СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА. Часть I МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ В ДЕФОРМИРУЕМЫХ СИСТЕМАХ внешних (опорные реакции) Силовые факторы – реакции связей внутренних статический кинематический энергетический Методы определения силовых факторов между дисками в сечениях элементов (внутренние силовые факторы) ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИЙ СВЯЗЕЙ (СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ) СТАТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ Сущность статического метода – непосредственное использование уравнений равновесия системы в целом и/или её частей. Уравнения равновесия в случае линейно деформируемой системы: q F1 B A l M l/2 l/2 HA A VC q q C C HC h h C F2 F1 A*S + BF = 0 l MA VC B F2 M VB l/2 l/2 VA n = 3*2 = 6 = n ; D yp M A nc = nS = 6 VA Вектор искомых реакций связей: S H A VB VC HC дифференциальные уравнения для бесконечно малого элемента линейные алгебраические уравнения для системы элементов конечных размеров ( дискретной системы ) S – вектор искомых усилий; А – матрица коэффицентов при неизвестных S в уравнениях равновесия; ВF – вектор «грузовых» членов уравнений равновесия (от заданных нагрузок). Для системы в целом: – число искомых усилий nS = nc ; – количество уравнений nyp= nD . В случае статически определимой cистемы (W = 0) nD=nc nyp= nS Силовые факторы – реакции связей Методы определения силовых факторов внешних (опорные реакции) внутренних статический кинематический энергетический между дисками в сечениях элементов (внутренние силовые факторы) ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИЙ СВЯЗЕЙ (СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ) СТАТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ Сущность статического метода – непосредственное использование уравнений равновесия системы в целом и/или её частей. Уравнения равновесия в случае линейно деформируемой системы: A*S + BF = 0 h ( AC ) m VC q 0 Уравнения Уравнения равновесия: A q ( AC ) 2 равновесия: F2 F y 0 M 1 C C B A (VACC) l HC h F1 h ql /2 0 VC q 0l 0 V A x HC M H A HC F1 0 2 V M V l H h F h ql /2 0 VB A C C 1 C l 2 A VCM q l F20 l ql /8 0 VBA l/2 H H l/2 l/2 MA HA F q 0l/2 0 VB A VC C F2 1 VA n = 3*2 = 6 = n ; CB0 ) Hm C ( 0 C D yp M A (CB) n = n = 6 y 0 c S VA Вектор искомых x(CB) 0 реакций связей: S H A VB VB l/2 M F2 l ql 2/8 0 VC VB VC F2 q l/2 0 HC HC 0 дифференциальные уравнения для бесконечно малого элемента линейные алгебраические уравнения для системы элементов конечных размеров ( дискретной системы ) S – вектор искомых усилий; А – матрица коэффицентов при неизвестных S в уравнениях равновесия; ВF – вектор «грузовых» членов уравнений равновесия (от заданных нагрузок). Для системы в целом: – число искомых усилий nS = nc ; – количество уравнений nyp= nD . В случае статически определимой cистемы (W = 0) nD=nc nyp= nS Силовые факторы – реакции связей Методы определения силовых факторов внешних (опорные реакции) внутренних статический кинематический энергетический между дисками в сечениях элементов (внутренние силовые факторы) ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИЙ СВЯЗЕЙ (СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ) СТАТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ Сущность статического метода – непосредственное использование уравнений равновесия системы в целом и/или её частей. Уравнения равновесия в случае линейно деформируемой системы: A*S + BF = 0 VC q Уравнения равновесия: q 2 F2 F M A VC l HC h F1 h ql /2 0 1 C C B VA VC q l 0и достаточное необходимое HC M HC F1 0 условие H A статическое V VB C геометрической l 2 A VB l/2 M F2 l ql /8 0 неизменяемости l/2 l/2 MA HA q l/2 0 VB VC F2системы VA n = 3*2 = 6 = n ; HC 0 D yp 2 M A F1h ql /2 1 0 0 0 l h nc = nS = 6 VA 0 1 0 0 1 0 ql Вектор искомых F1 реакций связей: S H A A 0 0 1 0 0 1 BF 2 VB 0 0 0 l/2 0 0 M F l ql /8 F 2 ql/2 1 0 0 0 1 1 0 VC 2 S A B 0 0 0 0 0 1 F HC 0 h Det ( A) 0 дифференциальные уравнения для бесконечно малого элемента линейные алгебраические уравнения для системы элементов конечных размеров ( дискретной системы ) S – вектор искомых усилий; А – матрица коэффицентов при неизвестных S в уравнениях равновесия; ВF – вектор «грузовых» членов уравнений равновесия (от заданных нагрузок). Для системы в целом: – число искомых усилий nS = nc ; – количество уравнений nyp= nD . В случае статически определимой cистемы (W = 0) nD=nc nyp= nS Силовые факторы – реакции связей Методы определения силовых факторов внешних (опорные реакции) внутренних статический кинематический энергетический между дисками в сечениях элементов (внутренние силовые факторы) ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИЙ СВЯЗЕЙ (СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ) СТАТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ Сущность статического метода – непосредственное использование уравнений равновесия системы в целом и/или её частей. Уравнения равновесия в случае линейно деформируемой системы: A*S + BF = 0 Универсальная процедура формирования системы уравнений равновесия ( концепция конечных элементов ) 1. Разделение системы на элементы и узлы сечениями по концам стержневых элементов ( концевыми сечениями ). 2. Запись уравнений: – 1-я группа – уравнения равновесия элементов в локальных (собственных) осях координат – стандартная процедура; – 2-я группа – уравнения равновесия узлов ( включая опорные ) в общей ( глобальной ) системе координат; – 3-я группа – статические характеристики связей в узлах. линейные алгебраические уравнения для системы элементов конечных размеров ( дискретной системы ) S – вектор искомых усилий; А – матрица коэффицентов при неизвестных S в уравнениях равновесия; ВF – вектор «грузовых» членов уравнений равновесия (от заданных нагрузок). ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИЙ СВЯЗЕЙ (СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ) СТАТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ Универсальная процедура формирования системы уравнений равновесия A*S + BF = 0 ( концепция конечных элементов ) b2 Пример q e2 b 4 2 Реакции опор Усилия в концевых сечениях (6) элементов (21) a a 1. Разделение системы на элементы и узлы e1 2 3 b3 4 сечениями по концам стержневых элементов F ( концевыми сечениями ). 1 3 2. Запись уравнений: – 1-я группа – уравнения равновесия элементов 1 b1 в локальных (собственных) осях координат – 4 e3 стандартная процедура; D C l l /2 – 2-я группа – уравнения равновесия узлов ( включая опорные ) в общей ( глобальной ) Me2 Qe2 q Q q Qb2 Mb4 b4 M системе координат; b2 3 2 F – 3-я группа – статические характеристики Q Ne2 Nb4 Nb2 e1 2 M b1 Qe2 4 Qb4 связей в узлах. Me1 Ne1 Qb1 N yj У р а в н е н и я 1-й г р у п п ы: Qb3 b3 Qb3 Mb3 Qe1 N b1 M e1 Qbj q m(bjj) 0 Mej Qe1 ( j) Nbj F x N e1 x 0 3 1 ej Nej j j j lj Mb bj ( j ) Qej yj 0 M b4 j Вектор Qe3 Qb1 искомых Qb4 j = 1, 2, 3, 4 Mbj Mej Qej l j Mbj(F j ) 0 Me3 Ne3 Mb1 Nb1 усилий S N b4 Количество (F j ) N N X 0 M e4 bj ej уравнений Qb1 Qe3 Qe4 (F j ) HA HB 1-й группы – 12 Qbj Qej Y 0 MB N e4 1 MA 4 от нагрузки MC VA VB У р а в н е н и я 2-й г р у п п ы: Общее V m(tt) 0 t = 1, 2, 3, 4 M HC число Mb1 Nb1 F 2 b2N y У равнения HA = 0 MC (t ) Qb1 Количество уравнений b2 D x 0 Qe1 V 27 уравнений 3-й группы MB = 0 HA Q MA D (t ) 2-й группы – 12 1 Me1 N b2 y 0 ( 3 ): nyp= nS H D x Me2 = 0 VA e1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИЙ СВЯЗЕЙ (СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ) СТАТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ В случае статически неопределимой системы W<0 nD < nc nyp< nS Недостающие уравнения в количестве nc – nD = nл.с. – геометрические: AD* D + D = 0 – условия совместности перемещений (например, описание перемещений по направлениям лишних связей) Объединённая система уравнений: A* S + BF = 0 AD* D + D = 0 Из физических зависимостей ( закон Гука и др. ): D = D(S) – выражения перемещений через усилия Разрешающие уравнения в усилиях: A0* S + B0 = 0 Необходимое и достаточное аналитическое условие геометрической неизменяемости системы: Det ( A0) 0 ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИЙ СВЯЗЕЙ (СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ) КИНЕМАТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ В основе метода – принцип возможных перемещений (принцип Лагранжа): если механическая система находится в равновесии, то сумма работ внешних сил, приложенных к системе, и соответствующих им внутренних сил на возможных (виртуальных) перемещениях равна нулю: Wext + Wint = 0 Возможные (виртуальные) перемещения – а) бесконечно малые ( для линейно деформируемых систем – конечные, но малые в сравнении с габаритами системы ); б) не противоречащие условиям совместности деформаций ( перемещений ) и кинематическим граничным условиям ( условиям закрепления ); в) отсчитываемые от исследуемого положения равновесия. F1 q Fn F1 = a1F , …, Fn = anF , q = xF F – обобщённая нагрузка ( параметр группы активных внешних сил ) Обязательная процедура – выявление подлежащего определению силового фактора S ( реакции связи ): cвязь удаляется, её реакция S переходит в категорию внешних сил. F1 F 1 q q Fn F n Системе с удалённой связью, сохраняющей равновесие после приложения реакции S, задаётся возможное ( виртуальное ) перемещение. Возможная работа внешних сил Wext складывается из работ нагрузки и реакции связи S: Wext = WF + WS , где WF = F * dF , WS = S * dS , Правило знаков: перемещения dF и dS положительные, если совпадают по направлению соответственно с F и S ( возможная работа F на dF или S на dS положительная ). dF – обобщённое ( групповое ) перемещение, SS соответствующее обобщённой нагрузке F; dS – перемещение по направлению удалённой связи ( по направлению реакции S ). Алгоритм определения реакции связи кинематическим методом 1. В системе, находящейся в равновесном деформированном состоянии при заданной нагрузке, удаляется связь, реакцию которой S требуется определить. Взамен удалённой связи прикладывается её реакция S, обеспечивающая сохранение неизменным состояния равновесия системы. 2. Системе с удалённой связью, находящейся по-прежнему в равновесном деформированном состоянии при действующей нагрузке и реакции S, задаётся возможное (виртуальное) перемещение. 3. Определяются (с точностью до общего неопределённого множителя d0 ) перемещения dF и dS – соответственно по направлениям заданной нагрузки F и искомой реакции S. 4. Из уравнения возможных работ Wext + Wint = 0 определяется искомый силовой фактор S (реакция связи): F δF Wint S δS Алгоритм определения реакции связи кинематическим методом 1. В системе, находящейся в равновесном деформированном состоянии при заданной нагрузке, удаляется связь, реакцию которой S требуется определить. Взамен удалённой связи прикладывается её реакция S, обеспечивающая сохранение неизменным состояния равновесия системы. 2. Системе с удалённой связью, находящейся по-прежнему в равновесном деформированном состоянии при действующей нагрузке и реакции S, задаётся возможное (виртуальное) перемещение. 3. Определяются (с точностью до общего неопределённого множителя d0 ) перемещения dF и dS – соответственно по направлениям заданной нагрузки F и искомой реакции S. 4. Из уравнения возможных работ Wext + Wint = 0 определяется искомый силовой фактор S (реакция связи): F δF Wint S δS F А B S Требуется Исследуемое определить Равновесие равновесное реакцию связи RA системы деформированное ( S RA ) ссостояние удалённой связью системы Примечание: F следует рассматривать как модель обобщённой (произвольной) нагрузки F A1 B А B1 S Возможные (виртуальные) перемещения Направление реакции S F B B1 b dS a A1 А dF S Перемещения dF и dS δS AA1 cos a по направлениям δF нагрузки BB1 cos F β и реакции связи S Удаление внутренних связей . Смысл перемещения dS 1. Удаление внутренней угловой связи для определения изгибающего момента в сечении ( S M ) ds dВозможная q + q – S = dM = l r работа реакции Возможное угол взаимного удалённой связи: (виртуальное) (относительного) WM = M* ql + M* qr = поворотаперемещение сечений = M* ( qблизко бесконечно l + qr ) = слева от = иMсправа * dM введённого шарнира ql M M M M q r ql > 0, qr > 0 dM dS > 0 Удаление внутренних связей . Смысл перемещения dS 2. Удаление внутренней линейной связи для определения поперечной силы в сечении ( S Q ) ds Q Q Q Q Удаление внутренних связей . Смысл перемещения dS 2. Удаление внутренней линейной связи для определения поперечной силы в сечении ( S Q ) dS = dQ работа = dl +реакции dr – Возможная Q b1 удалённой связи: взаимное (относительное) Параллельно нормальное к оси стержня Возможное W = Q * d Q l + Q* dr = a b линейное перемещение (виртуальное) d сечений a и b ) = Q * ((точек d + d ) = l l r перемещение a1 бесконечно близко Q * dQот введённого Q слева и=справа поступательного шарнира dl > 0, dr > 0 dS = dQ dr dS > 0 Удаление внутренних связей . Смысл перемещения dS 3. Удаление внутренней линейной связи для определения продольной силы в сечении ( S N ) ds N N N N Удаление внутренних связей . Смысл перемещения dS 3. Удаление внутренней линейной связи для определения продольной силы в сечении ( S N ) dВозможная dl + dреакции S = dN =работа r – удалённой связи: взаимное (относительное) Возможное по касательной к оси стержня WN = N* d(виртуальное) + N * dr = l линейное перемещение сечений ( точек =N * (перемещение dl a+иdbr )) = N бесконечно близко слева и * dN справа=отNвведённого поступательного шарнира d > 0, l dNS = dN dr dl a1 N b1 ab dr > 0 dS > 0 ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИЙ СВЯЗЕЙ (СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ) ЭНЕРГЕТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ Силовой фактор S в линейно деформируемой системе определяется как производная потенциальной энергии упругой деформации U (ПЭУД) по соответствующему перемещению DS по направлению S ( т е о р е м а Л а г р а н ж а ): S dU dΔ S Контрольные вопросы ( в скобках даны номера слайдов, на которых можно найти ответы на вопросы; для перехода к слайду с ответом можно сделать щелчок мышью по номеру в скобках*); для возврата к контрольным вопросам сделать щелчок правой кнопкой мыши и выбрать «Перейти к слайду 22» ) 1. Какие силовые факторы определяются в расчётах сооружений и конструкций? ( 2 ) 2. Перечислить основные методы определения силовых факторов. ( 2 ) 3. В чём сущность статического метода определения реакций связей и внутренних усилий? ( 2 ) 4. Какими уравнениями описывается равновесие а) дифференциально-малого элемента ( 2 ) б) дискретной ( конечно-элементной ) линейно деформируемой системы? ( 2 ) 5. Каково соотношение между числом уравнений равновесия и количеством искомых силовых факторов в случае статически определимой системы? ( 2 ) 6. В чём суть универсальной процедуры формирования уравнений равновесия, реализующей концепцию конечных элементов? ( 5 ) 7. Из каких групп состоит система уравнений равновесия, формируемых с помощью универсальной процедуры? ( 4 ) ( 6 ) 8. Какие особенности имеет применение статического метода к статически неопределимым системам? ( 7 ) 9. Каково необходимое и достаточное аналитическое ( статическое ) условие геометрической неизменяемости системы? ( 4 ) ( 7 ) 10. На чём основан кинематический метод определения реакций связей ( силовых факторов )? – дать формулировку принципа Лагранжа. ( 8 ) 11. Что такое возможные ( виртуальные ) перемещения? – три их свойства. ( 9 ) 12. Какая обязательная процедура предшествует заданию виртуальных перемещений при реализации кинематического метода определения реакции некоторой связи? ( 10 ) 13. Что такое обобщённая нагрузка и обобщённое перемещение? ( 10 ) _____________________________________________________ *) Только в режиме «Показ слайдов» Контрольные вопросы ( в скобках даны номера слайдов, на которых можно найти ответы на вопросы; для перехода к слайду с ответом можно сделать щелчок мышью по номеру в скобках*); для возврата к контрольным вопросам сделать щелчок правой кнопкой мыши и выбрать «Перейти к слайду 23» ) 14. Изложить алгоритм определения реакции связи кинематическим методом. ( 11 ) 15. Основная формула кинематического метода для определения силового фактора S – ? ( 11 ) 16. Что такое dF и dS в основной формуле кинематического метода? ( 10 ) 17. Каково правило знаков для перемещений dF и dS? ( 10 ) 18. Какие связи должны удаляться при определении внутренних силовых факторов кинематическим методом? ( самостоятельно ) 19. Какая связь удаляется при определении кинематическим методом изгибающего момента в определённом сечении стержневого элемента? Что появляется в сечении в результате удаления связи? ( 16 ) 20. Какой смысл имеет величина dS в случае определения изгибающего момента М ? ( 16 ) 21. Какая связь удаляется при определении кинематическим методом поперечной силы в сечении стержневого элемента? Что появляется в сечении в результате удаления связи? ( 17 ) 22. Какой смысл имеет величина dS в случае определения поперечной силы Q ? ( 18 ) 23. Какая связь удаляется при определении кинематическим методом продольной силы в сечении стержневого элемента? Что появляется в сечении в результате удаления связи? ( 19 ) 24. Какой смысл имеет величина dS в случае определения продольной силы N ? ( 20 ) 25. На чём основан энергетический метод определения силовых факторов в деформируемых системах? ( 21 ) 26. Аналитическая запись энергетической теоремы Лагранжа для определения силового фактора S – ? ( 21) _____________________________________________________ *) Только в режиме «Показ слайдов»