Делимость натуральных чисел

Делимость
натуральных чисел
6 класс
Урок обобщения и
систематизации знаний.
Озым Эрзи Акимовна
Учитель математики МБОУ «СОШ № 2 им.
Х.Я.Беретаря» г. Адыгейска
Цели урока
-
-
обобщит ь и сист емат изироват ь знания
учащихся по данной т еме;
повт орит ь понят ия делит еля и крат ных
чисел, повт орит ь признаки делимост и
суммы и разност и чисел;
признаки делимост и на 2, 3,4, 5, 9, 10,
25;
повт орит ь признаки делимост и и закрепит ь
их знание при разложении чисел на
прост ые множит ели;
повт орит ь алгорит м нахождения НОК и
НОД чисел;
закрепит ь навыки и умения применения
знаний по т еме к решению упражнений.
Сведения из истории

Лиши все вещи на свете их числа, и
они перестанут существовать.
Исидор Севильский
Натуральные числа

Первые представления о числе приобретены
людьми в незапамятной древности. Они
возникли из счета людей, животных, плодов,
различных изделий человека и других предметов.
Результатом счета являются один, два, три и т.д.
Эти числа называются теперь натуральными.
В арифметике их называют также целыми. Ряд
целых чисел 1, 2, 3, 4, 5… продолжается без
конца; он называется натуральным рядом.
Евклид (III в. до н.э.) определял число
(натуральное) как «множество,
составленное из единиц».

На ранних ступенях развития
общества люди почти не умели
считать. Они отличали друг от
друга совокупности двух или трех
предметов; всякая совокупность,
содержавшая большее число
предметов, объединялась в
понятии «много».

С усложнением хозяйственной
деятельности людей понадобилось вести
счет в более обширных пределах. Для
этого человек пользовался окружающими
его предметами как инструментами счета:
он делал зарубки на палках и деревьях,
завязывал узлы на веревках, складывал
камешки и кучки и т.п.


Особо важную роль играл природный
инструмент человека- его пальцы.
Римляне могли изобразить числа от
1 до 10 000 на пальцах обеих рук – это
было, если можно так выразиться,
«письмо с помощью пальцев».
Пальцевой счет пришел в западную
Европу как часть классического
античного наследия и был очень
распространен в Средние века; позже
он был заменен индийскими цифрами
и теперь уже совершенно забыт. В
наши дни «пальцевые» числа в
несколько измененной форме
сохранились только у арабских и
индийских торговцев Среднего
Востока.

Древние египтяне, индусы, греки и
римляне производили расчеты на счетных
досках.
Японский соробан
Азиатская ручная абака
Делители и кратные
Если одно натуральное число нацело делится на другое
натуральное число, то первое называют кратным
второму, а второе – делителем первого.
 Таким образом, если а и в – натуральные числа и а делится
на в нацело, то а кратно в, а в – делитель а. например, из
того, что 45 : 9 = 5, следует, что 45 кратно 9, а 9 – делитель
числа 45.
 Любое натуральное число имеет бесконечно много кратных.
 Пример. 1)Укажите все делители числа 45.
2) Укажите числа, которым кратно число 45.
Решение. 1) Делителями числа 45 будут числа 1; 3; 5; 9; 15; 45.
2) Кратными числу 45 будут числа 45; 90; 135; 180…

Делимость произведения



Если хотя бы один из множителей делится
на некоторое число, то и произведение
делится на это число.
Пример. Найдите частное: (15ху) : 5;
(18аb) : 18.
Решение. (15ху) : 5 = (15:5)ху = 3ху.
(18аb) : 18 = (18:18)аb = аb
Делимость суммы и
разности чисел
Свойство 1. Если а : b и с : b, то ( а+с) : b. Например, из того,
что 12:3 и 21 :3, можно сдать вывод, что (12+21) : 3.
Свойство 2. Если а : b и с не делится на b, то а + с не
делится на b.
Например, из того, что 12:3 и 22 не делится на 3, можно
сделать вывод, что 12+22 не делится на 3.
Свойство 3. Если а : b и (а+с) : b, то с: b.
Например, из того, что 12:3 и (12+21) : 3, можно сделать вывод,
что 21 :3.
Свойство 4. Если а : с и с : b, то а : b.
Например, из того, что 48 : 6 и 6 : 3, можно сделать вывод, что
48:3.
Если и уменьшаемое, и вычитаемое делятся на некоторое
число, то и разность делится на это число.
Признаки делимости на
2,3,4,5,9,10 и 25.









Если последняя цифра числа четная, то оно делится на 2.
Если последняя цифра числа 5 или 0, то оно делится на 5.
Если число оканчивается цифрой 0, то оно делится на 10.
Число делится на 4, если две последние его цифры нули или
образуют число, делящееся на 4.
Натуральное число делится на 3 тогда и только тогда, когда
делится на 3 сумма его цифр.
Натуральное число делится на 9 тогда и только тогда, когда
делится на 9 сумма его цифр.
Число делится на 6, если оно делится одновременно на 2 и
на 3.
На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр,
занимающих нечетные места, либо равна сумме цифр,
занимающих четные места, либо разнится от нее на число,
делящееся на 11.
На 25 делятся числа, две последние цифры которых нули
или образуют число, делящееся на 25.( То есть числа,
оканчивающиеся на 00, 25, 50 или 75).
Простые и составные
числа
Натуральные числа, имеющие только два делителя,
называют простыми.
 Натуральные числа, имеющие более двух делителей,
называют составными.
 Число 1 не относится ни к простым, ни к составным
числам.
Например: 2, 3, 5, 7- простые числа. 4,6,8,9, 10 – составные
числа.
 Представление числа в виде произведения степеней
простых чисел называют разложением числа на простые
множители.
Например, 3528=23 * 32 * 72

Основная теорема арифметики: любое натуральное
число ( кроме 1) либо является простым , либо его можно
разложить на простые множители, причем единственным
способом.
Разложение числа на простые
множители
При разложении числа на простые множители используют
признаки делимости и применяют запись столбиком, при
которой делитель располагают справа от вертикальной черты,
а частное записывают под делимым.
Например: разложите на простые множители число: 1) 6468, 2)
3780.
Решение : 6468
2
3780
2
3234
2
1890
2
1617
3
945
3
539
7
315
3
77
7
105
3
11
11
35
5
1
7
7
6468= 22 *31 * 72 * 111
1
3780= 22 * 33 * 51 * 71

Нахождение наибольшего
общего делителя и наименьшего
общего кратного.
Числа, которые одновременно являются
делителями некоторых чисел, называют их
общими делителями.
 Наибольший общий делитель чисел m и n
обозначают НОД (m;n).
Например, НОД(28; 42) = 14.
Найдите НОД чисел 12 и 18.
12=22 * 31 , 18= 21 * 32 100 = 22 * 52 , 40 = 23 * 51

6= 21 * 31
20 = 22* 51
Взаимно простые числа.
Признак делимости на
произведение.
Числа, наибольший общий делитель которых
равен 1, называют взаимно простыми.
Например, взаимно простыми являются числа 18 и
35, хотя каждое из них – составное число. В
самом деле, у числа 18 шесть делителей:
1,2,3,4,6,9 и 18, а у числа 35 четыре делителя:
1,5,7 и 35. общих делителей, отличных от 1, у
чисел 18 и 35 нет.
Признак делимости на произведение взаимно
простых чисел: если число делится на каждое из
взаимно простых чисел, то оно делится и на их
произведение.

Алгоритм нахождения
наименьшего общего кратного
1) Разложить данные числа на простые множители.
 2) Выписать все простые числа, которые входят хотя бы в
одно из полученных разложений.
 3) Каждое из выписанных простых чисел взять с наибольшим
из показателей степени, с которым оно входит в разложения
данных чисел.
 4) Записать произведение полученных степеней.
Пример. Найдите НОК 12 и 18.
Решение.
12= 22 * 31 , 18 = 21 * 32

36 = 22 * 32
Для любых натуральных чисел а и b справедливо равенство
НОД(а;b) * НОК (а;b) = ab
Тест №1
1. Укажите выражения, значения которых:
а) кратны 2: 12+16; 25+14; 22-11; 3+21;
б) кратны 3: 17+33; 60*7+5; 10*6+3; 18*2+9
2. Даны числа : 249; 44; 3050; 7855; 9296; 7050. Укажите, какие из них:
а) кратны 2;
б) делятся на 5, но не делятся на 2;
в) кратны 10.
3.Даны числа: 192, 824, 521, 714, 976. Выпишите из них те, которые
делятся на 4.
4. Даны числа: 760, 675, 455, 320, 850. Выпишите из них те, которые
кратны 25.
5. Из магазина мама принесла несколько пакетов с мандаринами, по 5
мандаринов в каждом пакете. Могла ли она принести 27
мандаринов? 45 мандаринов? 32 мандарина? Ответ обосновать.
Тест № 2
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Напишите все четные числа, которые удовлетворяют
неравенству 18<x<29.
Какую цифру надо подставить в запись 37856* вместо
звездочки, чтобы полученное число делилось на 5? На 4?
Выпишите числа, которые делятся на 3; на 9: 123; 834; 675;
225; 1004; 882; 1111; 2341; 7235; 2385; 6264. Верно ли
утверждение: а) если число делится на 9, то оно делится
на 3; б) если число делится на 3,то оно делится на 9?
Ответ обоснуйте. Приведите примеры.
Найдите частное: 1)(18ав) : (6а); 2) (45ху) : (5х).
Даны числа : 11, 54, 47, 132, 1, 23, 65, 3 и 78. Укажите,
какие из них являются: а) простыми; б) составными.
Разложите на простые множители: а) 20; б) 72; в) 150.
Найдите НОК и НОД чисел 126 и 84, 105 и 924.