Модели межотраслевого баланса Модели межотраслевого баланса 1. Основные допущения и предпосылки. 1. Рассматривается производственный сектор экономики. 2. Производственный сектор экономики разделен на отдельные отрасли. Каждая отрасль производит один вид продукта. 2. Основные понятия и постановка задачи. n – количество отраслей в производственном секторе экономики; y = {y1,y2,…,yn}Т – вектор конечных продуктов (конечный спрос). yi- количество продукта в стоимостном выражении отрасли i, которое необходимо для нужд экономики. Сюда не вход продукция i-ой отрасли, которая необходима для удовлетворения потребностей производственного сектора. Xp ={x1p,x2p,…,xnp}Т – вектор промежуточного спроса. Здесь xip – количество продукции отрасли i, которое необходимо для всех отраслей производственного сектора. X={x1,x2,…,x3}Т – вектор валового выпуска продукции. xi- количество продукции отрасли I, которое необходимо для обеспечения конечного и промежуточного спросов экономики. Модели межотраслевого баланса Задачи межотраслевого баланса. 1. Определение количества валового продукта X={x1,x2,…,x3}Т, производственного сектора экономики по известному конечному спросу y = {y1,y2,…,yn}Т. 2. Как распределить по отраслям производства промежуточный продукт каждой отрасли. Статическая модель межотраслевого баланса (СММБ) Для решения поставленных задач необходимо найти функции: x1=f1(y1,y2,…,yn) x2=f2(y1,y2,…,yn) xn=fn(y1,y2,…,yn) И функции φij(xj) j=1,2,…,n, которые определяют, какое количество продукта отрасли i необходимо отрасли j для выпуска своей продукции в объеме xj. Статическая модель межотраслевого баланса (СММБ) 2.1. Построение функции φij(xj). Пусть функции fi(y1,y2,…,yn) известны. Тогда очевидно, что xi=xip +yi или xip =yi –xi (2.1) Пусть xij – часть величины xip, которая необходима для отрасли j, чтобы обеспечить выпуск своей продукции в количестве xj. Тогда должно выполняться равенство: xip=xi1+xi2+…+xin=Σxij (2.2) Xij-зависит от xj, чем больше выпуск продукции, тем больше ресурсов для этого необходимо: xij =φij(xj) Статическая модель межотраслевого баланса (СММБ) Примем, что φij(xj) – линейная функция вида: φij(xj)=bij + aijxj (2.3) Коэффициент bij можно определить из условия, если xj=0, то xij=0. Другими словами. Если отрасль ничего не производит, то ей не нужны и ресурсы. Следовательно, bij=0. Окончательно: xij = aijxj (2.4) Определение. Коэффициенты aij в равенстве (2.4) называются технологическими коэффициентами прямых затрат. Коэффициент aij численно равен тому количеству продукции отрасли i, которое необходимо отрасли j для производства единицы своей продукции. Определение. Матрица А={aij} называется матрицей прямых материальных затрат. Определение. Матрица Х={xij} называется матрицей межотраслевых поставок. Статическая модель межотраслевого баланса (СММБ) Если значения коэффициентов aij известны тогда можно записать: xip = Σaijxj i=1,2,…,n А величина валового выпуска из (2.1) есть: xi = Σaijxj + yi, i=1,2,…,n (2.5) Определение. Выражение (2.5) называется точечной моделью «затраты-выпуск» или статической моделью межотраслевого баланса. Модель впервые была предложена В.Леонтьевым. Модель представляет собой систему из n уравнений с n неизвестными. Статическая модель межотраслевого баланса (СММБ) В векторной форме модель (2.5) имеет вид: AX + Y = X (2.6) Определение. Форма (2.6) называется канонической или структурной формой статической модели межотраслевого баланса. Решив уравнение (2.6) относительно Y получим: Y = (E – A)X (2.7) где Е единичная матрица. Тогда решение задачи 1 получим в следующем виде: X = (E-A)-1Y (2.8) или X = BY (2.9) Определение. Форма (2.9) СММБ называется приведенной формой модели «затраты-выпуск». Модель (2.9) позволяет определить валовой выпуск продукции производственного сектора экономики по заданному конечному спросу. Значения технологических коэффициентов aij определяются методами эконометрики по результатам наблюдений за функционированием экономики. Определение. Матрица Xp={xij} называется матрицей межотраслевых поставок (межотраслевых потоков). Статическая модель межотраслевого баланса (СММБ) Свойства технологических коэффициентов По определению все yi≥0 и xj≥0 тогда следует: aij ≥0 при всех i и j xii=aijxi ≤ xi т.к. поставки самому себе по определению меньше валового выпуска. Следовательно: 0≤aij≤1. Главное свойство – матрица А не имеет нулевых столбцов. Экономически это означает, что ни одна отрасль не может что-либо производить ничего не потребляя. Статическая модель межотраслевого баланса (СММБ) Рассмотрим матрицу межотраслевых поставок X={xij} Ее столбец j представляет собой затраты отраслей производственного сектора на валовый выпуск xj отрасли j. Очевидно, что валовый выпуск всегда больше суммы промежуточных затрат, т.е: n z j x j x ij i 1 Величина zi называется добавленной стоимостью отрасли j или вновь созданной стоимостью и включает в себя оплату труда рабочих в отрасли j, амортизационные отчисления и прибыль отрасли j. Модели межотраслевого баланса Примеры. Фрагменты матриц технологических коэффициентов для экономик СССР (1972г) и Японии (1980) СССР i\j Тяжелая промышл. Легкая промышл. Сельское хозяйство Тяжелая промышл. a11=0.4339 a12=0.0397 a13=0.1145 Легкая промышл. a21=0.0185 a22=0.3166 a23=0.0396 Сельское хоз. a31=0.0085 a32=0.2586 a33=0.2020 Япония i\j Тяжелая промышл. Легкая промышл. Сельское хозяйство Тяжелая промышл. a11=0.2311 a12=0.0433 a13=0.1158 Легкая промышл. a21=0.0980 a22=0.4525 a23=0.0683 Сельское хоз. a31=0.1645 a32=0.0004 a33=0.1078 Статическая модель межотраслевого баланса (СММБ) Коэффициенты полных материальных затрат. Рассмотрим приведенную форму модели «затратывыпуск» в точечном (координатном) виде: xi = Σbijyj Зафиксируем номер J, а значениям конечных спросов присвоим следующие значения: y1=0,y2=0,…,yj=1,yj+1=0,…,yn=0 Тогда получим: xi=bij (2.10) Следовательно, bij есть количество валовой продукции отрасли i, которое необходимо для выпуска единицы конечной продукции отраслью j. Определение. Коэффициенты bij называются коэффициентами полных материальных затрат, а матрица B={bij} мультипликатором Леонтьева. Статическая модель межотраслевого баланса (СММБ) Пример. Для матрицы технологических коэффициентов экономики СССР построить матрицу полных затрат. Матрица В равна: B bij E A 1 1 0 0 0.4339 0.0397 0.1145 0.5661 0.0397 0.1145 E A 0 1 0 0.0185 0.3166 0.0396 0.0185 0.6834 0.0396 0 0 1 0.0088 0.2586 0.2020 0.0088 0.2586 0.7980 1.7772 0.2036 0.2651 1 B E A 0.0502 1.4970 0.0815 0.0359 0.4874 1.2825 (2.11) В таб. (2.11) каждый коэффициент bij – это количество продукции (в руб.) отрасли i необходимое для обеспечения выпуска конечной продукции отраслью j на один рубль. Статическая модель межотраслевого баланса (СММБ) Пример (Продолжение). Сопоставляя значения коэффициентов матриц А и В, видно, что полные затраты выше прямых (например, b12/a12=5.1). Это согласуется с экономическим смыслом этих коэффициентов. Коэффициенты bij позволяют вычислять валовые выпуски x1, x2, x3 по заданным значениям их конечной продукции: x1 1.7772 y 1 0.2036 y 2 0.2561y 3 x 2 0.0502 y 1 1.4970 y 2 0.0815 y 3 x 3 0.0359 y 1 0.4874 y 2 1.2825 y 3 Зная валовые выпуски отраслей легко рассчитать элементы матрицы межотраслевых поставок: xij=aij*xj Статическая модель межотраслевого баланса в натуральном выражении Введем матрицу цен на продукцию P={pij}, при этом pii>0, а pij=0,при i≠j и xi*, yi* валовой и конечный спросы на продукцию отрасли i. Тогда можно записать связь между соответствующими продуктами в виде: xi=piixi*; yi=piiyi* или в векторном виде: X=PX*, Y=PY*. Подставив полученные выражения в (2.6), получим: APX* +PY* = PX* (2.12) Умножив обе части уравнения (2.11) на P-1, получим: Р-1АРХ* +Р-1РY* = P-1PX* или A*X* +Y* = X* Здесь А*=Р-1АР={aij*} –матрица технологических коэффициентов в натуральном выражении. По своим свойствам матрицы А и А* не отличаются. Статическая модель межотраслевого баланса в натуральном выражении Можно по аналогии перейти от структурной формы модели в натуральных показателях к приведенной: X * B *Y * где B bij E A* * 1 Связь между матрицами В и В* задается выражением: B P 1 B P * Обычно СММБ составляются одновременно в натуральном и стоимостном выражениях. Таблица тождества межотраслевого баланса Таблица межотраслевого баланса № отрасли № отрасли Отрасли как потребители Конечный спрос Валовы й выпуск … J … n Y x 1 x11 … x1j … x1n y1 x1 … … … … … … … … j xi1 … xij … xin yi xi … … … … … … … … n xn1 … xnj … xnn yn xn Добавленная стоимость z1 … zj … zn Валовый выпуск XT x1 … xj … xn L1 … Lj … Ln Ly Lx Отрасли как производители 1 Труд Анализ таблицы межотраслевого баланса Таблица межотраслевого баланса наглядно воспроизводит качественную и количественную структуры межотраслевых связей. Так строка i показывает распределение валового выпуска отрасли i. При этом имеет место равенство n x j x ij y i i 1,2,..., n при j 1 (2.13) Столбец j описывает производственные затраты отрасли j на выпуск ее продукции. При этом справедливо равенство: n x j x ij z j при j 1,2,..., n i 1 Тождество (2.14) – баланс затрат Тождество (2.13) – баланс выпуска (2.14) Анализ таблицы межотраслевого баланса Из соотношений (2.13) и (2.14) вытекают два тождества: n x k 1 n ik y i x ki zi i 1,2,..., n (2.15) k 1 Тождества (2.15) означают, что производственные затраты отрасли i, увеличенные на добавленную стоимость ее продукции, равны стоимости выпуска этой продукции Просуммировав (2.15) по i, получим второе тождество: y i z i (2.16) Тождество (2.16) означает, что общая сумма конечных спросов равна общей сумме добавленных стоимостей Равенства (2.15-2.16) называют тождествами межотраслевого баланса