомое число. По условию 100a  10b  c  510b  c , откуда
25a 10b  c , т.е. c делится на 5. Если c  0 , то 5a  2b , откуда b  5 , a  2 . Если же
c  5 , то 5a  2b  1 , откуда b  2 или b  7 .
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Люся загадала натуральное число, большее единицы. Леня попросил Люсю возвести его в
четвертую степень, затем прибавить 4. У нового числа найти произведение всех его
делителей, вычесть из этого произведения новое число. Люся утверждает, что разность
получилась равная нулю. Леня говорит, что Люся ошиблась. Прав ли он?(Поляков
Евгений)
Ответ. Леня прав.
Решение.
Пусть исходное число a .


Так как получилась разность, равная нулю, то a 4  4 - простое (иначе произведение всех


делителей этого числа было бы больше самого числа). Докажем, что при a  1 a 4  4 составное число.


 
 

Т.е. число a 4  4 делится на a 2  2a  2 (причем a 2  2a  2  1 при a  1 ). Значит,
a 4  4 не может быть простым и, следовательно, Люся ошиблась.
2
2
a 4  4  a 2  2 2  2  2  a 2  2  2  a 2  a 2  2  4a 2  a 2  2a  2 a 2  2a  2
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Леня задумал число и разделил его на 100. В результате получилось число, которое на
34,65 меньше задуманного. Какое число задумал Леня?(Московская олимпиада)
Ответ. 35.
Решение.
Пусть x - число, полученное в результате деления, тогда задуманное число 100 x . Т.к.
задуманное число на 34,65 больше, то: 100 x  x  34,65 , откуда x  0,35 . Т.е. задумано
число 100  0,35  35 .
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------В двузначном числе зачеркнули цифру, и оно уменьшилось в 46 раз. Найдите все такие
числа.
(Московская олимпиада)
Ответ. 92.
Решение.
Пусть дано двузначное число ab . Возможны два случая:
1) зачеркнули вторую цифру. Тогда
10a  b  46a ,
b  36a ,
но т.к. a и b - цифры, то этот случай невозможен.
2) зачеркнули первую цифру. Тогда
10a  b  46b ,
2a  9b .
9b 9  2a 9  a 9  a  9  b  2 .
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Люся берет некоторое трехзначное число приписывает к нему такое же число. Получается
шестизначное число. Потом Люся делит получившееся число на 7, результат делит на 11,
новое число делит на 13. И у Люси получается то трехзначное число, с которого она
начала. Леня говорит, что так будет для любого трехзначного числа. Прав ли Леня?(?)
Ответ. Леня прав.
операции с числами
Решение.
Приписав к трехзначному числу такое же число, Люся умножает его на 1001:
abc 1001  abcabc . Деля полученное число сначала на 7, потом на 11, а потом на 13, Люся
делит число на 1001, т.е. получает число, с которого она начала.