Для того, чтобы явления для объектов 1 и 2

ДЛЯ РЕШЕНИЯ РЯДА ГИДРОМЕХАНИЧЕСКИХ
ЗАДАЧ НЕ УДАЁТСЯ НАЙТИ
АНАЛИТИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ, ТОГДА
ПРИБЕГАЮТ К ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМ
МЕТОДАМ ИССЛЕДОВАНИЯ, ОБОБЩАЯ
ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ НА БОЛЬШОЙ КЛАСС
СХОЖИХ ЗАДАЧ.
ДЛЯ ОСУЩЕСТВЛЕНИЯ ТАКОГО ПЕРЕХОДА
ПОЛЬЗУЮТСЯ РАЗЛИЧНЫМИ КРИТЕРИЯМИ
ПОДОБИЯ.
Два цилиндрических круглых
трубопровода будут геометрически
подобны, если все размеры одного
могут быть получены умножением
всех размеров имеющегося тела на
некоторый постоянный коэффициент.
.
Если два потока жидкости имеют
геометрически сходственные
ограничивающие поверхности и
скорости в сходственных точках
будут пропорциональны, то такие
потоки кинематически подобны.
Если для геометрически подобных
потоков жидкостей на сходственные
элементы действуют
пропорциональные силы, то говорят о
динамическом подобии.
Основные критерии подобия,
описывающие исследуемый процесс,
можно получить двумя способами:
• с помощью анализа размерностей;
• путем анализа дифференциальных
уравнений;
Рассмотрим метод Релея на примере задачи
теплообмене в трубе при турбулентном течении.
Необходимо найти коэффициент теплоотдачи
который зависит от:
• скорости u,
• динамической вязкости ,
• плотности ,
• коэффициента теплопроводности ,
• удельной теплоемкости жидкости c,
• диаметра трубы d.
,
о
Размерности этих величин в системе СИ
следующие:
Дж
м
кг
кг
   2 ; u  ;     3 ;    ;
м  К с
с
м
мс
Дж
Дж
;
  
c   ;
d   м.
м К с
кг  К
Согласно  теореме процесс зависит от 3-х
безразмерных комплексов, (поскольку n = 7, а
количество единиц с независимой размерностью
k = 4; кг, м, с, К).
Представим коэффициент
теплопроводности  в виде:
  С0    d  c   
а
б
в
г
д
где C0 – безразмерный коэффициент,
  u – массовая скорость , введенная для
упрощения расчетов.
кг 

    2 
м с 

(11.1)
Подставим размерности соответствующих
величин в (1.1):
а
б  Дж 
 Дж 
 кг 

C
м

0
2
2
 м  К  с 
 м  с    кг  К 
Поскольку размерность
левой и правой частей
(1.2) должна быть
одинаковой, суммируя
показатели степеней
при одинаковых
единицах измерений,
получим систему
уравнений:
в
 кг 
 м  с 
г
 Дж 
 м  К  с 
д
[ Дж ] :
1 в д


[ кг ] :
0 ав2

[ м] : 2  2а  б  г  д 
[с ] :
1  а  г  д 

[К ] :
1   в  д

Совместное решение системы (3) дает следующие
связи:
д  1  в;
г  в  а;
б  а  1.
Подставляя полученные связи в исходное уравнение
(1.1) получим:
  С0 d c  
а
а 1 в
в а
1в
Преобразуем (1.2) к следующему виду:
а
  d   c 
 d 

  C0 
 

  
    
1
в
Обозначим безразмерные комплексы:
d
 Nu  число Нуссельта

 d  ud

 Re  число
Рейнольдса


c
 Pr  число Прандтля

Таким образом, выражение (1.3) можно
представить в виде критериального соотношения:
Nu  C0  Re  Pr
а
в
где константы C0, а, в находятся из эксперимента.
Наиболее общий подход при использовании теории
подобия - анализ дифференциальных уравнений
движения, позволяющий определить КРИТЕРИИ
ПОДОБИЯ ОБЪЕКТОВ.
Рассмотрим одномерное уравнение Навье-Стокса
для подобных объектов 1 и 2:
2

v x1
1 p1 1
 X1 

;
2
dt
1 x1
1 x1
dv x1
dv x2
dt
 2 v x2
2
1 p 2
 X2 

.
2
 2 x2
 2 x2
Для выполнения условий подобия явлений необходимо
обеспечить следующее:
x1 = Lx2;
vx1= vvx2;
где
=  2;
L ,v, , p, Q ,  
p1 = pp2;
X1 = QX2;
 1     2,
соответственно масштабы
подобия длин, скоростей,
вязкостей, давлений, сил тяжести,
плотности.
Подставляя последние выражения в уравнение НавьеСтокса для объекта 1 и принимая во внимание, что t
L  v получаем:
2



 dv z 2
1 dp2

 v  2  vx2
  g x2 

.
2
 L dt
   L  2 dx2    L  2 x2
2
v
Для того, чтобы явления для объектов 1 и 2 были одинаковыми,
необходимо равенство всех коэффициентов для всех членов (тогда
уравнение для объекта 1 переходит в уравнение для объекта 2), т.е.

  0
 v2
 g 

.
2
L
 L  L
Из полученного условия можно составить три независимых
гидромеханических критерия подобия:
   02
 1;

  v  L
 1;

 g  02
 1.
z
Согласно первому критерию, который называется
коэффициентом Эйлера или коэффициентом давления, имеем
p1
p2
Eu 

 const ;
2
2
1v1  2 v2
согласно второму - критерию Рейнольдса
1v1 L1  2 v2 L2
Re 

 const
1
2
и третьему - критерию Фруда
v12
v12
Fr 

 const.
gL1 gL2
Следовательно, для полного гидромеханического
подобия ламинарного течения вязкой несжимаемой
жидкости необходимо равенство Re, Fr, Eu.
В отдельных задачах возможно равенство
некоторых критериев. Так, для определения потерь
давления в горизонтальной круглой цилиндрической
трубе необходимо равенство лишь критерия
Рейнольдса, что соответствует одинаковому
значению коэффициента сопротивления .
критерий Рейнольдса Re
является отношением сил
инерции к силам трения;
критерий Фруда Fr - сил инерции к
силам тяжести,
критерий Эйлера Eu - перепада
давления к силам инерции.
Из приведённых критериев можно
получить ещё три критерия:
Re L
St  

;
Fr v
pL
La   EuRe 
;
v
p
i  EuFr 
L
2
ЧИСЛО СТОКСА
ЧИСЛО ЛАГРАНЖА
ГИДРАВЛИЧЕСКИЙ УКЛОН
Все остальные
сочетания из
соотношений сил
инерции, тяжести,
трения и перепада
давления будут
обратными
величинами
приведённых шести
критериев.
Для вязкопластичных
жидкостей помимо
приведённых
критериев подобия
имеются условия
динамического
подобия,
обусловленные
наличием сил
пластичности.
Отношение сил пластичности к силам вязкости
характеризует критерий Сен-ВенанаИльюшина
0L
Sen 
v ср.
Сил тяжести к силам пластичности 
критерий Стокса
L
St 
0
Сил инерции к силам пластичности – критерий
Рейнольдса
v C2 P
Re 
0
Все приведённые критерии относятся к случаю
установившегося движения.
При неустановившемся движении появляется
дополнительный критерий подобия Sh = vt/L,
представляющий собой отношение инерционной
силы при нестационарном движении pvL3/t к
инерционной силе при стационарном движении pv2 L2
и называемый критерием Струхаля, или
гомохронности.
Получение критериев подобия на основе
анализа дифференциальных уравнений
рассмотрим на примере условий теплового
подобия, когда подобны температурные
поля и тепловые потоки (соблюдается
также геометрическое и гидродинамическое
подобие).
Для подобных, в указанном смысле, систем запишем
системы уравнений, включающие уравнения
теплопроводности (закон Фурье) и теплообмена (закон
Ньютона):
T1
T1
T1
T1
 2T1  2T 1  2T1
 u1
 v1
 w1
 a1 ( 2 
 2)
2
t1
x1
y1
z1
x1
y1
z1
T1
1T1   1
y1
T2
T2
T2
T2
 T2  T 2  T2
 u2
 v2
 w2
 a2 ( 2 
 2 )
2
t2
x2
y2
z2
x2
y2
z2
2
T2
 2 T2   2
y2
2
2
Здесь
Ti – температура;
i – коэффициент теплопроводности;
ai = i(ici ) – коэффициент температуропроводности;
ui, vi, wi – компоненты вектора скорости по осям xi, yi, zi.
Вследствие подобия систем можно записать следующие соотношения:
x2 y 2 z 2

  const  Cl ;
x1 y1 z1
t2
 const  Ct ;
t1
u2 v2 w2
 
 const  CU ;
u1 v1 w1
2
 const  C ;
1
2
 const  C ;
1
T2
 const  CT ;
T1
(*)
a2
 const  Ca ;
a1
Выражая переменные второй системы через переменные
первой системы (с помощью (*)), получим:
 T1
T1
T1 
 u1 x  v1 y  w1 z  
1
1
1 

2
2
2
Ca CT
 T1  T 1  T1

a1 ( 2 
 2)
2
2
Cl
x1
y1
z1
CT T1 CT CU

Ct t1
Cl
C CT T1
C CT 1T1  
1
Cl
y1
Из условия тождественности двух рассматриваемых систем уравнений следует
равенство всех коэффициентов (они должны сокращаться):
CT Ca CT

,
2
Ct
Cl
CU CT Ca CT

,
2
Cl
Cl


C CT
CT C 
,
Cl
C a Ct
 1;
2
Cl
ОТКУДА
СЛЕДУЕТ:
CU Cl
 1;
Ca
C Cl
 1;
C
a1t1 a2t2
at
 2  2  Fo  idem 
2
l1
l2
l
число
Фурье
u1l1 u2l2
ul


 Pe  idem 
a1
a2
a
число
Пекле
1l1  2l2  l


 Nu  idem 
1
2

число
Нуссельта
Указанные критерии определяют тепловое
подобие систем.
Использование дифференциальных
уравнений для получения критериев
подобия возможно, если известен процесс
(который, собственно, и описывается
соответствующими уравнениями). Если же
процесс (apriori) не известен, то для
нахождения критериев подобия
целесообразно использовать метод Релея.